記北師版八上數(shù)學(xué)教材第一章第三節(jié)《勾股定理的應(yīng)用》第一課時
課本上關(guān)于本課內(nèi)容設(shè)計了一個課時，主要包括螞蟻爬行問題、利用方程思想求直角三角形邊長、驗證直角的實際問題三部分?？紤]螞蟻爬行問題在學(xué)生做題中常見且變式較多，故將本節(jié)課分兩個課時，第一節(jié)課為螞蟻爬行專題課。
一、教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷探究螞蟻爬行問題的過程，掌握解決此類問題的一般步驟
二、教學(xué)重難點
重點：在展開圖上畫出并計算最短路徑
難點：長方體上最短路徑的選擇
三、教學(xué)流程
1.回顧引入
復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容，明確其作用為已知直角三角形得三邊關(guān)系求邊長。再回顧七年級學(xué)過的一個基本事實：兩點之間線段最短。
2.新課講授
例1.出示課本例題
為防止課本上其他內(nèi)容對學(xué)生思考造成干擾，故在課堂當(dāng)中只畫圖、口述題目。
這里注意例題當(dāng)中的關(guān)鍵語句“上底面上與點A相對的點B處”（準(zhǔn)確對點B定位）和“最短路徑”（暗示解題思路）的理解。
螞蟻在立體圖形表面爬行，所爬過的路徑是一段曲線。這里的立體圖形和曲線是學(xué)生所不熟悉的。題目要求的“最短路徑”問題又似曾相識——學(xué)生在七上曾學(xué)習(xí)過有關(guān)線段的基本事實：兩點之間線段最短；七下時又接觸過“將軍飲馬”線段之和最短問題，而以上這些都是平面幾何的問題。種種信息在暗示：這里應(yīng)當(dāng)化立體為平面，化曲線段為直線段，因此想到將圓柱的側(cè)面展開。
在展開的平面圖當(dāng)中找到A,B兩點。A,B兩點間的連線即為兩點間的最短路徑。線段AB的長度可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出。
關(guān)于螞蟻在圓柱表面爬行問題，我在課堂上共分了五種變式，總結(jié)了三個步驟（如上圖）。每一種變式在分析時，先用A4紙卷成圓柱，以便學(xué)生更加直觀形象地理解，準(zhǔn)確在展開圖上找出關(guān)鍵點的位置。
需要說明的是第5小題“在圓柱的內(nèi)壁，位于B點下方3厘米處的G點”。有了前4問的基礎(chǔ)，學(xué)生1想到從A點先走到B處，再從B點下到G點處，學(xué)生2想到將圓柱的內(nèi)壁展開,在“翻上來”。這時取一張a4紙對折，將折痕想象成杯沿。黑板上畫圖，找到直角三角形，再計算。用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”或“兩點之間線段最短”來反駁學(xué)生1的觀點。
觀察上圖，螞蟻由A點爬到杯沿上的P點處，再由P點爬到G點。展開圖中AP和GP為線段，而點A、點G為已知的兩定點，點P不定且在杯沿這條線上，這又是“將軍飲馬”模型。而且將軍飲馬問題的第一步做對稱點，其實就是我們翻折上去的那個點。
例2.螞蟻在長方體表面爬行問題。
這道題中，要求“路徑最短”，學(xué)生首先的直觀感受是經(jīng)過的面越少，路徑越短，顯然，最短經(jīng)過兩個面。其次兩個面是哪兩個面？這里就要進(jìn)行分類討論了。先給長方體的六個面分別命名，圖下底面無法經(jīng)過外，其他五個面均有可能通過。學(xué)生分出四種情況，這時有學(xué)生提出：長方體中相對的兩個面全等，因此“前+右”與“左+后”是一樣的。這里首先肯定，再通過計算進(jìn)一步說明。
爬行路徑經(jīng)過兩個面，為了簡化問題，只畫出兩個面的展開圖即可。繼續(xù)沿襲之前的步驟：展開、連線、計算。比較每種情況下的結(jié)果，選取最短路徑。
值得思考的是：最短路徑怎樣形成的？
比較不同情況下AG2的計算過程發(fā)現(xiàn)：結(jié)果都是4項式，且前三項為長方體長、寬、高的平方和——確定，第四項為二倍乘積項（源自完全平方公式的展開式，長寬高3選2的乘積）——不定。因此要讓AG2最短，只需長寬高當(dāng)中最短的兩條在展開圖中共線相加，與第三條構(gòu)成直角三角形即可。
