2019-05-10

  • 特征值（向量）的求法
  • 特征值的求法：|\lambda E-A| = 0
  • 特征向量的求法：(\lambda E-A)x = 0，有非零解\xi
  • \lambda E-A = \begin{pmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{pmatrix}
  • 特征矩陣
  • \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{vmatrix} = f(\lambda)特征多項式
  • 特征值的性質(zhì)
  • 性質(zhì)1 A與A^T有相同的特征值
  • 性質(zhì)2 設(shè)n 階矩陣A的特征值為\lambda_1,...,\lambda_n，則
    • \lambda_1+...+\lambda_n = tr(A)
    • \lambda_1...\lambda_n = |A|
  • 推論：A可逆\iffA的特征值\neq0
  • 性質(zhì)3A\sim B \implies |\lambda E-A| = |\lambda E-B|，反之不成立。
  • 根據(jù)代數(shù)基本定理：f(\lambda) = \lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+...+b_n復(fù)系數(shù)多項式,有n個根。
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