本章內容

1. 條件概率
2. 乘法定理
3. 全概率公式
4. 貝葉斯公式、先驗與后驗
5. 相互獨立、互斥、對立（互逆）

一、條件概率

已知某個事件A發(fā)生的條件下，另一個事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(B|A)。

引例：

甲乙兩人各拋一顆骰子，點數(shù)大的贏。如果甲先拋骰子，得到點數(shù)4，那么乙獲勝的概率是多少？

記A={甲得到點數(shù)為4}，B={乙獲勝} ，P(A)=1/6；P(AB)=2/36=1/18；P(B|A)2/6=1/3

看一下P(B|A)與P(A)、P(B)的關系：P(B|A)=P(AB)/P(A)

條件概率也是概率的一種，同樣滿足前一章所說的概率定義的條件與性質

舉例：

某公司年終決定丼行抽獎活動，從全部員工中選取一名特等獎。公司人事架構如下：

（1）若被抽中的人是銷售部的，問該員工是女性的概率？

（2）若被抽中的人是女生的，問該員工是銷售部的概率是？

解題上來要設事件??！

解：設A={被抽中的是銷售部的}，B={被抽中的是女生}

(1)P(B|A)=P(AB)/P(A)=(10/100)/(30/100)=1/3

(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=(10/100)/(40/100)=1/4

著名的三門問題：到底換了的概率變大了沒有

將3個門記為1,2,3號，假設參賽者先選擇的是1號門。

記Ａ＝｛1號門是汽車};B={2號門 是汽車}；C={3號門是汽車}，則P(A)=P(B)=P(C)=1/3。原來的選擇有1/3的機會獲得 汽車。

假設主持人開啟了2號門，這個事件記為D。那么參賽者堅持選擇或是改變選擇而贏得 汽車的概率又是多少？

從圖中的第一列看出，當參賽者選擇了1號門， 2號門被打開的概率P(D)=1.5/3；汽車在1號門 并且主持人打開了2號門的概率P(AD)=0.5/3 。

1. 堅持選擇：P(A|D)=P(AD)/P(D)=1/3
2. 改變選擇：P(CD)=1/3 P(C|D)=P(CD)/P(D)=2/3

所以，改變選擇將有更大的幾率獲得汽車。

二、乘法定理

由條件概率的定義，很容易得到P(AB)=P(B|A)P(A)，其中P(A)>0。這條公式很容易推廣到P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=P(A|BC)P(B|C)P(C)

例1：設某光學儀器廠 制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若 第一次落 下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

例2：某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次 ,每人最多參加3次;某人第一次參加能通過的概率為60% ;如果第一次未通過就去參加第二次,這時能通過的概率為80% ;如果第二次再未通過,則去參加第三E次,此時能通過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。

三、全概率公式

劃分：

全概率公式：

舉例：

例1: 假設在某時期內影響股票價格變化的因素只有銀行存折利率的變化。經分析，該時期內利率下調的概率為60% ,利率不變的概率為40%。根據(jù)經驗,在利率下調時某支股票上漲的概率為80% ,在利率不變時,這支股票上漲的概率為40%。求這支股票上漲的概率。

三、貝葉斯公式

引例：

病樹的主人外出,委托鄰居澆水,設已知如果不澆水,樹死去的概率為0.8.若澆水則樹死去的概率為0.15.有0.9的把握確定鄰居會記得澆水.

(1)求主人回來樹還活著的概率.

(2)若主任回來樹還活著，求鄰居忘了澆水的概率.

先驗概率與后驗概率：

例1：對以往數(shù)據(jù)分析結果 表明,當機器調整得良好時,產品的合格率為98% ,而當機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機器開動時,機器調整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產品是合格品時,機器調整良好的概率是多少?

這就是說,當生產出第一件產品是合格品時,此時機器調整良好的概率為0. 97.這里,概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息(即生產出的第一件產品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0,97)叫做后驗概率。有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解。

例2：根據(jù)以往 的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果:若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”,則有P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95.現(xiàn)在對自然人群進行普查,設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)==0.005,試求P(C|A).

本題的結果表明,雖然P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95,這兩個概率都比較高.但若將此試驗用于普查,則有P(C|A)=0.087,亦即其正確性只有8. 7%(平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人確患有癌癥).如果不注意到這一點,將會得出錯誤的診斷,這也說明,若將P(A|C)和P(C|A)混淆了會造成不良的后果.

公式比較：

乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式

1 乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；

2 全概率公式是求“最后結果”的概率；

3 貝葉斯公式是已知“最后結果” ，求“某個事件”的概率.

先驗概率與后驗概率

1 P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下, 某個事件Bj發(fā)生的概率, 稱為 “后驗概率”;

2 Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概公式”;

3 稱P(Bj) 為“先驗概率”.

五、相互獨立、互斥、對立

P(B|A)=P(B), P(B|A)=P(B)表示事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率都沒有影響,這時我們可以說A、B相互獨立。

多個事件相互獨立與多個事件兩兩獨立不是一回事

相互獨立事件：風馬牛丌相及。兩個事件沒有一點關系。例如，A、Ｂ分別表示甲、乙 兩人患感冒，丏甲乙兩人的活動范圍相距甚進，那么甲是否患感冒跟乙沒什么關系， 所以可以認為A、B獨立。

互斥事件：要么只有其中一個事件發(fā)生，要么兩個事件都不發(fā)生。在某次抽獎活動中， 一等獎只有一個名額，A={甲中一等獎}，B={乙中一等獎}。那么A、B互為互斥事件， 實際情況可能是甲中一等獎，可能是乙中一等獎，當然，更有可能甲乙都沒中獎。

對立事件：兩個只能活一個，不是你死就是我亡。跟互斥事件相比，對立事件必然會 有一個事件發(fā)生。例如在上述的抽獎活動中，C={甲沒中一等獎}，那么Ａ與Ｃ是對立事件。

互斥事件不對立事件都不是相互獨立事件！