第2篇：醉漢與股價

深夜街頭的頓悟

凌晨兩點(diǎn)，顧北從圖書館出來，踩著路燈拉出的長影子往宿舍走。

路過校門口的小賣部，他碰到了一個讓他在路邊站了五分鐘的奇景——

一個喝醉的男人站在十字路口中央，左搖右晃，試圖往前走，但每走一步都像是在拒絕重力的同時被它報復(fù)。他向前邁一步，身體卻向左偏；他修正方向，又向右踉蹌；努力走直線，結(jié)果幾乎原地打了個轉(zhuǎn)。

路過的人繞著他走，顧北停下來看了一會兒。

這個醉漢最終要走多遠(yuǎn)？完全沒法預(yù)測。

也許下一步向前。也許向后。也許斜著走出去一大截。每一步都是一次“隨機(jī)”——沒有規(guī)律，沒有方向，完全取決于那一刻他身體的狀態(tài)和地面的摩擦力。

顧北突然想到了今天讀到的一個詞：隨機(jī)游走。

他把手機(jī)掏出來，打開課程，翻到了那一段：

想象一個人站在數(shù)軸的0點(diǎn)。每一秒，他以50%的概率向右走一步，以50%的概率向左走一步。這就是最簡單的隨機(jī)游走。100步之后，他在哪里？不知道。但我們能算出他大概能走多遠(yuǎn)。

顧北抬起頭，看著那個醉漢終于歪歪扭扭地摸到了路邊的護(hù)欄，扶著護(hù)欄喘氣。

股價，他突然想到，不就是這個樣子嗎？

每天的漲跌，不過是另一個醉漢在走路。

隨機(jī)游走：每一步都不可預(yù)測

第二天，顧北找到霍遠(yuǎn)，把昨晚的想法說了出來。

“股價是不是就是隨機(jī)游走？每天漲跌就像那個醉漢，下一步往哪兒走，誰都不知道?！?/p>

霍遠(yuǎn)點(diǎn)了根煙，想了想。“你說對了，但沒說全。”

“哪里不全？”

“隨機(jī)游走說的是方向不可預(yù)測，但不代表一切都不可預(yù)測。”他舉了個例子，“那個醉漢你盯著看100步，你不知道第101步他往左還是往右。但你能回答另一個問題：100步之后，他距離出發(fā)點(diǎn)大概有多遠(yuǎn)？”

顧北想了一下。“大概是……10步？”

“對，差不多。具體來說，走了N步之后，他的平均距離大概是N的平方根——走了100步，平均走了10個單位的距離；走了10000步，平均走了100個單位。每一步的方向不可預(yù)測，但整體的‘?dāng)U散速度’是可以計算的?！?/p>

“這有什么用？”

“這就是波動率的來源?！被暨h(yuǎn)把煙按滅，“股價也是這樣——每天的漲跌不可預(yù)測，但它的波動會隨時間‘?dāng)U散’，而且擴(kuò)散速度可以被歷史數(shù)據(jù)估計出來。期權(quán)定價就靠這個——我不知道股價漲還是跌，但我知道它波動多大，我就能算出期權(quán)值多少錢?！?/p>

顧北沉默了一下。

“等等——你說股價是隨機(jī)游走，那那些做技術(shù)分析的人，畫K線圖，找支撐位阻力位，不是認(rèn)為價格會按某種規(guī)律走嗎？”

霍遠(yuǎn)笑了。“這個問題，你可以去問任何一個量化研究員，他能跟你聊三個小時。簡單說：如果市場真的是完全隨機(jī)游走，那技術(shù)分析就沒有意義。但如果技術(shù)分析有意義，那市場就不完全是隨機(jī)游走?，F(xiàn)實(shí)是——市場大部分時間非常接近隨機(jī)游走，但偶爾存在一些可以被統(tǒng)計方法捕捉到的模式。量化的工作，就是找到那些‘偶爾’?！?/p>

馬爾可夫：只看現(xiàn)在，不看歷史

課程里還有一個概念讓顧北覺得有意思：馬爾可夫性。

最直白的說法是：下一步去哪里，只取決于你現(xiàn)在在哪里，和你過去走過的路徑無關(guān)。

顧北在地鐵里想了一個反例：

下棋不是馬爾可夫的——你要看整個棋盤的歷史狀態(tài)才能決定下一步，光知道當(dāng)前局面還不夠，因?yàn)橛行┬畔ⅲū热珉p方是否已經(jīng)動過車）藏在歷史里。

但天氣預(yù)報在某種程度上是馬爾可夫的——明天下雨的概率，主要取決于今天的氣壓、濕度、溫度，而不太需要知道一個月前的天氣記錄。

股價是馬爾可夫的嗎？

這是一個大問題。

經(jīng)典的假設(shè)說：是的，股價是馬爾可夫的。今天的價格，已經(jīng)包含了所有過去發(fā)生的信息。所以你沒法靠分析歷史價格來預(yù)測未來——因?yàn)闅v史已經(jīng)被“消化”進(jìn)今天的價格里了。

這個假設(shè)，就是著名的“有效市場假說”的核心。

“但這個假設(shè)對嗎？”顧北問霍遠(yuǎn)。

“如果它完全對，量化基金就沒有存在的意義了，”霍遠(yuǎn)說，“所以你懂了吧？量化基金存在的前提，就是市場并不完全有效，歷史信息里仍然有一些東西沒被完全反映進(jìn)價格?！?/p>

“量化的工作，就是找到那些東西?！?/p>

鞅：公平游戲的數(shù)學(xué)定義

學(xué)到這里，課程里出現(xiàn)了一個新詞——鞅（Martingale）。

這個詞讓顧北愣了很久，因?yàn)樗恢涝趺醋x（后來查了才知道讀“yǎng”），更不知道什么意思。

他查了一下，發(fā)現(xiàn)“鞅”在古漢語里是套在馬脖子上的皮帶，英文martingale本來是個賭博詞匯，指的是一種“輸了就加倍下注”的賭博策略——但在數(shù)學(xué)里，它被借用來描述一種特殊的隨機(jī)過程。

季明遠(yuǎn)的解釋讓他想明白了：

“鞅是什么？簡單說，就是一個公平游戲的數(shù)學(xué)描述。如果我現(xiàn)在站在某個位置，而這個位置未來的期望值等于現(xiàn)在的值——我不會平均變好，也不會平均變差——那么這個隨機(jī)過程就是鞅?！?/p>

“就像一個公平的賭局？”

“對。一個公平的賭局，不管你現(xiàn)在贏了多少或者輸了多少，未來的期望財富等于現(xiàn)在的財富。你的財富是一個鞅?！?/p>

“那股價是鞅嗎？”

“在某種理論假設(shè)下，是的，”季明遠(yuǎn)說，“但注意：這里說的是經(jīng)過某種調(diào)整之后的股價。原始股價不是鞅，因?yàn)槭袌鰧︼L(fēng)險有補(bǔ)償，股票長期來看有正的期望收益。但如果你用無風(fēng)險利率把股價‘打折’之后，它就變成了鞅?！?/p>

“這聽起來很奇怪……”

“這就是第6講會講的內(nèi)容，”季明遠(yuǎn)說，“現(xiàn)在只需要記住一件事：鞅這個概念非常重要，因?yàn)樗呛髞硌苌范▋r的核心工具。很多復(fù)雜的期權(quán)定價問題，一旦找到了合適的鞅，就會變得出奇地簡單。”

回到醉漢

晚上，顧北坐在宿舍里，把今天學(xué)到的東西整理成了一張簡圖：

隨機(jī)過程
 ├── 隨機(jī)游走：每一步隨機(jī)，但整體擴(kuò)散可以計算
 ├── 馬爾可夫性：下一步只看現(xiàn)在，不管歷史
 └── 鞅：公平游戲——當(dāng)前的期望 = 現(xiàn)在的值

他想到那個深夜的醉漢。

那個醉漢的軌跡，就是一個隨機(jī)游走——每一步的方向不可預(yù)測，但走了N步之后，他離出發(fā)點(diǎn)的距離大概是N的平方根。

他的醉態(tài)，讓每一步都只取決于他當(dāng)下的身體狀態(tài)，而不是他過去走了什么路——這就是馬爾可夫性。

如果他的朋友和他打賭“你從這里出發(fā)，一小時后在哪里”，公平的賭法應(yīng)該是以當(dāng)前位置作為預(yù)測值——期望他不會比現(xiàn)在走得更遠(yuǎn)，也不會回來——這就是鞅的精神。

一個喝醉的男人。

三個數(shù)學(xué)概念。

顧北突然覺得這門課開始有了一點(diǎn)意思。

但在走進(jìn)布朗運(yùn)動之前，顧北還碰到了一個問題——他一直覺得金融數(shù)據(jù)和物理數(shù)據(jù)應(yīng)該很像，直到他表哥來了，給他上了一課。

表哥在氣象局工作，研究的問題和顧北高度重疊，卻又處處不同。兩個人的一頓飯，讓顧北第一次認(rèn)清了金融數(shù)據(jù)的真實(shí)脾氣。