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1、排列組合基本概述
排列組合是組合學(xué)最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。
排列組合的中心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。 排列組合與古典概率論關(guān)系密切。
2、基本計(jì)數(shù)原理
3、排列
3.1 符號(hào)
A-Arrangement 排列數(shù)
3.2 定義
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) A(n,m）表示。
3.3 公式
例子：6！=6x5x4x3x2x1
3.4 推導(dǎo)公式
3.5理解例題
4、組合
4.1 符號(hào)
C-Combination 組合數(shù)
4.2 定義
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,m) 表示。
4.3 公式
4.4 理解例子
5、隔板法
4.1 概述
在組合數(shù)學(xué)中，隔板法（又叫插空法）是排列組合的推廣，主要用于解決不相鄰組合與追加排列。
4.2 定義
隔板法就是在n個(gè)元素間插入（b-1）個(gè)板，即把n個(gè)元素分成b組的方法。
4.3 問(wèn)題解析
例1將20個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？
分析：本題中的小球大小形狀完全相同，故這些小球沒(méi)有區(qū)別，問(wèn)題等價(jià)于將小球分成三組，允許有若干組無(wú)元素，用隔板法.
解析：將20個(gè)小球分成三組需要兩塊隔板，因?yàn)樵试S有盒子為空，不符合隔板法的原理，那就人為的再加上3個(gè)小球，保證每個(gè)盒子都至少分到一個(gè)小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每組中各去掉一個(gè)小球，即滿足了題設(shè)的要求）。然后就變成待分小球總數(shù)為23個(gè)，球中間有22個(gè)空檔，需要在這22個(gè)空檔里加入2個(gè)隔板來(lái)分隔為3份，共有C（22，2）=231種不同的方法.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)n件相同物品（或名額）分給m個(gè)人（或位置），允許若干個(gè)人（或位置）為空的問(wèn)題,可以看成將這n件物品分成m組，允許若干組為空的問(wèn)題.將n件物品分成m組，需要m-1塊隔板，將這n件物品和m-1塊隔板排成一排，占n+m-1位置，從這n+m-1個(gè)位置中選m-1個(gè)位置放隔板，因隔板無(wú)差別，故隔板之間無(wú)序，是組合問(wèn)題，故隔板有Cn+m-1 m-1種不同的方法，再將物品放入其余位置，因物品相同無(wú)差別，故物品之間無(wú)順序，是組合問(wèn)題，只有1種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1種排法
4.4 水果分籃問(wèn)題
例2：有廣西橘子，煙臺(tái)蘋果，萊陽(yáng)梨若干，從中隨意取出四個(gè)，問(wèn)共有多少種不同取法？
問(wèn)題等價(jià)于將四個(gè)水果放入三個(gè)不同的水果籃，且允許籃子為空，{這里是逆向思維邏輯}
將4+3=7個(gè)水果分為3個(gè)組，分組需2個(gè)隔板，隔板共有6個(gè)放置位置，
故有C（4+2， 2）個(gè)選擇，即15種。
4.5 物品問(wèn)題
例3將20個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額分給18個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，有多少種不同的分配方法？
分析：本題是名額分配問(wèn)題，用隔板法.
解析：將20個(gè)名額分配給18個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，相當(dāng)于將20個(gè)相同的小球分成18組，每組至少1個(gè)，將20個(gè)相同的小球分成18組，需要17塊隔板，先將20個(gè)小球排成一排，因小球相同，故小球之間無(wú)順序，是組合，只有1種排法，再在20個(gè)小球之間的19個(gè)空檔中，選取17個(gè)位置放隔板，因隔板無(wú)差別，故隔板之間無(wú)序，是組合問(wèn)題，故隔板有C19 17種不同的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有C19 17種不同的方法，因17塊隔板將20個(gè)小球分成18組，從左到右可以看成每班所得的名額數(shù)，每一種隔板與小球的排法對(duì)應(yīng)于一種分法，故有Cn-1 m-1種分法.
對(duì)相同物品分配問(wèn)題，注意某若干組能否為空，能為空和不能為不空，方法不同，要體會(huì)和掌握.
這里應(yīng)該考慮人的不相同性，對(duì)18組人進(jìn)行排列組合，結(jié)果應(yīng)該是C19 17 *18！
