前言

第一次接觸線性代數(shù)是在大一的第一學(xué)期，學(xué)完以后分?jǐn)?shù)不低，但是在結(jié)束考試后我就有點(diǎn)心虛，在這一段時(shí)間因?yàn)橛袀€(gè)阿姨來問我線性代數(shù)，又溫習(xí)了一遍，心里邊變得更心虛。我覺得自己仿佛沒有學(xué)到東西，記憶當(dāng)中也只有那些零零散散的計(jì)算公式，所以這一段時(shí)間為了幫助阿姨，自己又重新學(xué)習(xí)了一遍線性代數(shù)，對線性代數(shù)的實(shí)質(zhì)稍微有了一點(diǎn)基礎(chǔ)，下面的行文思路是我在看MIT的線性代數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)視頻的總結(jié)筆記，期間會穿插著一些我自己對于線性代數(shù)的一些理解，一方面希望可以希望幫助像我和阿姨一樣的同學(xué)了解線性代數(shù)計(jì)算后面的本質(zhì)，另一方面是為了快速幫助自己總結(jié)復(fù)習(xí)回憶起以前的知識點(diǎn)！

注意：在這個(gè)文章中，因?yàn)槲易陨淼乃接邢蓿韵肴ビ懻撘幌孪裼?jì)算性這樣的東西，比如關(guān)于解的存在，唯一性等，因?yàn)檫@樣的定理都有充分地理論進(jìn)行判定依據(jù)，要求解的話又可以有cramer法則，實(shí)在不行我們用MATLAB這樣的數(shù)學(xué)軟件也都可以解決，在這里我更想的是了解一些計(jì)算的本質(zhì)，因?yàn)楸容^基礎(chǔ)，感謝各位大牛們給我指教，以此來幫助我和阿姨們共同進(jìn)步。OK，話不多說，開寫；

1：線性方程組

線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問題值得討論：

（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；

（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解

（3）、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。

（4）

高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；

（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；

（3）、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。

可以用矩陣的形式來表示一個(gè)線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡潔。

系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。

對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r

在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。

對于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

通過對行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個(gè)分量。

n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時(shí)它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。

矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。

對給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

從簡單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān)、單個(gè)非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等）。

從多個(gè)角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。

部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān)。

回到線性方程組的解的問題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個(gè)向量組本身是線性無關(guān)的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

任意一個(gè)向量組，都可以通過依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組。

如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價(jià)。

一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線性無關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)。

注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線性無關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線性表出。

一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱為向量組的秩。

向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。

鑒于每篇文章內(nèi)容不宜過長，后續(xù)的線性相關(guān)，矩陣乘法，空間變換，特征值與特征向量等知識會后續(xù)連載幾篇文章。謝謝阿姨的觀看，阿姨一定要學(xué)好哈！

?b???E?h?