微分

微分的概念

定義：設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 定義在點 $U(x_0)$ 上,當(dāng)給 $x_0$ 一個增量 $\Delta x$ , $x_0+\Delta x\in U(x_0)$ 時,相應(yīng)地得到函數(shù)增量為 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

若 $\exists A$ ,使得 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ,則稱函數(shù)f在點 $x_0$ 可微,并稱 $A\Delta x$ 為f在點 $x_0$ 的微分,記作 $dy|_{x=x_0}=A\Delta x$ 或 $df(x)|_{x=x_0}=A\Delta x$

dy是 $\Delta x$ 的線性函數(shù), $A\neq 0$ 時,稱微分dy為增量 $\Delta y$ 的線性主部

注：

1.函數(shù)f在點 $x_0$ 可導(dǎo)和可微是等價的

2.若函數(shù) $y=f(x)$ 在區(qū)間上每一點都可微,則稱f為I上的可微函數(shù),函數(shù) $y=f(x)$ 在I上任一點x處的微分記作 $dy=f'(x)\Delta x,x\in I$ (依賴于 $\Delta x$ 和x)

3.y=x時, $dy=dx=\Delta x$ ,自變量的微分dx就等于自變量的增量,于是 $dy=f'(x)dx$ ,即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的積

4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)微分域自變量微分的商 $f'(x)={dy\over dx}$ ,導(dǎo)數(shù)也稱為微商

定理：函數(shù)在點 $x_0$ 可微 $\Leftrightarrow$ 函數(shù)f在點 $x_0$ 可導(dǎo),且 $A=f'(x_0)$

證明：

$必要性$

$若f在點x_0可微$

${\Delta y\over \Delta x}=A+o(1)$

$取極限可得$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(A+o(1))=A$

$即f在點x_0可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于A$

$充分性$

$若f在點x_0可導(dǎo)$

$則f在點x_0的有限增量公式$

$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$

$表明函數(shù)增量\Delta y可表為$

$線性部分f'(x_0)\Delta x與較\Delta x高階的無窮小量之和$

$\therefore f在點x_0可微,且$

$dy|_{x=x_0}=f'(x_0)\Delta x\qquad\mathcal{Q.E.D}$

微分的幾何意義

當(dāng)自變量由 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 時,函數(shù)增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,微分是在點P處的切線上與 $\Delta x$ 對應(yīng)的增量 $dy=f'(x_0)\Delta x$

微分的運算法則

由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系

1. $d[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x)$

2. $d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)$

3. $d({u(x)\over v(x)})={v(x)du(x)-u(x)dv(x)\over v^2(x)}$

4. $d(f\circ g(x))=f'(u)du=f'(g(x))g'(x)dx$

一階微分形式的不變性： $dy=f'(x)dx$ 不僅在x為自變量時成立,當(dāng)它是另一可微函數(shù)的因變量時也成立

高階微分

$y=f(x)$ 的一階微分是 $dy=f'(x)dx$ ,其中變量x和dx是相互獨立的,將一階微分作為x的函數(shù),若f二階可導(dǎo),則dy對自變量x的微分 $d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)dx\cdot dx=f''(x)(dx)^2$ 或?qū)懽?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=d%5E2y%3Df''(x)dx%5E2" alt="d^2y=f''(x)dx^2" mathimg="1">,稱為函數(shù)f的二階微分

區(qū)別： $dx^2=(dx)^2$ ; $d^2x$ 表示x的二階微分( $d^2x=0$ ); $d(x^2)$ 表示 $x^2$ 的一階微分( $d(x^2)=2xdx$ )

注：

1.n階微分是n-1階微分的微分,記作 $d^ny$ ,即

$d^ny=d(d^{n-1}y)=d(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})$

$=f^{(n)}(x)dx^n$

可寫成 ${d^ny\over dx^n}=f^{(n)}(x)$

2.對 $n\ge 2$ 的n階微分稱為高階微分

3.一階微分具有形式不變性,而高階微分不具備這個性質(zhì)

例：

$x為y=f(x)的自變量時$

$d^2y=f''(x)dx$

$x為復(fù)合函數(shù)y=f(x),x=\varphi(t)的中間變量時$

$y=f(\varphi(t))為t的函數(shù)$

$對t的一階微分為dy=f'(x)dx$

$其中dx=\varphi'(t)dt$

$對t的二階微分為d^2y=(f(\varphi(t)))''dt^2$

$=(f'(\varphi(t))\varphi'(t))'dt^2$

$=[f''(\varphi(t))(\varphi'(t))^2+f'(\varphi(t))\varphi''(t)]dt^2$

$=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$

例：設(shè) $y=f(x)=sinx$ , $x=\varphi(t)=t^2$ ,求 $d^2y$

解：

$y=sint^2$

$y'=2tcost^2$

$y''=2cost^2-4t^2sint^2$

$d^2y=(2cost^2-4t^2sint^2)dt^2$

法二：

$d^2y=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$

$=-sinxdx^2+cosxd^2x$

$=-sint^2\cdot (2t)^2dt^2+cost^2\cdot 2dt^2$

$=(2cost^2-4t^2sint^2)dt^2$

錯解：

$d^2y=f''(x)dx^2$

$=-sinx(2tdt)^2$

$=-4t^2sint^2dt^2$

微分在近似計算中的應(yīng)用

函數(shù)的近似計算

由函數(shù)增量與微分的關(guān)系 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)=dy+o(\Delta x)$ , $\Delta x$ 很小時有 $\Delta y\approx dy$ ,由此可得 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ ,或 $x\approx x_0$ 時有 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

幾何意義：當(dāng)x充分接近 $x_0$ 時可用切線近似替代曲線(以直代曲),線性近似的思想可簡化復(fù)雜問題

例：

令 $x_0=0$ ,可得原點附近的近似公式：

$sinx\approx x$ , $tanx\approx x$ ,

$ln(1+x)\approx x$ , $e^x\approx x$

例：求 $sin33^\circ$ 的近似值

解：

$sin33^\circ=sin({\pi\over 6}+{\pi\over 60})$

$取f(x)=sinx,x_0={\pi\over 6},\Delta x={\pi\over 60}$

$sin33^\circ\approx sin{\pi\over 6}+cos{\pi\over 6}\cdot {\pi\over 60}$

$={1\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}\cdot {\pi\over 60}$

$\approx 0.545$

例：設(shè)鐘擺的周期為1s,在冬季擺長至多縮短0.01cm,求此鐘每天至多快幾秒

解：

$T=2\pi\sqrt{l\over g}$

$其中g(shù)為重力加速度$

$T=1s,$

$\therefore l_0={g\over (2\pi)^2}$

$擺長至多縮短0.01cm時$

$擺長增量\Delta l=-0.01$

$單擺周期增量為$

$\Delta T\approx{dT\over dl}|_{l=l_0}\cdot \Delta l$

$={\pi\over \sqrt{g}}\cdot {1\over \sqrt{l_0}}\Delta l$

$={2\pi^2\over g}\Delta l$

$={2\pi^2\over 980}\times (-0.01)\approx -0.0002s$

$即加快約0.0002s$

$\therefore 每天大約加快60\times 60\times 24\times 0.0002=17.28s$

誤差估計

設(shè)x由測量得到,y由函數(shù) $y=f(x)$ 計算得到,在測量時,存在測量誤差,實際測得的為x的近似值 $x_0$ ,由 $x_0$ 算得 $y_0=f(x_0)$ 也是 $y=f(x)$ 的近似值,若已知測量值 $x_0$ 的誤差限為 $\delta_x$ (與測量工具有關(guān)),即 $|\Delta x|=|x-x_0|\le \delta_x$ ,則 $\delta_x$ 很小時, $|\Delta y|=|f(x)-f(x_0)|\approx |f'(x_0)\Delta x|\le |f'(x_0)|\delta_x$ ,而相對誤差限則為 ${\delta_y\over |y_0|}=|{f'(x_0)\over f(x_0)}|\delta_x$