“既然現(xiàn)實世界是非線性的，那么線性方程和線性規(guī)劃能解決的問題豈非太少？”
首先，需要明確一點：我們在數(shù)學(xué)上常說的線性方程、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)與“線性規(guī)劃”這類詞中所說的“線性”并不是一回事，非線性的復(fù)雜系統(tǒng)更不是簡單系統(tǒng)放在一起就能解決了。也即，在這里，也是在這個世界上多數(shù)情況下，復(fù)雜問題并非直接是簡單問題之和。或許把它稱為是 簡單問題經(jīng)過復(fù)雜的規(guī)則耦合在一起的問題才更合適，不管從什么角度看，始終擺脫不了復(fù)雜的屬性。
下面主要針對非線性領(lǐng)域通常所指的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)來討論。
廣義的說，“線性系統(tǒng)”指的是其解滿足線性疊加原理的系統(tǒng)，即:
這里的F不能簡單地理解為只是一個可以寫成顯式的函數(shù)形式，而應(yīng)該看做一個映射。簡而言之，線性系統(tǒng)對應(yīng)的也就是線性映射。
而在針對常微分方程動力系統(tǒng)的非線性的研究領(lǐng)域里所指的線性系統(tǒng)的形式則往往是：
其中，A是一個常數(shù)矩陣，X有：
也許是目前科普書主要講的東西都是一些建立的早、已經(jīng)相對成熟，且不算太抽象的理論，比如量子力學(xué)、相對論等，并沒有對非線性領(lǐng)域給予很多關(guān)注，也許是因為沒有數(shù)學(xué)背景很難完全理解相空間、分岔等概念，因此導(dǎo)致了許多人理解的關(guān)于蝴蝶效應(yīng)等詞語的意思和實際的意思相去甚遠(yuǎn)。
混沌（chaos)是非線性現(xiàn)象的其中一種，其實它并沒有大眾心中所想的那么神秘莫測以至于引發(fā)了一些人關(guān)于不可知論的探討。把chaos翻譯為混沌個人認(rèn)為也是一種不太恰當(dāng)?shù)姆g，因為在文學(xué)性的語言里“混沌”指的是混亂的狀態(tài)，即隨機性的現(xiàn)象，但其實chaos與隨機的現(xiàn)象是根本上不一樣的，雖然看起來不那么好預(yù)測，但這是因為我們的數(shù)學(xué)能力不夠強、計算機不夠好，計算的不夠精確，而不是因為chaotic system自己具有根本上不可預(yù)測的特點。它指的只是兩個相鄰的軌道在相空間中隨著時間發(fā)展會很快速的互相遠(yuǎn)離的現(xiàn)象。
與之相比，對于一般的非線性體系而言，軌道往往會被其鄰近的吸引子”吸”過去或“排斥”走，因而在吸引子周邊的一塊相空間的區(qū)域內(nèi)出發(fā)的相鄰的相點，它們的行為趨勢是一致的。這是chaos與一般的非線性系統(tǒng)相比的基本區(qū)別。
但是不代表一般的非線性系統(tǒng)就不會出現(xiàn)那種 某個東西變了一點點，最后的結(jié)果就大相徑庭 的現(xiàn)象。一般的非線性系統(tǒng)在不同的吸引子的吸引域的臨界附近，把相空間中的點稍微挪一點點，也是會跑到完全不同的吸引子去的。而且，非常簡單的系統(tǒng)也是有相對敏感與不敏感的區(qū)別，也有些系統(tǒng)是在一定的參數(shù)范圍內(nèi)不敏感，在參數(shù)空間的其他位置則可能非常敏感，敏感參數(shù)會隨著處于參數(shù)空間的不同位置而變化，敏感的方向也不一定永遠(yuǎn)一致。另外，非常普通的二維非線性系統(tǒng)也具有分岔行為，即系統(tǒng)的某個參數(shù)在分岔點附近變了一點點，就根本上改變了系統(tǒng)整體的動力學(xué)結(jié)構(gòu)，從而導(dǎo)致了與原來相比截然不同的結(jié)果。
要說最為奇特的根本區(qū)別，其實在于奇異吸引子的分形結(jié)構(gòu)的存在。另一個比較好玩的就是比如Lorentz吸引子繞著兩塊區(qū)域轉(zhuǎn)了一圈又一圈，每一圈都與之前離得很近但卻是非周期的，另一方面即便是非周期的，它的行為也是確定的而非隨機的。
在計算機還未如此普及的年代，數(shù)學(xué)家們對于非線性系統(tǒng)是感到非常無能為力的。有一個笑話就是：有一天一個數(shù)學(xué)家走進另一個數(shù)學(xué)家的辦公室，隨后，他們發(fā)生了如下的對話:
A:Can you solve these equations?
B:No I can't, because they are nonlinear.
A: So what can I do?
B:You can get out of my office.
(
A:你會解這些方程么？
B:不，我不能，因為它們是非線性的。
A:那我能對此做些什么？
B:你可以從我辦公室出去。
)
但是在現(xiàn)代計算機已經(jīng)相當(dāng)?shù)那闆r下，想知道一個非線性系統(tǒng)（包括Chaotic System)在給定初值和演化規(guī)則之后，在一定時間以內(nèi)的變化情況，只要進行精度足夠、方法合適的模擬，求得近似解，就足以滿足我們的許多需求了。
對粒子物理等理論物理的分支而言，人們研究的往往是參與相互作用的物質(zhì)并不算太多，提供的條件也相對單純、理想，比如經(jīng)常是在真空中，比較有限的粒子之間的基本相互作用。
但是對于當(dāng)前的凝聚態(tài)理論、軟凝聚態(tài)理論等領(lǐng)域，卻往往要處理多種物質(zhì)通過多種相互作用在一起相互影響而形成的極為復(fù)雜的多體系統(tǒng)。單純知道基本的相互作用是怎么一回事，在這樣的話題上就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。當(dāng)然，我不是在說粒子物理等理論領(lǐng)域更簡單，事實上都非常復(fù)雜，只不過研究的側(cè)重點不同而已。More is different.
甚至，以現(xiàn)在的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展情況，還完全無法做到給出一個生命系統(tǒng)的初態(tài)，然后寫出方程，就能預(yù)測它的行為，甚至還不能建立一套足夠好的用于描述這樣的復(fù)雜體系的數(shù)學(xué)模型。往往只能在基于理論物理的處理方法進行簡化、抽象的手段所建立的粗糙的數(shù)學(xué)模型之下，給出一些已經(jīng)被研究得比較清楚的生物現(xiàn)象的動力學(xué)解釋，或是通過定量的數(shù)學(xué)證明和計算機模擬，預(yù)測出一個復(fù)雜體系的某些定性規(guī)律。需要指出的是，這些計算的時間復(fù)雜度往往也都相當(dāng)高。
盡管如此無能為力，甚至讓人懷疑:身體這么復(fù)雜的非線性體系，是如何能夠在千變?nèi)f化的自然界健康的存活那么久的？人在那么多可能的基因突變之下，從一個受精卵到長成一個人形，能被媽媽生出來也已經(jīng)似乎是不可思議的事情了。然而這是因為大自然是個神奇的造物主，自然中的復(fù)雜生命系統(tǒng)經(jīng)過漫長的演化后，形成了一套極其優(yōu)化的系統(tǒng)，使得這個體系具有相當(dāng)?shù)倪m應(yīng)性、穩(wěn)定性和robustness（我不喜歡”魯棒性“或者“健壯性”這種翻譯）。
放在動力系統(tǒng)中去考慮，就是一個相空間中的流場即便在通常情況下經(jīng)受很多擾動，如果不是特別大的擾動，總也能回到正常狀態(tài)的吸引子附近的位置上，或即便吸引子的位置隨著參數(shù)的擾動而有些許移動，在定性上仍然能完成它應(yīng)有的功能，比如 穩(wěn)態(tài)下A和B的比例大致是A多B少之類。即便缺了某些原本應(yīng)該參與反應(yīng)、發(fā)揮功能的基因以及相關(guān)的蛋白質(zhì)，或是某些物質(zhì)之間的聯(lián)系被切斷了（對應(yīng)于動力系統(tǒng)的某些參數(shù)發(fā)生了極大的變化），籠統(tǒng)的來講整個系統(tǒng)的功能并沒有喪失或者至少是沒有完全喪失，而這都取決于自然界在”設(shè)計“生命的時候在抽象的相互作用網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上堪稱完美的“考慮”（漫長的演化）。其實我們?nèi)俗鳛橐粋€整體，自身的功能也具有這樣的適應(yīng)性。
對于我們?nèi)送ǔＫ幚淼氖虑椋热缛绾伟才艜r間、如何談戀愛、如何說服老板接受自己的觀點等等，其實都是在處理非線性問題，我們的大腦實際上通常是夠用的，即便不能給出一個事物在相空間中對應(yīng)的具體運行軌跡，也能大致通過一些經(jīng)驗和估計給出一個合適的初態(tài)和適當(dāng)?shù)膮?shù)擾動來讓它達到目的。這些過程中大腦是夠用的，但其運算過程往往是不被察覺的，所以被人們籠統(tǒng)的稱為“憑感覺”了。
另一方面，即便在理論上來講，也存在一定的條件和范圍，使得相當(dāng)一部分非線性系統(tǒng)在不動點等吸引子周圍的行為在定性上是可以和與它近似的線性系統(tǒng)趨于一致的（但不是所有的系統(tǒng)都如此）。因此，即便對于非線性系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)通常也并不必要求出精確的解，當(dāng)然另一方面精確求解往往也無法做到。
于是，相比于精確求解，數(shù)學(xué)家們對非線性的系統(tǒng)往往更為關(guān)注定性上的特點。比如：在一個給定的相空間的某個區(qū)域內(nèi)是否有吸引子？如果有吸引子的話，是否有不動點、極限環(huán)、環(huán)面吸引子或奇異吸引子？有幾個不動點、幾個極限環(huán)？它們是穩(wěn)定的么？在一個吸引子周圍的流場是指向外還是指向內(nèi)、是否有旋轉(zhuǎn)、是有無窮個閉軌(中心center) 還是孤立閉軌（極限環(huán)limit cycle）、在不同方向上的流場指向是否有不同(比如鞍點saddle)？當(dāng)然，此類問題即便在二維系統(tǒng)中，也已經(jīng)足夠讓全世界的眾多數(shù)學(xué)家頭疼了。比如希爾伯特第十六問題就是一個二維的多項式系統(tǒng)的問題，據(jù)我所知到現(xiàn)在還只在一些改版的類似問題之下給出些許結(jié)論。
理論上來講，世界上的任何系統(tǒng)都是非線性的，在上述的討論中所指的情況是其中可以被部分的解決的那部分，通常也差不多能用。但那些 某個參數(shù)變了一點點， 或初始位置變了一點點，結(jié)果就差之千里 的情況其實也是隨處可見的，比如說你去玩那種小球從上往下掉，掉到哪個坑里得哪個獎的賭博游戲就是這樣的情況。而我們的一些戲劇化的人生經(jīng)歷也正是非線性效應(yīng)的體現(xiàn)。
怎么辦呢？接受事實啊。意識到并承認(rèn)人類的無知無能，進而接受這個對于我們的理解能力來講仍舊變幻莫測的世界。然后感嘆一下人海茫茫（有那么多和你相互作用的人，可能導(dǎo)致很多種不同的人生境遇，對應(yīng)到相空間中就是復(fù)雜系統(tǒng)中的許多不同的吸引子與不同的軌跡）中能遇到某個人，也許是命中注定（你倆在一起的狀態(tài)在相空間里是個全局吸引子global attractor），也許只是因為一念之差使得某個敏感參數(shù)稍微變了那么一下，于是你的整個世界都變了（分岔bifurcation，或因為擾動而進入了另一個吸引域，或是超敏感性ultrasensitivity）。有的人原本是可憐的灰姑娘，突然受了點正面刺激就飛黃騰達了（可激發(fā)系統(tǒng)excitable system)；有的人的生活可能會過著過著就陷入了永恒的悲?。ǚ€(wěn)定極限環(huán)stable limit cycle)；原本大家以為能一直富裕的家族到某一代起就衰落了(不穩(wěn)定極限環(huán)unstable limit cycle) ；還有的人，原本處于看起來悲劇與混亂看不到頭的狀態(tài)，不知道熬了多久終于跳出來了，從此以后過著幸福平和的生活(暫態(tài)混沌transient chaos)......
種種際遇，都只是自然界的常態(tài)啊。
