高等代數(shù)理論基礎(chǔ)45：線(xiàn)性變換的定義

線(xiàn)性變換的定義

線(xiàn)性空間是某一類(lèi)事物從量的方面的一個(gè)抽象,事物之間的聯(lián)系反映為線(xiàn)性空間的映射

線(xiàn)性空間V到自身的映射稱(chēng)為V的一個(gè)變換,其中線(xiàn)性變換是最基本的

定義

定義：數(shù)域P中,線(xiàn)性空間V的一個(gè)變換\mathscr{A},若\forall \alpha,\beta\in V,\forall k\in P有

\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}+\mathscr{A}(\beta)

\mathscr{A}(k\alpha)=k\mathscr{A}(\alpha)

則稱(chēng)\mathscr{A}為線(xiàn)性變換

注：

1.\mathscr{A}(\alpha),\mathscr{A}\alpha表示元素\alpha在變換\mathscr{A}下的像

2.線(xiàn)性變換保持向量的加法和數(shù)量乘法

單位變換

線(xiàn)性空間V中定義變換,\mathscr{E}(\alpha)=\alpha(\alpha\in V)?,\mathscr{E}?是線(xiàn)性變換,稱(chēng)為恒等變換或單位變換

零變換

線(xiàn)性空間V中定義變換,\mathscr{O}(\alpha)=0(\alpha\in V),\mathscr{O}是線(xiàn)性變換,稱(chēng)為零變換

數(shù)乘變換

V是數(shù)域P上的線(xiàn)性空間,k\in P,定義變換\mathscr{K}:\alpha\to k\alpha,\alpha\in V,是線(xiàn)性變換,稱(chēng)為由數(shù)k決定的數(shù)乘變換

k=1時(shí),即為恒等變換

k=0時(shí),即為零變換

性質(zhì)

1.設(shè)\mathscr{A}是V的線(xiàn)性變換,則\mathscr{A}(0)=0,\mathscr{-\alpha}=-\mathscr{A}(\alpha)

2.線(xiàn)性變換保持線(xiàn)性組合與線(xiàn)性關(guān)系式不變,即

若\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r

則\mathscr{A}(\beta)=k_1\mathscr{A}(\alpha_1)+k_2\mathscr{A}(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathscr{A}(\alpha_r)

3.線(xiàn)性變換把線(xiàn)性相關(guān)的向量組變成線(xiàn)性相關(guān)的向量組,也可把線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也變成線(xiàn)性相關(guān)的向量組,如零變換

例

1.平面上的向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的二維線(xiàn)性空間,將平面繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)\theta?角,即一個(gè)線(xiàn)性變換,用\mathscr{G}_\theta?表示

若\alpha?在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(x,y)?,則像\mathscr{G}_\theta(\alpha)?的坐標(biāo)(x’,y’)?為

\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

注：空間中繞軸的旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)線(xiàn)性變換

2.設(shè)\alpha是幾何空間中一固定的非零向量,將每個(gè)向量\zeta變到它在\alpha上的內(nèi)射影的變換是一個(gè)線(xiàn)性變換,以\Pi_\alpha表示

即\Pi_\alpha(\zeta)={(\alpha,\zeta)\over (\alpha,\alpha)}\alpha?,其中(\alpha,\zeta),(\alpha,\alpha)表示內(nèi)積

3.在線(xiàn)性空間P[x]或P[x]_n中,求微商是一個(gè)線(xiàn)性變換,\mathscr{D}(f(x))=f’(x)

4.定義在閉區(qū)間[a,b]上全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線(xiàn)性空間C(a,b)

在該空間中,變換\mathscr{G}(f(x))=\int_a^x f(t)dt是一線(xiàn)性變換

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