2012年同等學(xué)力申碩計(jì)算機(jī)綜合試題解析--數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

聲明：題目是我從同學(xué)分享那獲取的，有可能出現(xiàn)抄錯(cuò)題目的情況。試題解析是本人自己做的，再根據(jù)教材理論來(lái)完成本文編寫，符號(hào)太多編寫工作量大，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言討論，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處。感謝所有提出意見(jiàn)和建議，以及幫助過(guò)我的朋友。如果覺(jué)得還行，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝！

一、用邏輯符號(hào)表達(dá)下列語(yǔ)句（每小題2 分，共4 分）

1. 在中國(guó)居住的人未必都是中國(guó)人（要求分別用存在量詞和全稱量詞各給出一個(gè)表達(dá)式）。

解析：P(x) ：x是人，Q(x) ：x居住在中國(guó)，R(x)：x是中國(guó)人。

┐\forall x P(x) \land Q(x) \rightarrow? R(x)

\exists x P(x) \land Q(x) \land? ┐R(x)

2. 有且僅有一個(gè)火星。

解析：S(x)：x是星球，P(x) ：x是火星，Q(x,y) ：x和y相同。

(\exists x)(S(x)∧P(x)∧(\forall y)(S(y)∧P(y) \rightarrow Q(x, y))) （參考2009邏輯符號(hào)第二題解析答案）

【網(wǎng)絡(luò)釋義】：有且僅有用“?!” 即唯一量詞表示,屬于邏輯符號(hào).符號(hào):?!讀作:有且僅有，數(shù)學(xué)里的含義:精確的存在一個(gè),只有一個(gè)符合要求,是唯一量詞.舉例:?! x: P(x) 意味著精確的存在一個(gè) x 使 P(x) 為真.

則本題答案可以描述為：?! x: P(x)(如果這一表達(dá)可能會(huì)扣1分，參考2009邏輯符號(hào)第二題解析答案)


二、填空題（每空2 分，共14 分）

1．在 (1+2x)^n的展開(kāi)式中 x^k 的系數(shù)是 _______C_{(n,k)} 2^k_______________ ，其中 (1≤k≤n)。

解析：本題考查的是牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式公式(1+ax)^n = \sum_{k=0}^n C_{(n,k)} a^k x^k ,這里的x^k即為 C_{(n,k)} 2^k

2．設(shè)數(shù)列{ an } 滿足遞推關(guān)系：??_?? = ??_{?????} + ??且??_??=1，則滿足此遞推關(guān)系??_??的解是___ 2n -1______ 。

解析：本題一眼就能看出是一個(gè)以2為公差的的等差數(shù)列，遞推一下就出來(lái)了。 a_n = 2n -1

3. 設(shè) G 是一個(gè)有 n 個(gè)頂點(diǎn)和 f 個(gè)面的連通平面圖，則 G 有 _ n+f-2 __ 條邊。

解析：該題考查的是歐拉公式 v - e + a = 2, v = n;a = f; e = n+f -2

4. 如果五個(gè)文科生和五個(gè)理科生排成一排，共有 10!__種不同的排法； 如果要求文科生和理科生交替排成一排，則共有__2*（5?。2_ 種不同的排法。

解析： 第一空：無(wú)約束排成一排的方法為A_{10} = 10!

第二空，交替排列，先讓文科生排成一排有A_{5} = 5！，再將理科生排成一排也是5！，將理科生挨個(gè)插入到文科生隊(duì)列，有整體前插和后插兩種方法，因此該題答案為 2*（5?。2 = 28800

5. 由 3? 個(gè) a，1? 個(gè) b，2? 個(gè) c? 這六個(gè)元素組成的不同排列的總數(shù)是_60___ 。

解析：考查多重集的可重排列數(shù)問(wèn)題：

【定理】 設(shè)S = \{ n_1.a_1,n_2.a_2，...，n_k . a_k\} 且 n = \sum_{i=1}^k n_i 則S排列數(shù)等于 \frac{n!}{n_1!.n_2!.....n_k!}

因此該題的答案為 \frac{6!}{2!1!3!} = 60

6．設(shè)圖 G 的頂點(diǎn)集合 V_{(G)}=\{ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}，邊集合為 E_{(G)}=\{ v_1 v_2,v_2 v_3,v_3 v_4,v_4 v_5,v_5 v_1,v_5 v_6\}，則 G 的不同生成樹(shù)的棵數(shù)為 _5__。

解析：概念：連通圖中的生成樹(shù)必須滿足以下 2 個(gè)條件：包含連通圖中所有的頂點(diǎn)；任意兩頂點(diǎn)之間有且僅有一條通路；如下圖G所示，只要把形成環(huán)的邊有5條，擦除其中任意一條即可獲得一顆生成樹(shù)，因此是C_{(5,1)} = 5 棵。

G圖

三、解答題（共16 分）

1．（5 分）設(shè)用數(shù)字 2,4,6,8（數(shù)字可重復(fù)使用）可組成 a_n 個(gè)含奇數(shù)個(gè) 2，偶數(shù)個(gè) 6 且至少含一個(gè) 8? 的 n 位數(shù)(n≥2)。

（1）（2? 分）寫出數(shù)列{ an}? 的指數(shù)型母函數(shù) G(x)；

（2）（3? 分）求出 an 的表達(dá)式。

解析：(1)根據(jù)題干要求寫出指數(shù)型母函數(shù)：

= (\frac{e^x-e^{-x}}{2}) (e^x) (\frac{e^x+e^{-x}}{2}) (e^x -1 ) = \frac{1}{4} (e^ {2x} - e ^ {-2x} )( e^{2x} - e^x)? = \frac{1}{4} (e^ {4x} -1 - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) =? \frac{1}{4} (e^ {4x}? - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) - \frac{1}{4}


= \frac{1}{4} \sum_{n=0}^∞? (4^n - 3^n + (-1)^n)? \frac{x^n}{n!} -? \frac{1}{4}

（2）

因此 a_n = \frac{1 }{4 }(4^n? - 3 ^ {n} + (-1)^n )


2．（5? 分）把 4? 個(gè)相異的球放到 3? 個(gè)相異的盒子中，使得不出現(xiàn)空盒，有多少種不同的放法？

解析：先從4個(gè)球中選2個(gè)球綁到一起 C_{(4,2)} = \frac{4*3}{2} =6

再把形成的3組球進(jìn)行全排列放入3個(gè)盒子 ，每盒一組球 A_3= 3!=6

因此總數(shù)為：C_{(4,2)} * A_3 = 6*6 = 36.

3．（6 分）設(shè) A ={1,2,3}， （1）計(jì)算 A 上二元關(guān)系的個(gè)數(shù)。 （2）求出 A 上所有的等價(jià)關(guān)系。

解析：(1) |A| = 3，則A的二元關(guān)系個(gè)數(shù)為 2^{|A|^2} = 2^9 = 512

(2)等價(jià)關(guān)系，即要同時(shí)滿足對(duì)稱，自反，傳遞。 我把等價(jià)關(guān)系圖劃分列出來(lái)，如下圖：

{123}等價(jià)劃分圖

I_A = \{ <1,1>,, \}

劃分成1個(gè)的等價(jià)關(guān)系 R_1 = I_A \cup? \{ <1,2>,,,,,\}

劃分成2個(gè)的等價(jià)關(guān)系：

R_2 =I_A \cup \{ <1,2>, \}

R_3 =I_A \cup \{ <2,3>,\}

R_4 =I_A \cup \{ <1,3>, \}

劃分成3個(gè)的等價(jià)關(guān)系：

R_5 =I_A = \{ <1,1>,,\}


四、證明題（6 分）

證明：對(duì)任意集合A，B，C，有(A∩B)∪C = A∩(B∪C)當(dāng)且僅當(dāng)C ? A。

證明：先證明 “\Rightarrow ” \forall x， 已知條件 (A∩B)∪C = A∩(B∪C)

x \in? C \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C \Rightarrow? x \in? (A \cap ( B \cup C))? \Rightarrow? x \in A \land x \in (B \cup C)? ? ? ，引入條件。

\Rightarrow? x \in? A? \Leftrightarrow? C \subseteq? A

再證明 “\Leftarrow ” \forall x， 已知條件 C ? A

x \in? C \Rightarrow x \in A, x \in? C \Rightarrow? x \in (B \cup C)? \Rightarrow x \in (B \cup C) \cap A? \Rightarrow x \in (B \cap A)? \cup (C \cap A) ? ，引入條件。

? \Rightarrow x \in (B \cap A)? \cup C? \Rightarrow? (B \cup C)? \cup A? = (B \cap A)? \cup C?

得證 (A∩B)∪C = A∩(B∪C)當(dāng)且僅當(dāng)C ? A

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