基本思想

歸并排序（Merge-Sort） 是利用歸并的思想實現(xiàn)的排序的方法，該算法采用經典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法將問題將分（divide）成一些小的問題然后遞歸求解，而治（conquer）的階段則將分的階段得到的各答案“修補”在一起，即分而治之）。

分而治之

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可以看到這種結構很像一棵完全二叉樹，本文的歸并排序我們采用遞歸去實現(xiàn)（也可以采用迭代的方式去實現(xiàn)）。分階段可以理解為就是采用遞歸的方式拆分子序列的過程，遞歸深度為log2n。
再來看看治階段，我們需要將兩個已經有序的子序列合并成一個有序序列，比如上圖中的最后一次合并，要將[4 5 7 8]和[1 2 3 6]兩個已經有序的子序列，合并為最終序列[1 2 3 4 5 6 7 8]，來看看實現(xiàn)步驟。

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代碼實現(xiàn)

import java.util.Arrays;

//歸并排序,時間復雜度為O(N * logN),額外空間復雜度O(N)
public class MergerSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 9, 8, 10, 6, 16, 4, 3, 2, 1 };
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static void sort(int[] arr) {
        int[] temp = new int[arr.length];// 在排序前，先建好一個長度等于原數(shù)組長度的臨時數(shù)組，避免遞歸中頻繁開辟空間
        sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static void sort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if (left < right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            sort(arr, left, mid, temp);// 左邊歸并排序，使得左子序列有序
            sort(arr, mid + 1, right, temp);// 右邊歸并排序，使得右子序列有序
            merge(arr, left, mid, right, temp);// 將兩個有序子數(shù)組合并操作
        }
    }

    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;// 左序列指針
        int j = mid + 1;// 右序列指針
        int t = 0;// 臨時數(shù)組指針
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t++] = arr[i++];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {// 將左邊剩余元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {// 將右序列剩余元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        // 將temp中的元素全部拷貝到原數(shù)組中
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
    }

}

在上面的基礎上，采用歸并算法求出比當前元素小的左側元素之和。

import java.util.Arrays;

import javax.xml.transform.Templates;

public class MinMergeSort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = { 9, 8, 10, 6, 16, 4, 3, 2, 1 };
        System.out.println(MinMergeSort.sort(arr));
    }

    public static int sort(int[] arr) {
        int[] temp = new int[arr.length];// 在排序前，先建好一個長度等于原數(shù)組長度的臨時數(shù)組，避免遞歸中頻繁開辟空間
        return sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static int sort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if(left == right) {
            return 0;
        }
        if (left < right) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            return sort(arr, left, mid, temp) + 
            sort(arr, mid + 1, right, temp) + 
            merge(arr, left, mid, right, temp);
        }
        return 0;
    }

    private static int merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;// 左序列指針
        int j = mid + 1;// 右序列指針
        int t = 0;// 臨時數(shù)組指針
        int res = 0;
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t++] = arr[i++];
                res +=(right-j+1) * arr[i];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {// 將左邊剩余元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {// 將右序列剩余元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        // 將temp中的元素全部拷貝到原數(shù)組中
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
        return res;
    }
}

本篇博客參考圖解排序算法(四)之歸并排序