此次計(jì)算物理作業(yè)為混沌效應(yīng)的續(xù)篇
一，物理擺的吸引子
相比課本中的圖，上圖上半部分中多了一部分和下半部分對(duì)此的相圖，看了一下代碼，沒看出來有啥不合適，如果老師能校正一下，麻煩寫在評(píng)論區(qū)。。。
不加theta的角度限制時(shí)，從圖上是看不出來有啥規(guī)律的。
之后觀察周期加倍到系統(tǒng)混沌的行為
重復(fù)課本例子，將Fd =1.35、1.44和1.465下的theta-time圖繪出：
由圖可見周期關(guān)系：1:2:4
The Logistic Map
迭代公式：
由迭代公式，我們可以發(fā)現(xiàn)，不用數(shù)值方法時(shí)，此迭代式是一個(gè)一元二次方程，其通解??可表示為：
對(duì)于0解，其與 μ 的值無關(guān)，故之后不考慮，但我們也應(yīng)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)?μ ，除0以外應(yīng)只有一解，由之后繪圖發(fā)現(xiàn)用數(shù)值方法迭代計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果并非如此
由上圖容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于 μ =2.0?圖中僅一解0.5，易知其為方程另一個(gè)解；
而 μ =3.1時(shí)，方程的迭代最后出現(xiàn)了兩個(gè)穩(wěn)定值，約為0.75和0.55，而方程的另一個(gè)理論解應(yīng)為0.677；
在μ =3.8時(shí)，方程迭代沒有確定的穩(wěn)定點(diǎn)出現(xiàn)，理論解應(yīng)為0.737。
改變初始值再迭代繪圖，此次將初始迭代的x值設(shè)為其理論值（差別只在小數(shù)點(diǎn)后有效位）：
由圖可見，初始值接近理論值時(shí)，迭代的前面一部分值保持在理論值附近，但當(dāng)?shù)螖?shù)n大了以后，迭代值開始發(fā)散，最后又穩(wěn)定在上次繪圖的穩(wěn)定點(diǎn)附近了。
用圖像解法時(shí)，易知原方程的解為兩條曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)：
由圖易知，若初始值x在（0,1）之間，則迭代時(shí)會(huì)收斂到理論解，而若x初始值不在此區(qū)間則迭代會(huì)發(fā)散，不會(huì)收斂到理論解。
易看出，迭代時(shí)會(huì)發(fā)生震蕩，不會(huì)收斂，進(jìn)一步分析μ =3.1的圖像，則有：
發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定點(diǎn)的存在，約為0.75和0.55，在這兩個(gè)數(shù)值相互迭代會(huì)出現(xiàn)0.75→0.55→0.75→0.55→0.75→0.55的循環(huán)迭代，達(dá)到了穩(wěn)定，就算迭代過程中x達(dá)到了理論值，也會(huì)因?yàn)椴环€(wěn)定而被跳過，由此可見用迭代法解方程的數(shù)值解法時(shí)，并不是通用的，應(yīng)該研究一下迭代過程的可靠性。
由此我們也能得出μ =3.8?時(shí)，圖像是因?yàn)樵诶碚摻飧浇鼰o法穩(wěn)定，且其穩(wěn)定的值大概在一個(gè)比較大的區(qū)間內(nèi)，因此出現(xiàn)了迭代結(jié)果的波動(dòng)。
Lorenz Model
按照迭代式，繪圖有：
相空間繪圖：
r=20時(shí)，500000步迭代：
r=25時(shí)，500000步迭代：
r=30時(shí)，500000步迭代：
r=25時(shí)，1000000步迭代，x-z相圖：
r=25時(shí)，1000000步迭代，y-z相圖：
說實(shí)話，我已經(jīng)看不懂了。。。
嘗試畫x=0和y=0時(shí)z-y和z-x相圖，500000步迭代的程序判斷語句有點(diǎn)多，電腦運(yùn)行到崩潰好幾次，遂改換步長，從dt=0.0001改換為dt=0.01，以求達(dá)到出現(xiàn)足夠多x=0時(shí)的z-y相圖點(diǎn)時(shí)的總時(shí)間t，因?yàn)檫\(yùn)行程序時(shí)發(fā)現(xiàn)，要出現(xiàn)要求點(diǎn)則總時(shí)間t必須達(dá)到幾十秒甚至幾百秒
迭代總時(shí)間為100秒時(shí)的z-y（x=0）相圖：
迭代總時(shí)間為25000秒時(shí)的z-y（x=0）相圖：
總結(jié)
通過對(duì)周期加倍和Lorenz模型的思考和繪圖，我對(duì)于混沌效應(yīng)的理解更加混沌了。我們能看出，限制x=0（y=0）后，z-y（z-x）相圖開始變得清晰簡單起來，但是受限于計(jì)算機(jī)計(jì)算能力和我的編程能力，不好得到較長時(shí)間的運(yùn)行結(jié)果，所以只是推斷其之后的圖像亦延續(xù)了這個(gè)趨勢(shì)。通過這些繪圖對(duì)這兩個(gè)情況下的混沌效應(yīng)有了一定了解，以及在某些情況下，對(duì)于要通過迭代的方法得到最終結(jié)果的話，普通歐拉方法很可能已經(jīng)不適用了，應(yīng)該具體考察一下以后再?zèng)Q定迭代的具體方式。
