數(shù)學(xué)思維（劉潤）

吳軍老師是我特別敬佩的一位老師。他是計算機(jī)科學(xué)家，是自然語言處理技術(shù)的先驅(qū)者，是谷歌公司的智能搜索科學(xué)家，是騰訊公司的前副總裁，同時也是硅谷著名風(fēng)險投資人、暢銷書作家。

他著有《數(shù)學(xué)之美》《浪潮之巔》《硅谷之謎》《智能時代》《文明之光》《大學(xué)之路》《全球科技通史》《見識》《態(tài)度》等，本本都是超級暢銷書。我和我兒子小米，都是他的書迷。

同時，他還是教育專家、古典音樂迷、優(yōu)秀的紅酒鑒賞家，酷愛逛博物館，見過90%以上世界名畫的真跡，精通歷史、藝術(shù)、哲學(xué)、攝影、投資、商業(yè)……他在任何一個領(lǐng)域的成就單拿出來，都讓普通人望塵莫及。

吳軍老師在得到開設(shè)了六門課程，分別是《硅谷來信》《谷歌方法論》《信息論40講》《科技史綱60講》《吳軍講5G》以及《數(shù)學(xué)通識50講》。從信息論到科技史，到5G通信技術(shù)，到數(shù)學(xué)，吳軍老師的涉獵之廣、研究之深，讓人深深嘆服。

我特別喜歡跟吳軍老師聊天，每一次聊天都讓我收獲巨大。有一次，趁著吳軍老師回國，我約他吃飯聊天。下面我把我和吳軍老師的部分聊天內(nèi)容分享給你。

信息論、科技史、谷歌方法論、5G、數(shù)學(xué)……我一直特別好奇，吳軍老師的大腦是怎么裝下這么多東西，又理解得如此深刻的。吳軍老師說，他所講的這些內(nèi)容，其實都是他工作以來的沉淀。

吳軍老師是美國約翰·霍普金斯大學(xué)的計算機(jī)博士，后來在谷歌擔(dān)任智能搜索科學(xué)家。他所研究的內(nèi)容是語音識別和自然語言處理，這需要有非常深厚的信息論、信息技術(shù)、通信技術(shù)以及數(shù)學(xué)功底。而他的課程內(nèi)容，就來自這些積累。區(qū)別在于，做成課程需要用更通俗的方式，把那些晦澀的專業(yè)知識講出來，讓每一個人都能夠聽得懂。

吳軍老師有一門課是《數(shù)學(xué)通識50講》，為什么選擇講數(shù)學(xué)呢？

“數(shù)學(xué)”這個主題，是很多老師（比如我，雖然我大學(xué)時讀的就是數(shù)學(xué)專業(yè)）想講卻不敢講的，因為它太難了。數(shù)學(xué)這兩個字，簡直是很多人的噩夢，甚至有同學(xué)在填報高考志愿的時候說：“只要不學(xué)數(shù)學(xué)，讓我干什么都可以！”

確實，數(shù)學(xué)很難。很多人學(xué)了十幾年數(shù)學(xué)，直到走上工作崗位，還不知道數(shù)學(xué)到底有什么用。除了相關(guān)專業(yè)的工程師，現(xiàn)在有幾個人還記得大學(xué)學(xué)過的微積分、概率論和線性代數(shù)？

那么，學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？作為一個普通人，也要學(xué)數(shù)學(xué)嗎？

吳軍老師說，是的，每個人都一定要學(xué)數(shù)學(xué)，因為它實在太有用了。

學(xué)數(shù)學(xué)，對大部分人來說，不是為了解數(shù)學(xué)題，也不是為了當(dāng)數(shù)學(xué)家，而是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維不僅能讓你站到更高的高度，開拓你的眼界，還能幫你了解一些正確的常識，讓你少走彎路，并且讓你在人生的每一個岔路口都有更多的選擇。

今天我能夠給企業(yè)做戰(zhàn)略咨詢，能夠快速洞察一個事物的本質(zhì)，最根本的能力就來自數(shù)學(xué)思維。

很多人會說：“數(shù)學(xué)也太難了，我學(xué)不會怎么辦？”其實，解數(shù)學(xué)題也許很難，數(shù)學(xué)考試拿滿分也許很難，但是，只要你愿意，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維并不難。

下面我介紹五種數(shù)學(xué)思維。這五種數(shù)學(xué)思維，讓吳軍老師和我自己都受益匪淺。

從不確定性中找到確定性

第一種數(shù)學(xué)思維，源于概率論，叫作“從不確定性中找到確定性”（見圖2-14）。假如一件事情成功的概率是20%，是不是就意味著，我重復(fù)做這件事5次，就一定能成功呢？很多人會這樣想，但事實并不是這樣。如果我們把95%的概率定義為成功，那么，這件20%成功概率的事，你需要重復(fù)做14次，才能成功。換句話說，你只要把這件20%成功概率的事重復(fù)做14次，你就有95%的概率能做成。

圖2-14　從不確定性中找到確定性

計算過程如下，對公式頭疼的朋友可以直接略過：

做一次失敗的概率為：1-20%=80%=0.8

重復(fù)做n次都不成功的概率是：80%n=1-95%=5%=0.05（重復(fù)做n次至少有1次成功的概率是95%，就相當(dāng)于重復(fù)做n次、每一次都不成功的概率是5%）

所以，重復(fù)做14次，你成功的概率能達(dá)到95%。

如果你要達(dá)到99%的成功概率，那么你需要重復(fù)做21次。

那想達(dá)到100%的成功概率呢？對不起，這個世界上沒有100%的成功概率，所有人想要做成事，都需要一點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)氣。

我們經(jīng)常說“正確的事情，要重復(fù)做”，這其實就是概率論的通俗表述。

所謂“正確的事情”，指的就是大概率能成功的事情。而所謂的“重復(fù)”是什么？其實，學(xué)會了概率論，我們就對重復(fù)這件事有了定量的理解。

在商業(yè)世界中，20%的成功概率已經(jīng)不算小了，畢竟，你只要把這件事重復(fù)做14次，你的成功概率就能達(dá)到95%。

理解了這一點(diǎn)，你就會知道，一次創(chuàng)業(yè)就成功的概率太小了，所以，你在融資的時候，不能只做融資一次的打算，而需要做融資更多次的打算。

很多人還想過另一個問題：假如我在一個領(lǐng)域成功的概率是1%，那么我同時做20個領(lǐng)域，是不是與在一個領(lǐng)域達(dá)到20%成功概率的效果是一樣的？

如果我們依然把95%的概率定為成功的標(biāo)準(zhǔn)，那么1%成功概率的事情，你需要重復(fù)做298次。而這，還只是一個領(lǐng)域。

這就像很多人會問：“我是成為一個全才，把20個領(lǐng)域都試個遍更容易成功，還是成為一個專才，在一個領(lǐng)域深耕更容易成功？”概率論會告訴你，成為一個專才，成功的可能性更大。

理解了這一點(diǎn)，你就會明白，創(chuàng)業(yè)要專注，不要做太多事。如果做太多事，你本來20%的成功概率就只剩1%了，你成功的可能性就會更小。

你看，雖然這個世界上沒有100%的成功概率，但是只要重復(fù)做大概率成功的事情，你成功的概率就能夠接近100%。這就是從不確定性中找到確定性。這是概率論教會我們最重要的思維方式。

我們學(xué)習(xí)概率論，不是為了去算題，而是為了理解這種思考方法，這樣，在做人生選擇的時候，就能選對那條大概率成功的道路。

用動態(tài)的眼光看問題

第二種數(shù)學(xué)思維，源于微積分，叫作“用動態(tài)的眼光看問題”（見圖2-15）。

圖2-15　用動態(tài)的眼光看問題

很多人一聽到“微積分”，就想起那些復(fù)雜的微分方程、積分方程，就會頭疼。別怕，我們不談方程，只談微積分的思維方式。微積分的思維方式其實特別簡單，也正因為簡單到極致，所以非常漂亮。

微積分是牛頓發(fā)明的，他為什么要發(fā)明微積分呢？是為了“虐”后世的我們嗎？當(dāng)然不是。

其實在牛頓以前，人們對速度這些變量的了解，僅限于平均值的層面。比如，我知道一段距離的長短和走完這段距離的時間，就可以算出一個平均速度。但是，每個瞬間的速度，我并不了解。于是，牛頓就發(fā)明了微分，用“無窮小”這種概念來幫助我們把握瞬間的規(guī)律。而積分與微分正好相反，它反映的是瞬間變量的積累效應(yīng)。

那么，到底什么是微積分？

我舉個簡單的例子。一個物體靜止不動，你推它一把，會瞬間產(chǎn)生一個加速度。但有了加速度，并不會瞬間產(chǎn)生速度。當(dāng)加速度累積一段時間后，才會產(chǎn)生速度。而有了速度，并不會瞬間產(chǎn)生位移。當(dāng)速度累積一段時間后，才會有位移。

宏觀上，我們看到的是位移；微觀上，整個過程是從加速度開始累積的——加速度累積，變成速度；速度累積，變成位移。這就是積分。

反過來說，物體之所以會有位移，是因為速度經(jīng)過了一段時間的累積。而物體之所以會有速度，是因為加速度經(jīng)過了一段時間的累積。位移（相對于時間）的一階導(dǎo)數(shù)，是速度。而速度（相對于時間）的一階導(dǎo)數(shù)，是加速度。宏觀上我們看到的位移，微觀上其實是每一個瞬間速度的累積。而位移的導(dǎo)數(shù)，就是從宏觀回到微觀，去觀察它“瞬間”的速度。這就是微分。

那么，微積分對我們的日常生活到底有什么用呢？

理解了微積分，你看問題的眼光，就會從靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)。

加速度累積，變成速度；速度累積，變成位移。其實人也是一樣。你今天晚上努力學(xué)習(xí)了，但是一晚上的努力，并不會直接變成你的能力。你的努力，得累積一段時間，才會變成你的能力。而你有了能力，并不會馬上做出成績。你的能力，得累積一段時間，才會變成你的成績。而你有了一次成績，并不會馬上得到領(lǐng)導(dǎo)的賞識。你的成績，得累積一段時間，才會使你得到領(lǐng)導(dǎo)的賞識。

從努力到能力，到成績，到賞識，是有一個過程的，有一個積分的效應(yīng)。

但是你會發(fā)現(xiàn)，生活中有很多人，在開始努力的第一天，就會抱怨：“我今天這么努力，領(lǐng)導(dǎo)為什么不賞識我？”他忘了，想要得到領(lǐng)導(dǎo)的賞識，還需要一個積分的效應(yīng)。

反過來說，有的人可能一直以來工作都做得很好，但是從某個時候開始，因為一些原因，慢慢懈怠了。他的努力程度下降了，但是他的能力并不會馬上跟著下降?？赡苓^了三四個月，能力的下降才會慢慢顯示出來，他會發(fā)現(xiàn)做事情不像以前那么得心應(yīng)手了。又過了三四個月，他做出來的東西，領(lǐng)導(dǎo)開始越來越看不上了。在某一瞬間，很多人會覺得“有什么大不了的，我不過就是這一件事沒做好唄”，但他忘了，這其實是一個積分效應(yīng)，早在七八個月前他不努力的時候，就給這樣的結(jié)果埋下了種子。

努力的時候，都希望大家瞬間認(rèn)可，而出了問題后，卻不去想幾個月之前的懈怠。這是很多人都容易走進(jìn)的思維誤區(qū)。

而如果你理解了微積分的思維方式，能夠用動態(tài)的眼光來看問題，你就會慢慢體會到，努力需要很長時間才會得到認(rèn)可；你就會擁有一個平衡的心態(tài)，避免犯這樣的錯誤。

吳軍老師經(jīng)常講一句話，叫作“莫欺少年窮”。其實，從本質(zhì)上來說，這也體現(xiàn)了微積分的思維方式。少年雖窮，雖然目前積累的還很少，但是，只要他的增速（用數(shù)學(xué)的語言來說，叫導(dǎo)數(shù)）夠快，經(jīng)過五年、十年，他的積累會非常豐厚。

吳軍老師還給年輕人提過一個建議：不要在乎你的第一份薪水。這其實也體現(xiàn)了微積分的思維方式。一開始拿多少錢不重要，重要的是增速（導(dǎo)數(shù)）。

微積分的思維方式，從本質(zhì)上來說，就是用動態(tài)的眼光看問題。一件事情的結(jié)果，并不是瞬間產(chǎn)生的，而是長期以來的積累效應(yīng)造成的。出了問題，不要只看當(dāng)時那個瞬間，你只有從宏觀一直追溯（求導(dǎo)）到微觀，才能找到問題的根源所在。

公理體系

第三種數(shù)學(xué)思維，源于幾何學(xué)，叫作公理體系

（見圖2-16）。

什么是公理體系？比如，幾何學(xué)有一門分科，叫作歐幾里得幾何，也被稱為歐氏幾何。歐氏幾何有五條最基本的公理：

（1）任意兩個點(diǎn)可以通過一條直線連接。

（2）任意線段能無限延長成一條直線。

圖2-16　公理體系

（3）給定任意線段，可以以其一個端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作圓。

（4）所有直角都彼此相等。

（5）若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

公理，是具有自明性并且被公認(rèn)的命題。在歐氏幾何中，其他所有的定理（或者說命題），都是以這五條公理為出發(fā)點(diǎn)，利用純邏輯推理的方法推導(dǎo)出來的。

從這五條公理出發(fā)，可以推導(dǎo)出無數(shù)條定理。比如：每一條線的角度都是180度；三角形的內(nèi)角和等于180度；過直線外的一點(diǎn)，有且只有的一條直線和已知直線平行……這構(gòu)成了歐氏幾何龐大的公理體系。

如果說公理體系是一棵大樹，那么公理就是大樹的樹根。

而在幾何學(xué)的另一門分科羅巴切夫斯基幾何中，它的公理體系又不一樣了。

從羅巴切夫斯基幾何的公理出發(fā)，可以推導(dǎo)出這樣的定理：三角形的內(nèi)角和小于180度；過直線外的一點(diǎn)，至少有兩條直線和已知直線平行。這跟歐氏幾何是完全不同的。（羅巴切夫斯基幾何雖然看上去好像違反常識，但它解決的主要是曲面上的幾何問題，和歐氏幾何并不沖突。）

因為公理不同，所以推導(dǎo)出來的定理就不同，因此羅巴切夫斯基幾何的公理體系和歐氏幾何的公理體系也完全不同。

在幾何學(xué)中，一旦制定了不同的公理，就會得到完全不同的知識體系。這就是“公理體系”思維。

這種思維在我們的生活中非常重要，比如，每家公司都有自己的愿景、使命、價值觀，或者說是公司的基因、文化。因為愿景、使命、價值觀不同，公司與公司之間的行為和決策差異就會很大。

一家公司的愿景、使命、價值觀，其實就相當(dāng)于這家公司的公理。公理直接決定了這家公司的各種行為往哪個方向發(fā)展。所有的規(guī)章制度、工作流程、決策行為，都是在愿景、使命、價值觀這些公理上生長出來的定理。它們構(gòu)成了這家公司的公理體系。

而這個體系，一定是完全自洽的。什么叫完全自洽？就是一家公司一旦有了完備的公理體系，其實就不需要老板來做決定了，因為公理能推導(dǎo)出所有的定理。不管公司以后會怎么發(fā)展，會遇到什么情況，只要有公理存在，就會演繹出一套能夠解決問題的新的法則（定理）。

如果你發(fā)現(xiàn)你的公司每天都需要老板來做決定，或者公司的規(guī)章制度、工作流程、決策行為和公司的愿景、使命、價值觀不符，那說明公司的公理還不完備，或者你的推導(dǎo)過程出現(xiàn)了問題。這個時候，你就需要修修補(bǔ)補(bǔ)，將公司的公理體系一步步搭建起來。

我曾跟小伙伴說：“我在公司只做三件事，設(shè)置責(zé)權(quán)利、捍衛(wèi)價值觀和做一只安靜的內(nèi)容奶牛。關(guān)于責(zé)權(quán)利法則，我們只有一條公理——創(chuàng)造最大價值的人，獲得最大的收益。所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根據(jù)這條公理推演出的定理。任何制度安排（定理），如果違背了唯一的公理，那一定是我的智商不夠用導(dǎo)致的。我會為我的智商道歉，然后堅定地修改制度安排（定理）。如果我拒不改正，或者動搖了公理，請毅然決然地離開我。那個我，不值得你們跟隨。我們因為有相同的公理體系，而彼此成就?！?/p>

公理沒有對錯，不需要被證明，公理是一種選擇，是一種共識，是一種基準(zhǔn)原則。

制定不同的公理，就會得到完全不同的公理體系，也就會得到完全不同的結(jié)果。

數(shù)字的方向性

第四種數(shù)學(xué)思維，源于代數(shù)，叫作“數(shù)字的方向性”（見圖2-17）。

圖2-17　數(shù)字的方向性

我們學(xué)代數(shù)，最開始學(xué)的是自然數(shù)，包括0和正整數(shù)（0，1，2，3，4，5，…）；然后學(xué)的是整數(shù)，包括負(fù)整數(shù)和自然數(shù)（…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…）；之后學(xué)的是有理數(shù)，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，在我們的認(rèn)知中，數(shù)字是離散的，是一個一個的點(diǎn)。而有了分?jǐn)?shù)，數(shù)字就開始變得連續(xù)了。這就像在生活中，一開始你看事情，看的是對和錯、大和小。慢慢地，你認(rèn)識到世界其實并沒有這么簡單，你看事情開始看到灰度。

在有理數(shù)之后，我們又學(xué)了無理數(shù)。無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù)，比如π。任何一個有理數(shù)，都可以由兩個數(shù)相除而得來。但是無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)，你找不到任何規(guī)律。這會讓你認(rèn)識到，在這個世界上，有些事情就是復(fù)雜到?jīng)]有規(guī)律。π就是π，根號就是根號，它就是很復(fù)雜，你不要試圖用簡單粗暴的方式來定義它。你要承認(rèn)它的客觀存在，承認(rèn)這個世界的復(fù)雜性。

你看，我們不斷地深入學(xué)習(xí)各種數(shù)，其實是在一步一步地理解世界的復(fù)雜性。

往更復(fù)雜的程度上說，數(shù)這個東西，除了大小，還有一個非常重要的屬性：方向。在數(shù)學(xué)上，我們把有方向的數(shù)叫作向量。

數(shù)，其實是有方向的。認(rèn)識到這一點(diǎn)對我們的生活有什么用呢？

舉個例子。假如你拖著一個箱子往東走，你的力氣很大，有30牛頓。這時來了一個人，非要跟你對著干，把箱子往西拉，他力氣沒你大，只有20牛頓。結(jié)果如何呢？這個箱子還是會跟著你往東走，只不過只剩下10牛頓的力，它的速度會慢下來。

這就像在公司里做事，兩個人都很有能力，合作的時候，如果他們的能力都能往一個方向使，形成合力，那么這是最好的結(jié)果。但如果他們的能力不能往一個方向使，反而彼此互相牽制，那么可能還不如把這件事完全交給其中一個人來做。

還有一種情況：做同一件事情，有的人想往東走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪個方向是正確的。這時，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相對正確性。那你該怎么辦呢？

你就讓他們都去干這件事吧。雖然大家的方向不同，彼此會互相牽制，力的大小也會有損耗，但是最終事情的走向，會是那個相對正確的方向。

全局最優(yōu)和達(dá)成共贏

第五種數(shù)學(xué)思維，源于博弈論，叫作“全局最優(yōu)和達(dá)成共贏”（見圖2-18）。

圖2-18　全局最優(yōu)和達(dá)成共贏

什么是博弈論？我們每天都要做大大小小的決策。比如，今天是喝咖啡還是喝茶，這就是一個決策。但這個決策只跟自己有關(guān)，并不會涉及別人。而在生活中，有一類決策，是需要涉及別人的。涉及別人的決策邏輯，我們把它叫作博弈論。

比如，下圍棋就是典型的博弈。每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。這是博弈論中典型的零和博弈。

在零和博弈中，你要一直保持清醒：你要的是全局的最優(yōu)解，而不是局部的最優(yōu)解。

比如，下圍棋的時候，不是在每一步上，你都要吃掉對方最多的子。你要讓終局所得最多，就要步步為營，講究策略，有時候，讓子是以退為進(jìn)。

很多時候經(jīng)營公司也是一樣，不要總想著每件事情都必須一帆風(fēng)順，如果你想得到最好的結(jié)果，可能在一些關(guān)鍵步驟上就要做出一些妥協(xié)。

除了零和博弈，還有一種博弈，叫作非零和博弈。非零和博弈講究共贏。共贏的前提，是建立信任，但建立信任，其實特別不容易。

假如市場上需要100萬臺冰箱，一個廠家發(fā)現(xiàn)了這個需求，決定馬上生產(chǎn)100萬臺冰箱。第二個廠家發(fā)現(xiàn)了這個需求，也決定馬上生產(chǎn)100萬臺。第三個廠家也決定馬上生產(chǎn)100萬臺……結(jié)果，每一個廠家都生產(chǎn)了100萬臺，供大于求，大部分廠家都會遭受很大的損失。

如果這時，大家能夠建立起信任，商量好10個廠家每個都只生產(chǎn)10萬臺，就正好能夠滿足需求，使每個廠家都能夠賺到錢，達(dá)成共贏。

但是，只要有一個廠家沒有遵守約定，比如別人都生產(chǎn)10萬臺，它卻生產(chǎn)了30萬臺，就會導(dǎo)致大家都因此遭受損失。

建立信任，特別不容易，但是在商業(yè)世界里，這是非常重要的。那么，怎么才能建立信任呢？

我給你兩個建議：

第一，你要找到那些能夠建立信任的伙伴。有些人，你是永遠(yuǎn)都無法和他達(dá)成共贏的，這樣的人你就要遠(yuǎn)離。

第二，你要主動釋放值得信任的信號。你要先讓別人知道你是值得信任的人，這樣，想要與你達(dá)成共贏的人才會來找到你。

小提示

這五種數(shù)學(xué)思維——從不確定性中找到確定性、用動態(tài)的眼光看問題、公理體系、數(shù)字的方向性，以及全局最優(yōu)和達(dá)成共贏，我希望你能把它們看懂，并且把它們運(yùn)用到工作和生活中。

我也希望能借此向你傳達(dá)一個觀念：數(shù)學(xué)不難，真的不難。你不一定要會解大部分?jǐn)?shù)學(xué)題，不一定要能背下來所有的公式，不一定要在數(shù)學(xué)考試中拿滿分，但是你至少要訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維。訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，是為了讓自己擁有符合規(guī)律的思維方式。

孔子說：“三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳順，七十而從心所欲不逾矩。”所謂“從心所欲不逾矩”，不是說你要約束自己，讓自己想做的事情不越出邊界，而是你會因為擁有符合規(guī)律的思維方式，所以做的事情根本就不會越出邊界。

這，就是從心所欲的自由。