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? 在學(xué)了整數(shù)乘法，小數(shù)乘法之后難道就把整個乘法都學(xué)完了嗎？肯定沒有。我們在五年級時學(xué)的分?jǐn)?shù)的加減法，那么，既然是一個數(shù)也定可有乘法除法，也就是在六年級是我們學(xué)了分?jǐn)?shù)的乘法，大概的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，我用腦圖的形式畫了出來，如圖：
? 首先，我們在學(xué)習(xí)這一章分?jǐn)?shù)的乘法時，不是直接學(xué)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法之前，我們已經(jīng)知道了，什么是乘法，而且已經(jīng)學(xué)過中數(shù)小數(shù)的具體乘法，所以并不是五基礎(chǔ)的開始有錢溫故一下之前學(xué)過的東西，現(xiàn)在問了顧小孩一直不知道我們這幾張到底要學(xué)什么沒有一個總的概念，所以還要再之心，知道要學(xué)什么，你是我自己舉了幾個例子，如二分之一×三等于幾？四分之一6分之1等于幾這樣我就知道了目標(biāo)，下一步就是去解決它了。
? 以前我們學(xué)的是分?jǐn)?shù)的加減法，今天我們要討論的是分?jǐn)?shù)的乘法。它到底是怎么運(yùn)算的呢？又為什么這樣運(yùn)算呢？有一些人可能只知道一個公式，卻不知道它背后的原理...
? 分?jǐn)?shù)的乘法分兩類。第一類是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，第二類，是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。那么先讓我們看一下分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。
? 舉個例子來說吧，就比如二分之一乘2等于多少?？吹竭@道題，剛開始確實(shí)不知道該怎么算，因?yàn)檫€沒有學(xué)過。但是我發(fā)現(xiàn)，可以把這個不會的知識，轉(zhuǎn)化成我會的。就比如說我可以把一個分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，轉(zhuǎn)化成一個小數(shù)乘整數(shù)。這個我們以前是學(xué)過的。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)和小數(shù)之間，可以相互轉(zhuǎn)化有關(guān)系。二分之一，也就等于1÷2，結(jié)果是0.5。0.5×2=1。這樣便算出來了。還有一個辦法，便是利用乘法的意義。二分之一乘二，也就是兩個二分之一相加。那么就可以巧妙地把二分之一乘二，轉(zhuǎn)化成二分之一，加二分之一。分?jǐn)?shù)的加法我是學(xué)過的，最后的結(jié)果也就是一。這些方法確實(shí)可行，但是這畢竟是轉(zhuǎn)化成我們以前學(xué)過的，并不是他最簡單的算法。如果說是一個很大的數(shù)位，那該怎么辦？所以我們只能去探究它最簡單的方法。首先我想到了一個辦法，便是畫圖。舉例來說，就比如三分之一乘二。三分之一便是將一個整體平均分成三份，取其中的一份。然后現(xiàn)在有兩個這樣的三分之一，也就是拿兩份。畫成圖就是這樣：
? 原來只有一個三分之一，現(xiàn)在有兩個。在圖中可以直接，直觀地看出來，也就是紅色的部分，占整體的三分之二?？磥磉€有一種辦法便是畫圖。之后我又寫了很多這樣的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，并且一直畫圖，最后發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律。分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時，分母不變，分子乘整數(shù)。我試著用這個規(guī)律套了一下圖，發(fā)現(xiàn)每一次都是對的。但是究竟為什么是這樣呢？三分之一乘二，為什么非要是1×2呢？三分之一可以理解為，把一個整體平均分成三份，取其中的一份，也就是一個分?jǐn)?shù)單位。而現(xiàn)在乘了一個二，也就是說，有兩個三分之一。其實(shí)換句話來說，也就是兩個一個分?jǐn)?shù)單位。兩個一個就是2×1，而分子就是那個分?jǐn)?shù)單位。所以才是分子乘那個整數(shù)。其實(shí)就是幾個分?jǐn)?shù)單位的問題。分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，其實(shí)和整數(shù)的乘法非常像。整數(shù)舉個例子來說2×3，其實(shí)可以把那個二轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)。是一分之二。 2×3也就等于一分之二×三， 又成一個分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，幾個分?jǐn)?shù)單位的問題。這是多么的神奇！但是在分?jǐn)?shù)乘整數(shù)里還分為兩類，其中的一類便是要約分的，另類便是不用約分的。就比如說三分之二×三，結(jié)果是三分之六，約分就等于2。但是有沒有一種方法，讓這個約分更加的快。不是算出結(jié)果再約，而是在中間的過程中約分呢？三分之二×三其實(shí)也就是這樣：
? 這個時候，我發(fā)現(xiàn)分子和分母都有公因數(shù)三，再利用分子分母同時乘或除以一個數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。讓上下都除3。分母除3 ，然后不讓上面的2×3算出結(jié)果，直接乘三，再除三，三就被抵消了，最后直接得到一分之二也就等于2。這樣的方法更加的簡潔。最后，我們可以試著用字母來表示一下分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。
? 這便是一個普遍適用公式，當(dāng)中提到了分母不能為零，因?yàn)榉帜赶喈?dāng)于除法中的除數(shù)，當(dāng)然不能為零。而且重的藥是一個自然數(shù)，因?yàn)樗皇亲匀粩?shù)，還怎么能叫分?jǐn)?shù)乘整數(shù)呢？
? 有關(guān)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的的問題，已經(jīng)都明白了其原理，現(xiàn)在讓我們來討論一下，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的問題。
? 舉例來說吧，就比如三分之一×五分之一，我們確實(shí)還可以把它轉(zhuǎn)化成小數(shù)來計算，但如果數(shù)位太大就很麻煩，所以還是要探究它最簡單的方法。首先可以用畫圖的辦法。先把一個整體平均分成三份，取其中的一份是三分之一。再把三分之一平均分成五份，取其中的一份。轉(zhuǎn)化成圖就是這樣：
? 最后，我們看一下這其中的一份站整體的多少呢？可以把每一份都平均分成五份，這樣讓每一個單位都保持一樣。最后數(shù)一下一共是15份，而其中的那一份站整體的十五分之一。我同樣還是列了很多分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的問題，都用畫圖法來解決。最后，我也發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律。便是分子乘分子分母乘分母。但是他到底為什么是這樣？讓我們試著在圖中找到答案。就比如說七分之二×三分之二，把一個總體平均分成七份，取其中的2份，再把這兩份平均分成三份取其中的2份，化成圖是這樣：
? 可以很直觀的得到，結(jié)果是二十一分之四。但這些數(shù)究竟是怎么來的呢？讓我們先從分母來看?，F(xiàn)在是七分之二，我們不妨先把它理解為兩個七分之一。先算七分之一×三分之二。把整體先平均分成七份取其中的一份，然后再把這一份平均分成三份，其實(shí)也就是分成了三乘七份。因?yàn)橐还灿衅叽蠓?，每一份又分成了三份，自然就是份?shù)×3。這也就是為什么是分母乘分母?，F(xiàn)在讓我們來看一下分子部分。如果說是七分之一×三分之二，按照分子乘分子也就是1×2。但這怎么理解呢？原來只有一個分?jǐn)?shù)單位怎么一下子就變成了兩個？其實(shí)就是因?yàn)樗哑渲幸粋€分?jǐn)?shù)單位，平均分成了三份，取了其中的兩份。也就是說把這一大份變成了兩小份的就可以，直接說是2份。這也就是為什么是分子乘分子。最后算出來七分之一×三分之二，還要在成一個，因?yàn)閯偛攀欠譃榱藘蓚€七分之一， 除了一個2 。為保證結(jié)果不變，最后還要再乘2。這也就是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的原理。但是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，肯定也面臨著約分的問題。就如同分?jǐn)?shù)乘整數(shù)那樣。比如說三分之二乘六分之三，結(jié)果是十八分之六，再等于三分之一。有沒有在中間月份的方法？肯定是有的，如圖：
? 根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)分子分母同時除一個數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。而這時分子分母正好又有公因數(shù)，所以就直接把它給約了，不讓上面和下面的兩個數(shù)算出結(jié)果，直接約。這樣也更加的簡便。最后讓我們用字母來表示一下。
? 而分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，同時也與整數(shù)乘法有關(guān)系，也與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)有關(guān)系。因?yàn)樗麄冏罱K都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。
所以最后可以說明，不管是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，還是整數(shù)乘法，它們其實(shí)最終都是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。也就是說，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)包含了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，以及整數(shù)乘法。而且他們?nèi)咧g可以相互轉(zhuǎn)化。
? 接下來我寫的一支是簡便運(yùn)算，簡便運(yùn)算之后是實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)然，這樣也沒有問題，因?yàn)樵趯W(xué)了算理之后可能有更簡便的方法來算，但在這里我還是覺得應(yīng)該把簡便算法歸到實(shí)際應(yīng)用，因?yàn)橹挥性诮鉀Q生活中的問題的時候才會用到簡便算法，更容易計算。所以就直接讓我們來看實(shí)際應(yīng)用這一支。分?jǐn)?shù)的乘法——實(shí)際應(yīng)用
? 在學(xué)會了分?jǐn)?shù)的乘法之后，我們要干什么呢？換句話來說，就是我們學(xué)分?jǐn)?shù)的乘法是為什么？其實(shí)一切學(xué)的數(shù)學(xué)知識，就是為了解決實(shí)際生活中的問題。要不然學(xué)了就是一個死知識，有什么用呢？
? 我們學(xué)了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，以及分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。這就是分?jǐn)?shù)乘法的兩大類。
? 首先，讓我們看一下分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。如題：
? 一共有兩大題，先讓我們看第一題。小新，爸爸，媽媽共吃一個蛋糕。每個人吃九分之二個，三個人一共吃了多少？我們要先明白，他們說每個人吃九分之二個，是吃誰的九分之二。大家再讀第一句話， 三個人共吃一個蛋糕，也就是說，每個人吃這個蛋糕的九分之二?，F(xiàn)在有三個人吃這個蛋糕的九分之二。也就是三個九分之二，三乘九分之二。這樣就列出來了一個算式，直接計算出來就知道結(jié)果了?？墒蔷烤篂槭裁匆@樣列呢？這樣會不會產(chǎn)生分歧呢？我覺得可以，不會產(chǎn)生分歧。這個倍數(shù)關(guān)系，與以前學(xué)的不同。以前學(xué)的是整數(shù)的整數(shù)倍，而現(xiàn)在是分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，但雖然是分?jǐn)?shù)，可他也是一個數(shù)呀，當(dāng)然也是可以參與乘法運(yùn)算的，都表示誰的幾倍，在前面我們已經(jīng)知道了，凡是誰是誰的幾倍都用乘法。自然也不會產(chǎn)生分歧。第二大題，其實(shí)和第一道題是一個意思，只不過就是換了一下分的東西的名字。還是先找到單位一。就是那一袋面包的重量，是十分之三千克，現(xiàn)在有三個這樣的十分之三，也就是三乘十分之三。這樣的話也不會產(chǎn)生分歧，因?yàn)殡m然是分?jǐn)?shù)，但他也是數(shù)，可以參與乘法運(yùn)算。
? 好了，現(xiàn)在讓我們繼續(xù)解決分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的問題。如題：
? 一共2問，先讓我們看第一問。你伯伯家有一塊二分之一公頃地，土豆的面積占這塊地的五分之一，種土豆的面積是多少公頃。首先，我們要先找到單位一，也就是這塊地的面積，二分之一公頃?，F(xiàn)在他說，土豆的面積占這塊地的五分之一，現(xiàn)在可以把地轉(zhuǎn)化成二分之一，也就是二分之一的五分之一，二分之一乘五分之一，這樣也就算出來了土豆的面積。再看玉米的面積是多少。占這塊地的五分之三，二分之一的五分之三，二分之一乘五分之三。這與以前也不一樣。因?yàn)檫@樣是分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)倍，和他也不會產(chǎn)生分歧。因?yàn)楫吘狗謹(jǐn)?shù)也是數(shù)，可以參與乘法運(yùn)算。
? 大家再看這道題，有沒有感覺和上一道題不太一樣。這道題還能像上面所說的一樣嗎？就比如十二里面有幾個二分之一？這樣說就不行了。應(yīng)該說十二的二分之一?？梢岳斫鉃樗亩种槐丁＿@個與以前學(xué)的不同。因?yàn)樗欠謹(jǐn)?shù)的整數(shù)倍。但是難道這樣就不能是倍數(shù)關(guān)系了嗎？分?jǐn)?shù)也是數(shù)，可以參與乘法運(yùn)算。所以在這里完全可以理解為倍數(shù)關(guān)系。只不過不是整數(shù)。
? 我們發(fā)現(xiàn)以上這幾道題，計算量都很小。計算起來很容易。但是在生活中難免會遇到一些非常難算的題，這時候就要用到簡便運(yùn)算?？墒欠?jǐn)?shù)乘法適用于哪些運(yùn)算律呢？我們可以通過幾個例子，來證明一下。
? 首先先讓我們看第一道題三分之二乘四分之一乘三。我們發(fā)現(xiàn)三分之二乘四分之一，分子分母并沒有公因數(shù)。得出的結(jié)果再算也很難算出來。但是我們發(fā)現(xiàn)這是一道連乘算式，看看可不可以利用乘法交換律，讓三分之二和三先乘，分母三和三有公因數(shù)。得到結(jié)果是二，再直接用二乘四分之一，等于二分之一。這樣很簡便，并且結(jié)果和正確結(jié)果一樣。而且還可以通過體積模型來解釋。把這三個數(shù)分別當(dāng)成長寬高，不管怎么乘體積都是一樣的。
? 再讓我們看一下第二題：九分之八和二十七分之四的和，乘27?？梢园阉斫鉃榫欧种?二十七分之四個27。我們可不可以把他們分開相乘。意義上也可以解釋的過去，一個是合起來乘二十七，一個是分開乘二十七，數(shù)量都是一樣的。分開反而更簡便，因?yàn)榫?，二十七都?7的因數(shù)。這樣算起來很簡便。如果合起來算，還要先算出那兩個數(shù)的和，又不是同分母，還要通分，就多了一步。而這一步，其實(shí)就用到了乘法分配律。我們還可以用面積模型來解釋：
? ? 一個長方形，它的寬為3厘米，長為6厘米。另一個長方形的寬為3厘米，長為1厘米。這兩個長方形一共的面積是多少？你可以分別求出來再合在一起?；蛘呖梢杂贸朔ǚ峙渎伞Ｋ麄冇幸粋€共同的數(shù)就是三。所以可以直接把長都加到一起，一起乘寬。
? 也可以通過一個故事來解釋：一個大棚一共有480平方米，其中一半種蘿卜，紅蘿卜的面積占蘿卜地的四分之一，問紅蘿卜地的面積是多少？首先去求出蘿卜里的面積是多少，然后再求出紅蘿卜的面積是多少。先用480×二分之一再乘以四分之一。在這里用乘法也是可以的，因?yàn)槭沁@個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，雖然是分?jǐn)?shù)，但也不會引發(fā)歧意。但我們也可以用一種更簡便的方法——利用乘法分配律。首先先知道紅蘿卜地的面積，與整個地面積的關(guān)系，占整個地面積的幾分之一。首先，我們知道蘿卜地的面積占整個地面積的二分之一，紅蘿卜地的面積又占蘿卜地的四分之一。1除2除4也就是紅蘿卜地占整體的幾分之一，蘿卜地占整個面積的八分之一。然后再用整體的面積480×?八分之一，得到紅蘿卜地的面積。這樣既不會產(chǎn)生分歧，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)也可以相乘，又更加簡便。
? 這么多道題看似完全不一樣，其實(shí)一共就那么幾類，只不過就是變一下條件，當(dāng)時的情景，萬變不離宗。第一類，也是最簡單的，知道一個數(shù)是多少，求他的幾分之幾是多少？那也可以理解為這個數(shù)的幾分之幾倍是多少，用乘法。第二類，知道一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。這個時候是求整體1，要用除法。通過方程也可以證明。就比如一個數(shù)的八分之一是800，求這個數(shù)。我們可以把這個數(shù)設(shè)為X。X的八分之一是八百，也就是八分之一X等于800。如果想讓八分之一X變成X，根據(jù)以前我們說的一個分?jǐn)?shù)除以和自己一樣的分?jǐn)?shù)是1，現(xiàn)在是八分之一X，再讓他?8分之一也就等于X。根據(jù)等式的性質(zhì)800也要÷8分之一才可以。這也就證明了要用除法?；蛘咭部梢赃@樣理解。X的八分之一是800，X ×8分之1等于八百，根據(jù)乘除狐貍自然就是800÷8分之1等于X。第三類，就是和倍關(guān)系。知道，兩個數(shù)的和，有知道這兩個數(shù)之間的關(guān)系，求這兩個數(shù)分別是多少？第四類：差倍關(guān)系。知道，兩個數(shù)的差，又知道這兩個數(shù)的關(guān)系，求這兩個數(shù)分別是多少？這兩類都可以用方程來解決。第五類：知道一個數(shù)是多少，要知道，這個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾，求這個數(shù)。一共就這么幾類，千變?nèi)f化，只要看透他是哪一類就知道方法。
? 最后一章是未來發(fā)展，因?yàn)槲覀儗W(xué)了這一章之后，不可能就全部學(xué)完了，以后還要繼續(xù)學(xué)習(xí)，更有難度的東西。比如分?jǐn)?shù)乘負(fù)數(shù)，我們還沒有涉足到，但它確實(shí)也屬于分?jǐn)?shù)的乘法?，F(xiàn)在可以把它當(dāng)成下一個目標(biāo)，然后去挑戰(zhàn)他了！
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