全概率公式和貝葉斯公式(先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率)

完備事件組：A_{1} ,A_{2}...A_{n}? ，兩兩互斥，且并集為全集 S

全概率公式:

p(A) = p(A\cap S)? ? ? ?

= p(A\cap(B_{1} + B_{2} +...+B_{n}))? ? ?

= p(AB_{1}) + p(AB_{2}) +...+ p(AB_{n})

根據(jù)條件概率公式得：

=p(B_{1})p(A|B_{1}) + p(B_{2})p(A|B_{2}) +...+ p(B_{n})p(A|B_{n})

即：p(A) = \sum_{i=1}^np(B_{i})p(A|B_{i})

因?yàn)?A的發(fā)生是由 B的原因引起的，所以又叫“由原因推結(jié)果”。

貝葉斯公式：

p(B_{i}|A) = \frac{p(B_{i})p(A|B_{i})}{p(A)} ? ? (i = 1, 2....n)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p(B_{i}|A) = \frac{p(B_{i})p(A|B_{i})}{\sum_{j=1}^np(B_{j})p(A|B_{j}))} ? ?

這里p(A)用全概率公式替換

在事件 A已經(jīng)發(fā)生的條件下，貝葉斯可用來尋找導(dǎo)致 A發(fā)生各種原因 B_{i}的概率，即執(zhí)果所因, 又叫逆概率公式。

先驗(yàn)概率：p(A), p(B) 這種由以往數(shù)據(jù)所得到的單個(gè)概率叫先驗(yàn)概率。

后驗(yàn)概率：p(A|B), p(B|A) 在由某個(gè)條件后得到的概率叫后驗(yàn)概率。

（這里 A和 B一個(gè)是結(jié)果，一個(gè)是原因，下文有例子）

例題：某臺(tái)機(jī)器調(diào)整良好時(shí)，產(chǎn)品合格率是 95%, 機(jī)器沒有調(diào)整良好時(shí)，產(chǎn)品合格率為 50%

機(jī)器調(diào)整良好的概率是 90%，已知產(chǎn)品合格，求機(jī)器良好的概率。

解：A: 產(chǎn)品合格， B1：機(jī)器調(diào)整良好,? B2: 機(jī)器沒有調(diào)整良好

p(B1) = 0.9， p(B2) = 1 - 0.9 = 0.1

p(A|B1) = 0.95,? p(A|B2) = 0.5, 求 p(B1|A)， 通過貝葉斯公式即可求解。

這里機(jī)器調(diào)整良好的概率 p(B1)=0.9 是由以往的數(shù)據(jù)得出，為先驗(yàn)概率。

已知產(chǎn)品合格，求機(jī)器調(diào)整良好的概率 p(B1|A) 是通過產(chǎn)品合格的信息加以修正得出的，稱為后驗(yàn)概率。

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時(shí)請(qǐng)結(jié)合常識(shí)與多方信息審慎甄別。
平臺(tái)聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡書系信息發(fā)布平臺(tái)，僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容