第三章 檢測理論

第三章 檢測理論

統(tǒng)計檢測理論是利用信號的統(tǒng)計特性和噪聲的統(tǒng)計特性等信息來建立最佳判決的數(shù)學(xué)理論。主要解決在受噪聲干擾的觀測中，信號有無的判決問題。其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是統(tǒng)計判決理論，又稱假設(shè)檢驗理論。

[TOC]

3.1 經(jīng)典檢測理論

信號檢測相當于數(shù)理統(tǒng)計中的假設(shè)檢驗。假設(shè)就是檢驗對象的可能情況或狀態(tài)，一般分為目標存在或不存在兩種情況。

一種情況：沒有信號存在，用符號H_0表示，稱為0假設(shè)，即
H_0:x(t)=n(t)
另一種情況：有信號存在，用符號H_1表示，稱為備選假設(shè)或1假設(shè)，即
H_1:x(t)=s(t)+n(t)
在實際情況中，接收到的只是隨機過程的一個或幾個樣本函數(shù)，然后分析隨機過程x(t)的樣本統(tǒng)計量，來判斷哪個假設(shè)可以接受，這就是假設(shè)檢驗。

實際的二擇一檢驗模型如下圖所示

image.png

觀測值z的取值范圍構(gòu)成觀測空間Z，二元假設(shè)下的判決問題，實質(zhì)上就是把觀測空間分割成Z_1或Z_0兩個區(qū)域，當觀測值z在Z_0中時，判決H_0為正確的假設(shè)，當z在Z_1中時，判H_1為正確的假設(shè)。區(qū)域Z_0和Z_1稱為判決域。

多元假設(shè)檢驗：對于更一般的情況，輸出可能是M個假設(shè)H_0，H_1??H_{M-1}中的一個，稱為多元假設(shè)檢驗。如模式識別。

復(fù)合假設(shè)檢驗：表征假設(shè)的參量可能處在某個數(shù)值范圍內(nèi)的假設(shè)。

序貫檢測：按照取樣觀測值出現(xiàn)的次序進行處理和作出判決。

對于每個假設(shè)，源輸入后會受到噪聲干擾后得到觀測值z的后驗概率的概率密度函數(shù)(PDF)為p(z|H_0)和p(z|H_1)，分別表示在假設(shè)0或假設(shè)1條件下得到的觀測值，又稱為似然函數(shù)。對于某一種準則，可以把二元檢測判決分為四種情況：

真實\判決結(jié)果 H_0 H_1
H_0 正確判決 虛警
H_1 漏報 正確判決

由于噪聲的存在及觀察樣本數(shù)的限制，在檢測過程中會產(chǎn)生判決錯誤。問題是怎樣盡可能地減少這些錯誤，這就是檢測系統(tǒng)的最佳化問題。另外，正如上述，錯誤有兩種，一種為漏報，一種為虛警，在不同的工作情況下，這兩種錯誤所造成的后果并不一樣，因此可能對不同的錯誤有不同的重視程度，這就引入了最佳準則問題。不同的準則下有不同的判決規(guī)則（如選取的判決門限不同），使得檢測系統(tǒng)有不一樣的虛警錯誤和漏報錯誤分配。

3.2 最小平均風(fēng)險準則(Bayes準測)

衡量檢測效果的一種直觀標準就是看各種判決結(jié)果所需要承擔(dān)的代價或風(fēng)險的大小，顯然一種判決結(jié)果所需要的代價與其發(fā)生可能性（概率）和對應(yīng)的代價因子成正比。則可設(shè)計平均風(fēng)險函數(shù)為

E[C]=C_{00} P\left(D_{0}, H_{0}\right)+C_{10} P\left(D_{1}, H_{0}\right)+C_{01} P\left(D_{0}, H_{1}\right)+C_{11} P\left(D_{1}, H_{1}\right)

其中P(D_i,H_j)表示H_j為真且判決為D_i的聯(lián)合概率，C_{ij}在P(D_i,H_j)時的代價因子。C_{01}為漏報代價因子，C_{10}為虛警代價因子，C_{11}為正確檢測代價因子，C_{00}為正確不發(fā)現(xiàn)代價因子。

而Bayes準則就是使得平均風(fēng)險E[C]最小化。如果用條件概率來表示全概率，有
\begin{aligned} E[C]=& C_{00} P\left(D_{0} / H_{0}\right) P\left(H_{0}\right)+C_{10} P\left(D_{1} / H_{0}\right) P\left(H_{0}\right) +C_{01} P\left(D_{0} / H_{1}\right) P\left(H_{1}\right)+C_{11} P\left(D_{1} / H_{1}\right) P\left(H_{1}\right) \\ =& C_{00} P\left(H_{0}\right) \int_{Z_{0}} p\left(z / H_{0}\right) d z+C_{10} P\left(H_{0}\right) \int_{Z_{1}} p\left(z / H_{0}\right) d z +C_{01} P\left(H_{1}\right) \int_{z_{0}} p\left(z / H_{1}\right) d z+C_{11} P\left(H_{1}\right) \int_{Z_{1}} p\left(z / H_{1}\right) d z\\ =& C_{00} P\left(D_{0} / H_{0}\right) P\left(H_{0}\right)+C_{10} P\left(D_{1} / H_{0}\right) P\left(H_{0}\right) +C_{01} P\left(D_{0} / H_{1}\right) P\left(H_{1}\right)+C_{11} P\left(D_{1} / H_{1}\right) P\left(H_{1}\right) \\ =& C_{00} P\left(H_{0}\right) \int_{Z_{0}} p\left(z / H_{0}\right) d z+C_{10} P\left(H_{0}\right) \int_{Z_{1}} p\left(z / H_{0}\right) d z +C_{01} P\left(H_{1}\right) \int_{z_{0}} p\left(z / H_{1}\right) d z+C_{11} P\left(H_{1}\right) \int_{Z_{1}} p\left(z / H_{1}\right) d z\\ =& C_{00} P\left(H_{0}\right) \int_{Z_{0}} p\left(z / H_{0}\right) d z+C_{10} P\left(H_{0}\right)\left[1-\int_{Z_{0}} p\left(z / H_{0}\right) d z\right] +C_{01} P\left(H_{1}\right) \int_{Z_{0}} p\left(z / H_{1}\right) d z+C_{11} P\left(H_{1}\right)\left[1-\int_{Z_{0}} p\left(z / H_{1}\right) d z\right] \\ =& C_{10} P\left(H_{0}\right)+C_{11} P\left(H_{1}\right) +\int_{Z_{0}}\left\{\left[\left(C_{01}-C_{11}\right) P\left(H_{1}\right) p\left(z / H_{1}\right)\right]-\left[\left(C_{10}-C_{00}\right) P\left(H_{0}\right) p\left(z / H_{0}\right)\right]\right\} d z \end{aligned}
如果要求在Z_0區(qū)內(nèi)任一點由假設(shè)H_0所產(chǎn)生的Z落在該點的代價，大于由假設(shè)H_1所產(chǎn)生的Z落在該點的代價，則可使平均風(fēng)險變小，也就是被積函數(shù)的第二項應(yīng)大于第一項，此時z落在Z_0區(qū)內(nèi)的總代價可提供負值。所以可以調(diào)整Z_0判決區(qū)域，滿足如下不等式：
P(H_0)(C_{10}-C_{00})p(z/H_0)>P(H_1)(C_{01}-C_{11})p(z/H_1)
用同樣的方法調(diào)整判決區(qū)域Z_1，使得由假設(shè)H_1所產(chǎn)生的Z落在該點的代價，大于由假設(shè)H_0所產(chǎn)生的Z落在該點的代價，則可使平均風(fēng)險變小。
P(H_1)(C_{01}-C_{11})p(z/H_1)>P(H_0)(C_{10}-C_{00})p(z/H_0)
根據(jù)公式(5)和公式(6)，兩個不等式相互矛盾，所以在取等于時可以兼顧兩個不等式，其判決準則如下：
\frac{P\left(z / H_{1}\right)}{P\left(z / H_{0}\right)} \frac{>^{H_1}}{<_{H_0}} \frac{P\left(H_{0}\right)\left(C_{10}-C_{00}\right)}{P\left(H_{1}\right)\left(C_{01}-C_{11}\right)}
左邊的表達式稱為似然比，用\lambda(z)表示。右邊的表達式稱為門限似然比，用\eta表示：
\lambda(z)=\frac{P\left(z / H_{1}\right)}{P\left(z / H_{0}\right)}\qquad \eta=\frac{P\left(H_{0}\right)\left(C_{10}-C_{00}\right)}{P\left(H_{1}\right)\left(C_{01}-C_{11}\right)}
所以可以用兩個條件概率密度函數(shù)之比就可以求出似然比\lambda(z)。

由于Bayes準則兩邊均為正值，所以對判決準則兩邊取對數(shù)不改變原不等式。
ln\lambda(z)\frac{>^{H_1}}{<_{H_0}}ln\eta_0
以一維情況為例來說明Bayes準則，在判決門限Z_0處劃分觀測空間。

image.png

由上可知在Z_0=Z_a時才是最佳的判決，所以可以對代價函數(shù)E(c)求導(dǎo)，并令一次導(dǎo)數(shù)為0時求得的Z_0就是Bayes門限，從而可以求出門限似然比。

3.3 其它準則

3.3.1 極大極小準則

因為Bayes準則依賴于先驗概率和代價函數(shù)，而極大極小準則不需要依賴先驗概率，尋求最小平均風(fēng)險中的最大值，考慮在最不利的情況下尋找最佳的判決。

可以把Bayes準則進行改寫：
\lambda(z)=\frac{P\left(z / H_{1}\right)}{P\left(z / H_{0}\right)} \frac{>^{H_1}}{<_{H_0}} \frac{P\left(H_{0}\right)\left(C_{10}-C_{00}\right)}{(1-P\left(H_{0}\right))\left(C_{01}-C_{11}\right)}
所以代價函數(shù)也可以表示成P(H_0)的函數(shù)：
E(C)=C_{00}P(H_0)\int_{Z_0}p(z/H_0)dz+C_{10}P(H_0)\int_{Z_1}p(z/H_0)dz \\ +C_{01}(1-P(H_0))\int_{Z_0}p(z/H_1)dz+C_{11}(1-P(H_0))\int_{Z_1}p(z/H_1)dz
但是在代價函數(shù)E(c)中，如果P(H_0)變化也會引起判決區(qū)域Z_0,Z_1發(fā)生變化。所以最小平均風(fēng)險E(c)_{min}是非線性的，如下圖所示。

image.png

所現(xiàn)在就是求對應(yīng)最小平均風(fēng)險最大值所對應(yīng)的P^*(H_0)，也就是求\frac{dE(c)_{min}}{dP(H_0)}=0的點。

因為代價函數(shù)E(c)可簡單看作是的P(H_0)的線性函數(shù)，所以隨著P(H_0)改變E(c)_{min}也會線性變化。因此當求出最小平均風(fēng)險的最大值時，其E(c)_{min}是個定值，平均風(fēng)險中為C_0。

求 P^*(H_0)點 ，即可得到滿足下列等式的值：
C_{00}P(D_0/H_0)+C_{10}P(D_1/H_0)=C_{01}P(D_0/H_1)+C_{11}P(D_1/H_1)
使得假設(shè)H_0的風(fēng)險等于假設(shè)H_1的風(fēng)險。所以極大極小準則又可稱為等風(fēng)險準則。

3.2 Neyman_Pearson準則(檢測概率最大準則)：

Bayes準則需知道先驗概率和代價函數(shù)，極大極小準則需知道代價函數(shù)。而Neyman_Pearson準則則是解決二者均不知的判決問題，該方法是確定虛警概率或漏報概率中的一種，再去求使另一種達到極小的判決，一般對虛警要求較高，所以，先限定虛警，再去求最小漏報或最大檢測，所以N-P準則有時也叫恒虛警檢測。

如果假設(shè)虛警概率為P_F，漏報概率為P_M，檢測概率為P_D，則N-P準則為：
\begin{cases} P_F=\alpha\qquad(\alpha一般取0.1~0.05)\\ P_M=min或P_D=1-P_M=max \end{cases}
為了求解NP準則，可以用拉格朗日乘子法構(gòu)造目標函數(shù)：

\begin{aligned} J =& P_M+\lambda(P_F-\alpha)\\ =& \int_{Z_0}p(z/H_1)dz+\lambda[\int_{Z_1}p(z/H_0)dz-\alpha]\\ =& \lambda(1-\alpha)+\int_{Z_0}[p(z/H_1)-\lambda p(z/H_0)]dz\\ \end{aligned}

要求解目標函數(shù)J的最小值，就令目標函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0。

所以NP準則需要先求解出似然比:
\lambda(z)=\frac{P(Z_0/H_1)}{P(Z_0/H_0)}
然后在一維情況時可以利用P_F=\int_{Z_1}p(\lambda(z)/H_0)d\lambda(z)\leq\alpha取極限時P_F=\alpha，求出\lambda。
或者由P_F=\int_{Z_1}p(z/H_0)dz\leq\alpha，求出Z_1，再帶入似然比中求出\lambda。

image.png

Bayes是平均風(fēng)險最小的假設(shè)檢驗，N-P準則是檢測概率最大的檢驗，所以，既是平均風(fēng)險最小，又滿足檢測概率最大。通俗一點說，N-P準則是在某個確定的虛警下獲得最佳檢測，而Bayes則在任何虛警下均有最佳檢測。

3.3.3 最小錯誤概率準則

如果假定C_{00}=C_{01}=0和C_{10}=C_{11}=1時的Bayes準則，即正確判決不付出代價，錯誤判決付出相同代價。則有：
\lambda(z)=\frac{P\left(z / H_{1}\right)}{P\left(z / H_{0}\right)} \frac{>^{H_1}}{<_{H_0}} \frac{P(H_0)}{P(H_1)}

3.3.4 最大似然概率

假設(shè)P(H_0)=P(H_1)=\frac{1}{2}時的最小錯誤概率準則，則有：
\lambda(z)=\frac{P\left(z / H_{1}\right)}{P\left(z / H_{0}\right)} \frac{>^{H_1}}{<_{H_0}} 1

3.3.5 最大后驗概率準則

前面的準則均采用似然比檢測。 這里采用后驗概率比，所謂后驗概率是指接收到信號之后判斷其中含有信號的概率有多大，P(H_1/z)和P(H_0/z)。

3.4 多元假設(shè)檢驗(類似模式識別)

類似于二元假設(shè)檢驗，接收機的任務(wù)是要通過1個（或1組）觀測值，按照選定的判決準則進行假設(shè)檢驗。設(shè)由觀測z的取值范圍構(gòu)成觀測空間Z（可以是1維，也可以是N維），多元假設(shè)檢驗實質(zhì)上就是把N維觀測空間分割成M個判決區(qū)域Z_0，Z_1??Z_{M-1}，當觀測值z在Z_i中時，判決H_i為正確的假設(shè)。其接收信號的一般形式為:
0假設(shè)H_0:x(t)=n(t)\\ 備選假設(shè)H_i:s_i(t)+n(t)
所以其平均風(fēng)險為:
\begin{aligned} E[C]&=\sum_{i=0}^{M-1}\sum_{j=0}^{M-1}C_{ij}P(D_i/H_j)P(H_j)\\ &=\sum_{i=0}^{M-1}C_{ii}P(H_i)+\sum_{i=0}^{M-1}\sum_{j=0,j\neq i}^{M-1}(C_{ij}-C_{jj})P(H_j)\int_{Z_i}P(z/H_j)dz \end{aligned}

其中前一項時固定代價，第二項代表變化代價。要使平均風(fēng)險達到最小，就要使每個積分的值最小。也即要把觀測值分配給這樣的區(qū)域，使得在該區(qū)域中積分值最小。所以令：
I_i[z]=\sum_{j=0,j\neq i}^{M-1}(C_{ij}-C_{jj})P(H_j)p(z/H_j)
在對應(yīng)的Z_i區(qū)有：
I_i[z]<I_m[z]

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