朋友給我發(fā)了一道筆試題讓我?guī)兔ψ觥ｎ}目大概是這樣：

(1) 有 1 個小球放在一個 1m 長的光滑凹槽里，小球初始位置隨機（均勻分布），初始速度 1m/s，方向隨機。求小球滑出凹槽的期望值。
(2) 如果有 2 個小球，且小球碰撞為剛性碰撞，求兩個小球全部從凹槽掉落的時間期望值。
(3) 如果有 n 個小球呢？

這道題其實用直覺做很簡單。主要有兩個關竅：

1. 剛性碰撞后，小球交換速度
   動量守恒+能量守恒
2. n 個小球在軌道上均勻分布大概是什么樣？
   其期望就是均勻把軌道分成 n + 1 份。

因此答案是：1/2，2/3，和 n/(n+1)

當然，這完全不夠嚴謹。下面進入數(shù)學部分。

N 個獨立同分布最大值的期望

這道題可以提煉出一個數(shù)學問題，即求 N 個獨立同分布最大值的期望。

假設 是 N 個隨機變量的最大值，則 的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function）為：

由于 X 相互獨立，上式等價于：

其中 表示 的累積分布函數(shù)。

那么 y 的期望值可以表示為：

均勻分布情形

對于 區(qū)間上的均勻分布有：

故

帶入題目中的區(qū)間 得到：