BST樹
即二叉搜索樹：
1.所有非葉子結(jié)點(diǎn)至多擁有兩個(gè)兒子（Left和Right）；
2.所有結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)一個(gè)關(guān)鍵字；
3.非葉子結(jié)點(diǎn)的左指針指向小于其關(guān)鍵字的子樹，右指針指向大于其關(guān)鍵字的子樹；
如：
BST樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，如果查詢的關(guān)鍵字與結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字相等，那么就命中；
否則，如果查詢關(guān)鍵字比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字小，就進(jìn)入左兒子；如果比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字大，就進(jìn)入
右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報(bào)告找不到相應(yīng)的關(guān)鍵字；
如果BST樹的所有非葉子結(jié)點(diǎn)的左右子樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)目均保持差不多（平衡），那么B樹
的搜索性能逼近二分查找；但它比連續(xù)內(nèi)存空間的二分查找的優(yōu)點(diǎn)是，改變BST樹結(jié)構(gòu)
（插入與刪除結(jié)點(diǎn)）不需要移動(dòng)大段的內(nèi)存數(shù)據(jù)，甚至通常是常數(shù)開銷；
如：
但BST樹在經(jīng)過多次插入與刪除后，有可能導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)：
右邊也是一個(gè)BST樹，但它的搜索性能已經(jīng)是線性的了；同樣的關(guān)鍵字集合有可能導(dǎo)致不同的
樹結(jié)構(gòu)索引；所以，使用BST樹還要考慮盡可能讓BST樹保持左圖的結(jié)構(gòu)，和避免右圖的結(jié)構(gòu)，也就
是所謂的“平衡”問題；
AVL平衡二叉搜索樹定義：平衡二叉樹或?yàn)榭諛?或?yàn)槿缦滦再|(zhì)的二叉排序樹: （1）左右子樹深度之差的絕對(duì)值不超過1; （2）左右子樹仍然為平衡二叉樹.平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.平衡二叉樹每個(gè)結(jié)點(diǎn)的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對(duì)值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。如圖所示為平衡樹和非平衡樹示意圖：
RBT 紅黑樹
AVL是嚴(yán)格平衡樹，因此在增加或者刪除節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，根據(jù)不同情況，旋轉(zhuǎn)的次數(shù)比紅黑樹要多；紅黑是弱平衡的，用非嚴(yán)格的平衡來換取增刪節(jié)點(diǎn)時(shí)候旋轉(zhuǎn)次數(shù)的降低；所以簡單說，搜索的次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于插入和刪除，那么選擇AVL樹，如果搜索，插入刪除次數(shù)幾乎差不多，應(yīng)該選擇RB樹。
紅黑樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)內(nèi)含五個(gè)域，color，key，left，right，p。如果相應(yīng)的指針域沒有，則設(shè)為NIL。一般的，紅黑樹，滿足以下性質(zhì)，即只有滿足以下全部性質(zhì)的樹，我們才稱之為紅黑樹：1）每個(gè)結(jié)點(diǎn)要么是紅的，要么是黑的。2）根結(jié)點(diǎn)是黑的。3）每個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，即空結(jié)點(diǎn)（NIL）是黑的。4）如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)是紅的，那么它的倆個(gè)兒子都是黑的。5）對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)，從該結(jié)點(diǎn)到其子孫結(jié)點(diǎn)的所有路徑上包含相同數(shù)目的黑結(jié)點(diǎn)。下圖所示，即是一顆紅黑樹：
B-樹
是一種平衡多路搜索樹（并不是二叉的）：
1.定義任意非葉子結(jié)點(diǎn)最多只有M個(gè)兒子；且M>2；
2.根結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[2, M]；
3.除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[M/2, M]；
4.每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放至少M(fèi)/2-1（取上整）和至多M-1個(gè)關(guān)鍵字；（至少2個(gè)關(guān)鍵字）
5.非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)=指向兒子的指針個(gè)數(shù)-1；
6.非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7.非葉子結(jié)點(diǎn)的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關(guān)鍵字小于K[1]的
子樹，P[M]指向關(guān)鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關(guān)鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；
8.所有葉子結(jié)點(diǎn)位于同一層；
如：（M=3）
B-樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，對(duì)結(jié)點(diǎn)內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果
命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點(diǎn)；重復(fù)，直到所對(duì)應(yīng)的兒子指針為
空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點(diǎn)；
B-樹的特性：
1.關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中；
2.任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中；
3.搜索有可能在非葉子結(jié)點(diǎn)結(jié)束；
4.其搜索性能等價(jià)于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找；
5.自動(dòng)層次控制；
由于限制了除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)，至少含有M/2個(gè)兒子，確保了結(jié)點(diǎn)的至少
利用率，其最底搜索性能為：
其中，M為設(shè)定的非葉子結(jié)點(diǎn)最多子樹個(gè)數(shù)，N為關(guān)鍵字總數(shù)；
所以B-樹的性能總是等價(jià)于二分查找（與M值無關(guān)），也就沒有B樹平衡的問題；
由于M/2的限制，在插入結(jié)點(diǎn)時(shí)，如果結(jié)點(diǎn)已滿，需要將結(jié)點(diǎn)分裂為兩個(gè)各占
M/2的結(jié)點(diǎn)；刪除結(jié)點(diǎn)時(shí)，需將兩個(gè)不足M/2的兄弟結(jié)點(diǎn)合并；
B+樹
B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：
1.其定義基本與B-樹同，除了：
2.非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針與關(guān)鍵字個(gè)數(shù)相同；
3.非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹
（B-樹是開區(qū)間）；
5.為所有葉子結(jié)點(diǎn)增加一個(gè)鏈指針；
6.所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)；
如：（M=3）
B+的搜索與B-樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中（B-樹可以在
非葉子結(jié)點(diǎn)命中），其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點(diǎn)的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關(guān)鍵字恰好
是有序的；
2.不可能在非葉子結(jié)點(diǎn)命中；
3.非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲(chǔ)
（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；
4.更適合文件索引系統(tǒng)；比如對(duì)已經(jīng)建立索引的數(shù)據(jù)庫記錄，查找10<=id<=20，那么只要通過根節(jié)點(diǎn)搜索到id=10的葉節(jié)點(diǎn)，之后只要根據(jù)葉節(jié)點(diǎn)的鏈表找到第一個(gè)大于20的就行了，比B-樹在查找10到20內(nèi)的每一個(gè)時(shí)每次都從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)查找提高了不少效率。
B樹*
是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結(jié)點(diǎn)再增加指向兄弟的指針；
B樹定義了非葉子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)至少為(2/3)M，即塊的最低使用率為2/3
（代替B+樹的1/2）；
B+樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，分配一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，并將原結(jié)點(diǎn)中1/2的數(shù)據(jù)
復(fù)制到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)中增加新結(jié)點(diǎn)的指針；B+樹的分裂只影響原結(jié)點(diǎn)和父
結(jié)點(diǎn)，而不會(huì)影響兄弟結(jié)點(diǎn)，所以它不需要指向兄弟的指針；
B樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，如果它的下一個(gè)兄弟結(jié)點(diǎn)未滿，那么將一部分
數(shù)據(jù)移到兄弟結(jié)點(diǎn)中，再在原結(jié)點(diǎn)插入關(guān)鍵字，最后修改父結(jié)點(diǎn)中兄弟結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字
（因?yàn)樾值芙Y(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結(jié)點(diǎn)與兄弟結(jié)點(diǎn)之
間增加新結(jié)點(diǎn)，并各復(fù)制1/3的數(shù)據(jù)到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)增加新結(jié)點(diǎn)的指針；
所以，B樹分配新結(jié)點(diǎn)的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
小結(jié)
B樹：二叉樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)只存儲(chǔ)一個(gè)關(guān)鍵字，等于則命中，小于走左結(jié)點(diǎn)，大于
走右結(jié)點(diǎn)；
B-樹：多路搜索樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)M/2到M個(gè)關(guān)鍵字，非葉子結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)指向關(guān)鍵
字范圍的子結(jié)點(diǎn)；
所有關(guān)鍵字在整顆樹中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次，非葉子結(jié)點(diǎn)可以命中；
B+樹：在B-樹基礎(chǔ)上，為葉子結(jié)點(diǎn)增加鏈表指針，所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)
中出現(xiàn)，非葉子結(jié)點(diǎn)作為葉子結(jié)點(diǎn)的索引；B+樹總是到葉子結(jié)點(diǎn)才命中；
B*樹：在B+樹基礎(chǔ)上，為非葉子結(jié)點(diǎn)也增加鏈表指針，將結(jié)點(diǎn)的最低利用率
從1/2提高到2/3；
B+/BTree應(yīng)用*
數(shù)據(jù)庫索引--索引文件和數(shù)據(jù)文件是分離的，索引文件僅保存數(shù)據(jù)記錄的地址。
數(shù)據(jù)庫索引--表數(shù)據(jù)文件本身就是按B+Tree組織的一個(gè)索引結(jié)構(gòu)，這棵樹的葉節(jié)點(diǎn)data域保存了完整的數(shù)據(jù)記錄。這個(gè)索引的key是數(shù)據(jù)表的主鍵。
倒排索引--也可以由B樹及其變種實(shí)現(xiàn)但不一定非要B樹及其變種實(shí)現(xiàn)，如lucene沒有使用B樹結(jié)構(gòu)，因此lucene可以用二分搜索算法快速定位關(guān)鍵詞。實(shí)現(xiàn)時(shí)，lucene將下面三列分別作為詞典文件（Term Dictionary）、頻率文件(frequencies)、位置文件 (positions)保存。其中詞典文件不僅保存有每個(gè)關(guān)鍵詞，還保留了指向頻率文件和位置文件的指針，通過指針可以找到該關(guān)鍵字的頻率信息和位置信息。
原文地址：http://blog.csdn.net/sup_heaven/article/details/39313731
參考文章B-樹和B+樹的應(yīng)用：數(shù)據(jù)搜索和數(shù)據(jù)庫索引 http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7786014
B樹、B-樹、B+樹、B*樹 http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html
