01?引 言

有限元網(wǎng)格劃分是進(jìn)行有限元數(shù)值模擬分析的關(guān)鍵預(yù)處理步驟，其結(jié)果（單元形狀、拓?fù)漕愋汀卧愋瓦x擇、網(wǎng)格密度、節(jié)點(diǎn)編號(hào)以及幾何建模方式）直接決定了后續(xù)數(shù)值計(jì)算的精度和效率。在有限元求解過程中，單元的等效節(jié)點(diǎn)力、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等通常通過數(shù)值積分生成：連續(xù)體單元以及殼、板、梁?jiǎn)卧拿鎯?nèi)方向多采用高斯(Gauss)積分；殼、板、梁?jiǎn)卧暮穸确较騽t常采用辛普森(Simpson)積分。因此，網(wǎng)格質(zhì)量是保證計(jì)算精度的基石。

02?有限元網(wǎng)格劃分的基本原則

有限元方法的核心思想在于結(jié)構(gòu)離散化——用簡(jiǎn)化的幾何單元逼近連續(xù)體，并在滿足變形協(xié)調(diào)條件下求解。構(gòu)建合理的有限元模型需兼顧幾何描述準(zhǔn)確性與變形梯度描述的精確性。以下為網(wǎng)格劃分需遵循的關(guān)鍵原則：

2.1 網(wǎng)格數(shù)量權(quán)衡

網(wǎng)格數(shù)量的增加通常能提升計(jì)算精度，但同時(shí)也顯著增加計(jì)算耗時(shí)和資源消耗。研究發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)“性價(jià)比”拐點(diǎn)：初始增加網(wǎng)格能大幅提升精度而耗時(shí)增加有限；達(dá)到該點(diǎn)后，繼續(xù)加密網(wǎng)格對(duì)精度改善甚微，而計(jì)算耗時(shí)則急劇上升。實(shí)際應(yīng)用中需根據(jù)精度需求和計(jì)算資源在兩者間取得平衡。

2.2 網(wǎng)格密度控制（適應(yīng)性原則）

為精確反映應(yīng)力場(chǎng)等物理量的空間變化特征，結(jié)構(gòu)不同部位應(yīng)配置疏密不同的網(wǎng)格。例如，孔洞邊緣存在應(yīng)力集中，網(wǎng)格需加密；遠(yuǎn)離應(yīng)力集中區(qū)的梯度緩變區(qū)域，網(wǎng)格可適度稀疏化?；驹瓌t是：物理量梯度變化大的區(qū)域應(yīng)細(xì)化網(wǎng)格，梯度平緩的區(qū)域可粗化網(wǎng)格以控制模型規(guī)模。

2.3 單元階次選擇

單元按形函數(shù)階次分為線性、二次、三次等形式。高階單元（二次及以上）具有以下優(yōu)勢(shì)：

其曲線/曲面邊界能更精確地貼合實(shí)際幾何輪廓。

高階插值函數(shù)能更準(zhǔn)確地逼近復(fù)雜場(chǎng)函數(shù)。

因此，增加單元階次可有效提升計(jì)算精度。然而，高階單元單個(gè)單元節(jié)點(diǎn)數(shù)增多，同等網(wǎng)格數(shù)量下模型總規(guī)模（總自由度）更大，計(jì)算耗時(shí)增加。選擇時(shí)需綜合權(quán)衡精度要求與計(jì)算成本。

2.4 單元形狀質(zhì)量

單元形狀的優(yōu)劣（質(zhì)量）直接影響計(jì)算精度甚至決定求解能否成功。常用質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)包括：

縱橫比（Aspect Ratio）:

?單元邊長(zhǎng)比（1D）、面積比（2D）或體積比（3D），以正三角形、正四面體、正六面體為理想標(biāo)準(zhǔn)。比值越接近1越好。

扭曲度（Skewness / Distortion）:

?表征單元面內(nèi)角度或面外翹曲的畸變程度。

單元內(nèi)部角:

(特別是三角形單元)避免出現(xiàn)過尖或過鈍的內(nèi)角。

此外，節(jié)點(diǎn)編號(hào)策略對(duì)求解過程中總體剛度矩陣的帶寬或波前規(guī)模影響顯著，進(jìn)而影響求解耗時(shí)和存儲(chǔ)需求，也屬網(wǎng)格質(zhì)量?jī)?yōu)化范疇。

2.5 單元協(xié)調(diào)性（Compatibility）

單元協(xié)調(diào)性指單元間能無縫傳遞力與力矩。滿足單元協(xié)調(diào)的必要條件是：

單元的節(jié)點(diǎn)必須同時(shí)也是相鄰單元的節(jié)點(diǎn)，不能是其內(nèi)部點(diǎn)或孤立的邊界點(diǎn)。

相鄰單元在共享節(jié)點(diǎn)處具有相同類型（性質(zhì)）的自由度。

需注意，節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)一致是協(xié)調(diào)的必要條件但非充分條件，單元形函數(shù)在共享邊界（線或面）上的連續(xù)性也需保證。

03?主要網(wǎng)格生成方法及其分類

有限元網(wǎng)格生成方法可按多種方式分類（如生成單元類型、幾何維度、自動(dòng)化程度）。下文結(jié)合典型方法分析其機(jī)理、特點(diǎn)與適用范圍：

3.1 映射法（Mapping Method）

機(jī)理：

?基于實(shí)際幾何域與參數(shù)空間標(biāo)準(zhǔn)模板（如正方形、立方體）的雙向映射。

利用映射函數(shù)將復(fù)雜物理域映射到規(guī)則參數(shù)域。

在規(guī)則參數(shù)域內(nèi)生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

將參數(shù)域網(wǎng)格映射回物理空間得到最終網(wǎng)格。

特點(diǎn)：

?可生成高質(zhì)量、方向一致的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（全四邊形/六面體）。

局限：

?對(duì)幾何適應(yīng)性差（復(fù)雜形體無法直接映射），需繁瑣的人工子區(qū)域分解（將目標(biāo)域拆分為若干可映射的子域），局部網(wǎng)格控制能力弱，各子域網(wǎng)格密度設(shè)定相互掣肘，難以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化（尤其3D問題）。

適用范圍：

?形狀規(guī)則或可被方便分解為規(guī)則子域的結(jié)構(gòu)（如管道、簡(jiǎn)單的拉伸體）。

3.2 基于柵格法（或空間分解法）

機(jī)理：

保留完全在目標(biāo)域內(nèi)的柵格單元。

刪除完全在目標(biāo)域外的柵格單元。

裁剪與邊界相交的柵格單元以精確逼近邊界。

生成一個(gè)覆蓋目標(biāo)區(qū)域的背景柵格（Cartesian Grid）。

識(shí)別柵格單元：

對(duì)內(nèi)部柵格單元直接網(wǎng)格化，對(duì)裁剪后的邊界柵格單元進(jìn)行網(wǎng)格化或進(jìn)一步細(xì)分。

特點(diǎn)：

?自動(dòng)化程度高，局部網(wǎng)格控制能力較強(qiáng)（通過局部柵格細(xì)化），易于處理非流形邊界。

局限：

?邊界逼近精度依賴柵格單元大?。ㄐ铏?quán)衡精度與效率），邊界處單元質(zhì)量可能較差（生成過渡棱錐、棱柱等單元或需細(xì)化），生成的網(wǎng)格單元大小通常依賴于背景柵格。

適用范圍：

?自動(dòng)生成四面體網(wǎng)格，或作為六面體網(wǎng)格生成（如結(jié)構(gòu)化模板）的基礎(chǔ)。通用性好。

3.3 節(jié)點(diǎn)連元法

機(jī)理：

在目標(biāo)區(qū)域（邊界和內(nèi)部）按預(yù)設(shè)密度分布節(jié)點(diǎn)（布點(diǎn)算法是關(guān)鍵）。

基于幾何拓?fù)潢P(guān)系和特定連接準(zhǔn)則（如 Delaunay 三角化空球/空?qǐng)A準(zhǔn)則、推進(jìn)波前法）連接節(jié)點(diǎn)形成單元（如三角形、四面體）。

特點(diǎn)：

?概念直接，適用于任意形狀區(qū)域，自動(dòng)化程度高（尤其 Delaunay 法和 Advancing Front 法）。

局限：

?2D 三角形網(wǎng)格技術(shù)成熟，3D 四面體網(wǎng)格質(zhì)量控制和生成速度仍是挑戰(zhàn)；不易生成高質(zhì)量的全四邊形/六面體網(wǎng)格。

適用范圍：

?復(fù)雜幾何的非結(jié)構(gòu)化三角形/四面體網(wǎng)格自動(dòng)生成。常用作基礎(chǔ)網(wǎng)格生成方法。

3.4 拓?fù)浞纸夥?/b>

機(jī)理：

?從形體的拓?fù)涮卣鳎ㄈ珥旤c(diǎn)、邊、環(huán)、孔洞）入手，忽略具體幾何形狀細(xì)節(jié)，將目標(biāo)域分解為若干簡(jiǎn)單的拓?fù)鋯卧ㄈ缛切?、四邊形面片），然后?duì)各拓?fù)渥佑蚓W(wǎng)格化。核心目標(biāo)是使用最少的基本單元（如三角形）完全覆蓋目標(biāo)域。

特點(diǎn)：

?強(qiáng)調(diào)拓?fù)涮卣髯R(shí)別，處理含有孔洞等復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的幾何具有一定優(yōu)勢(shì)。

局限：

?實(shí)際應(yīng)用常需結(jié)合幾何信息進(jìn)行細(xì)化；分解策略較抽象，分解質(zhì)量影響后續(xù)網(wǎng)格質(zhì)量。

適用范圍：

?特別適用于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜的 2D 區(qū)域（如帶孔面域）的分解引導(dǎo)網(wǎng)格生成。

3.5 幾何分解法

機(jī)理：

?區(qū)別于拓?fù)浞纸?，此法更?cè)重于利用幾何特征（如尖角、窄帶、曲面曲率變化）進(jìn)行分解。節(jié)點(diǎn)和單元通常在分解過程中同步生成。

特點(diǎn)：

?分解策略緊密聯(lián)系幾何特征，通常能直接生成質(zhì)量較高的單元，邊界擬合度好。

局限：

?算法復(fù)雜度較高，通用化自動(dòng)生成難度大，對(duì)于極其復(fù)雜的幾何仍需人工干預(yù)引導(dǎo)。

適用范圍：

?尤其適用于對(duì)單元質(zhì)量要求高、幾何特征顯著的區(qū)域的四邊形/六面體網(wǎng)格生成（如特征驅(qū)動(dòng)方法）。

3.6 掃描法（Sweeping Method）

機(jī)理：

?將二維截面（通常已劃分好四邊形網(wǎng)格）通過平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等掃描操作生成三維實(shí)體網(wǎng)格（主要為六面體或棱柱體）。

特點(diǎn)：

?操作直觀，在CAD/CAE軟件中普遍集成，容易理解和操作，能高效生成結(jié)構(gòu)化或部分結(jié)構(gòu)化的六面體網(wǎng)格。

局限：

?應(yīng)用范圍受限，僅適用于具有明顯拉伸、旋轉(zhuǎn)或掃掠路徑特征的體（即掃掠體），不支持任意三維實(shí)體，自動(dòng)化程度不高（常需人工定義源/目標(biāo)面、路徑線等）。

適用范圍：

?典型掃掠實(shí)體（如型材、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體、沿路徑拉伸體）的六面體網(wǎng)格劃分。

04?當(dāng)前研究熱點(diǎn)與重點(diǎn)技術(shù)

有限元分析在工程領(lǐng)域的深入應(yīng)用推動(dòng)了網(wǎng)格生成技術(shù)的發(fā)展。當(dāng)前研究重心已從二維平面轉(zhuǎn)向三維實(shí)體，并聚焦于四邊形(Quadrilateral)和六面體(Hexahedral)網(wǎng)格的全自動(dòng)生成技術(shù)、網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)、高質(zhì)量（邊界和內(nèi)部）網(wǎng)格技術(shù)等。

4.1 六面體網(wǎng)格（Hex-Meshing）技術(shù)

六面體單元在力學(xué)分析（如塑性、接觸、各向異性材料）中常具優(yōu)勢(shì)。主流生成方法包括：

映射法：

?先將復(fù)雜體人工或自動(dòng)分解為可映射的區(qū)塊（類似于大六面體），然后在每個(gè)區(qū)塊內(nèi)映射細(xì)小的六面體單元。挑戰(zhàn)在于自動(dòng)化分解復(fù)雜拓?fù)洹?/p>

單元轉(zhuǎn)換法：

?將初步生成的其他類型單元（如四面體）轉(zhuǎn)換為六面體單元，或?qū)⒌碗A六面體轉(zhuǎn)換為高階單元。

基于柵格法（如Octree/Block-based）：

?利用背景網(wǎng)格或多塊結(jié)構(gòu)化模板覆蓋目標(biāo)體并處理邊界相交，常需輔助單元（棱錐、棱柱）或進(jìn)一步分解生成全六面體網(wǎng)格。

多子區(qū)域法（Multi-block Method）：

?將復(fù)雜區(qū)域分解為簡(jiǎn)單的拓?fù)渥訅K，對(duì)各子塊獨(dú)立劃分六面體網(wǎng)格（常用映射法），最后組合全局網(wǎng)格。關(guān)鍵在子域分解與交界處網(wǎng)格協(xié)調(diào)。

掃描法：

?(前文3.6所述) 適用于具有掃掠特征的幾何。

投影法：

?(一種模板法) 利用模板六面體網(wǎng)格或高質(zhì)量四面體網(wǎng)格作為基礎(chǔ)，通過投影或插值到目標(biāo)體并調(diào)整節(jié)點(diǎn)位置。需處理投影失真和邊界貼合問題。

現(xiàn)狀：

?高質(zhì)量、全自動(dòng)、適應(yīng)任意復(fù)雜幾何的六面體網(wǎng)格生成仍是公認(rèn)難題，是當(dāng)前研究的前沿?zé)狳c(diǎn)。

4.2 曲面網(wǎng)格（Surface Meshing）技術(shù)

薄殼結(jié)構(gòu)在工程中廣泛應(yīng)用，其分析核心在于曲面網(wǎng)格的生成。曲面是一種特殊的三維實(shí)體（退化維度）。主要方法：

直接法：

?在物理空間曲面直接操作網(wǎng)格劃分算法（如曲面Delaunay、曲面推進(jìn)波前法）。該方法直接依據(jù)曲面的局部幾何性質(zhì)（法向、曲率）確定節(jié)點(diǎn)位置和單元連接策略，無需參數(shù)化映射。

優(yōu)點(diǎn)：

?網(wǎng)格質(zhì)量較高，能更好地保持局部曲率特征。

缺點(diǎn)：

?算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，對(duì)曲面自交、高度扭曲等情況處理難度大。

映射法（或稱參數(shù)化法）：

優(yōu)點(diǎn)：

?可利用成熟的平面網(wǎng)格生成器。

缺點(diǎn)：

?網(wǎng)格質(zhì)量高度依賴于參數(shù)化的均勻性和保角性（參數(shù)域形狀和間距失真會(huì)傳遞到物理空間曲面網(wǎng)格）；參數(shù)化本身對(duì)復(fù)雜拓?fù)淝妫ㄈ缍喽喘h(huán)狀曲面）可能是NP難問題。

現(xiàn)狀：

?參數(shù)化方法更成熟、應(yīng)用更廣，尤其適合拓?fù)浜?jiǎn)單的曲面；直接法因更少受參數(shù)化扭曲影響而在高質(zhì)量曲面網(wǎng)格生成中日益受到重視。

建立曲面到二維參數(shù)域的可接受映射（如UV參數(shù)化）。

在規(guī)則參數(shù)域中生成高質(zhì)量平面網(wǎng)格（通常為三角形或四邊形）。

將參數(shù)域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)反向映射回物理空間得到曲面網(wǎng)格。

05??發(fā)展趨勢(shì)展望

盡管有限元網(wǎng)格技術(shù)日趨成熟（尤其在三維四面體網(wǎng)格的全自動(dòng)化方面），以下領(lǐng)域仍存在挑戰(zhàn)和廣闊發(fā)展空間：

高度自動(dòng)化全六面體網(wǎng)格技術(shù)：

?克服復(fù)雜拓?fù)浜投喑叨忍卣髡系K，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量全六面體網(wǎng)格的完全自動(dòng)生成是終極目標(biāo)之一。需要更智能的幾何分解、單元轉(zhuǎn)換及模板生成方法。

高效高質(zhì)量曲面網(wǎng)格生成：

?提升直接法的魯棒性和對(duì)高復(fù)雜度曲面的處理能力；改進(jìn)參數(shù)化方法使其更適應(yīng)復(fù)雜拓?fù)浜颓首兓话l(fā)展自動(dòng)生成全四邊形曲面網(wǎng)格的穩(wěn)健方法。

網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)：

?發(fā)展更精準(zhǔn)可靠的誤差估計(jì)方法，并基于此實(shí)現(xiàn)高效、高魯棒性、無縫的網(wǎng)格自適應(yīng)細(xì)化/粗化策略（特別是對(duì)六面體和非線性分析）。

幾何復(fù)雜性和魯棒性：

?增強(qiáng)網(wǎng)格算法處理工程現(xiàn)實(shí)中存在的“臟”幾何（如小特征、縫隙、重疊面、不精確模型）的健壯性（Robustness），減少修復(fù)預(yù)處理需求。

人工智能/機(jī)器學(xué)習(xí)輔助：

?探索應(yīng)用深度學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)等AI技術(shù)優(yōu)化網(wǎng)格生成（如智能布點(diǎn)、預(yù)測(cè)高質(zhì)量網(wǎng)格參數(shù)、優(yōu)化網(wǎng)格密度分布、生成六面體分解策略、快速判斷網(wǎng)格質(zhì)量等）。

多尺度與混合網(wǎng)格：

?高效處理多尺度問題，將局部高分辨率網(wǎng)格與全局粗網(wǎng)格無縫耦合；發(fā)展更優(yōu)化的混合網(wǎng)格（如四面體與六面體混合）接口技術(shù)。

并行化與大規(guī)模網(wǎng)格處理：

?優(yōu)化并行算法以適應(yīng)超大規(guī)模模型的高效網(wǎng)格生成和自適應(yīng)。

無網(wǎng)格法結(jié)合：

?探索網(wǎng)格生成與無網(wǎng)格法(如SPH, Peridynamics)的前后處理流程結(jié)合點(diǎn)，或在多物理場(chǎng)、大變形分析中提供互補(bǔ)解決方案。

網(wǎng)格技術(shù)的可訪問性與易用性：

?在商業(yè)和開源CAE軟件中進(jìn)一步集成和優(yōu)化先進(jìn)的網(wǎng)格技術(shù)，簡(jiǎn)化用戶操作，提升工程師的使用體驗(yàn)和效率。