常用求導(dǎo)函數(shù)mark

1. 導(dǎo)數(shù)的定義

對于函數(shù) y=f(x)，在點 x=a 處的導(dǎo)數(shù)定義為：

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

意思是：當(dāng)自變量 x 發(fā)生一個無限小的變化 h，函數(shù)值的變化量與 h 的比值，取極限就是導(dǎo)數(shù)。

?? 直觀理解：就是曲線上某一點的切線斜率。

2. 求導(dǎo)的基本規(guī)則

手工計算導(dǎo)數(shù)時，可以利用一套現(xiàn)成的公式（避免每次都用定義去算極限）：

  1. 冪函數(shù)求導(dǎo)公式

    \fracu0z1t8os{dx} x^n = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{R})

  2. 常數(shù)函數(shù)

    \fracu0z1t8os{dx} C = 0

  3. 常數(shù)倍

    \fracu0z1t8os{dx}[C \cdot f(x)] = C \cdot f'(x)

  4. 和/差

    (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)

  5. 積（乘法法則）

    (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

  6. 商（除法法則）

    \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

  7. 復(fù)合函數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）

    (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

3. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

  • \fracu0z1t8os{dx}\sin x = \cos x
  • \fracu0z1t8os{dx}\cos x = -\sin x
  • \fracu0z1t8os{dx}e^x = e^x
  • \fracu0z1t8os{dx}\ln x = \frac{1}{x}

4. 舉幾個例子

例 1：

f(x) = x^3

用冪函數(shù)公式：

f'(x) = 3x^2

例 2：

f(x) = (3x+2)^5

用鏈?zhǔn)椒▌t：

f'(x) = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

例 3：

f(x) = \frac{x^2+1}{x}

用商法則：

f'(x) = \frac{(2x)(x) - (x^2+1)(1)}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2+1)}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}

下面是常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1. 三角函數(shù)

(1) \sin x 的導(dǎo)數(shù)

\fracu0z1t8os{dx}\sin x = \cos x

?? 含義：

  • 在單位圓上，\sin x 表示角度 x 對應(yīng)點的縱坐標(biāo)。
  • \cos x 是橫坐標(biāo)。
  • 當(dāng)角度變化時，縱坐標(biāo)的變化率，剛好等于橫坐標(biāo)。

例子：

f(x) = \sin(2x)

用鏈?zhǔn)椒▌t：

f'(x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x)

(2) \cos x 的導(dǎo)數(shù)

\fracu0z1t8os{dx}\cos x = -\sin x

?? 含義：

  • 在單位圓上，\cos x 表示角度 x 對應(yīng)點的橫坐標(biāo)。
  • 斜率方向與 \sin 相反，所以出現(xiàn)負(fù)號。

例子：

f(x) = \cos(3x)

f'(x) = -\sin(3x)\cdot 3 = -3\sin(3x)

2. 指數(shù)函數(shù)

\fracu0z1t8os{dx} e^x = e^x

?? 含義：

  • e^x 的變化率和它自己完全一樣。
  • 所以它是一個“自相似”的函數(shù)，增長速度和大小成正比。

例子：

f(x) = e^{2x}

f'(x) = e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}

3. 對數(shù)函數(shù)

\fracu0z1t8os{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad (x>0)

?? 含義：

  • \ln x 是自然對數(shù)，底數(shù)是 e。
  • 它表示“e 的多少次方等于 x”。
  • 它的變化率是 反比關(guān)系：x 越大，\ln x 的變化越慢。

例子：

f(x) = \ln(3x+1)

f'(x) = \frac{1}{3x+1} \cdot 3 = \frac{3}{3x+1}

4. 小結(jié)口訣

  • \sin 的導(dǎo)數(shù)是 \cos，
  • \cos 的導(dǎo)數(shù)是 -\sin，
  • e^x 的導(dǎo)數(shù)還是 e^x，
  • \ln x 的導(dǎo)數(shù)是 \tfrac{1}{x}。

?? 記憶法：

  • “\sin 推 \cos，\cos 推 -\sin”
  • “e^x 不變”
  • “\ln x 變 \frac{1}{x}”。

5. 總結(jié)

  • 求導(dǎo)的核心是極限定義：瞬時變化率。
  • 實際計算時，通常用公式 + 法則，避免每次都推極限。
  • 求導(dǎo)的技巧主要是：冪函數(shù)公式、乘法法則、商法則、鏈?zhǔn)椒▌t。
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