一、摘要
1、研究了簡單的太陽、木星（Jupiter）和地球的三體運動問題，由于相對而言，木星質(zhì)量在八大行星里是最大的，所以它經(jīng)過地球時，可能對地球運動造成一定影響，于是我用書上的步驟模擬繪制出來他們的運動軌跡，并假設(shè)計算方法不變，木星質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?0倍、1000倍時，看運動軌跡變化
2、模擬了木星對處于它的共振帶的小行星運動影響（我畫的是處于2/1 Kirkwood gap的小行星）
3、探究了Hyperion的運動狀態(tài)。Hyperion 是土星（Saturn）的一顆衛(wèi)星，它是一顆形狀奇怪的衛(wèi)星（啞鈴狀），我繪制了它的自轉(zhuǎn)角度Θ和角速度ω隨時間的變曲線，探究了它的初始化改變帶來的混沌狀態(tài)，探究了書上習題problem 4.19、4.20
二、背景介紹
1900年，數(shù)學家希爾伯特在他著名的演講中提出了23個困難的數(shù)學問題以及兩個典型例子，第一個是費爾馬猜想，第二個就是所要介紹的N體問題的特例——三體問題。對于20世紀數(shù)學的整體發(fā)展，這兩個例子所起的作用要比23個問題中的任何一個都更加巨大。最終，費爾馬猜想在1994年被美國的懷爾斯解決，而三體問題卻仍然是數(shù)學大廈上的一朵烏云，揮之不去。
一般的三體問題，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下，其運動方程都可以表示成6個一階的常微分方程。因此，一般三體問題的運動方程為十八階方程，必須得到18個積分才能得到完全解。然而，現(xiàn)階段還只能得到三體問題的10個初積分，遠遠不足以解決三體問題。
我們常說的“三體問題無解”，準確地來說，是無解析解，意思是三體問題沒有規(guī)律性答案，不能用解析式表達出來，只能算數(shù)值解，沒有辦法得出精確值。然而對于三體問題的數(shù)值解，時間會無限放大初始的微小誤差，因此數(shù)值法幾乎沒有辦法預(yù)測當時間趨于無窮時，三體軌道的最終命運。而這種對于軌道的長時間行為的不確定性，就被稱為“混沌”現(xiàn)象。三體問題理論上是不可解的，只能發(fā)現(xiàn)一些特解，
人類耗費多少實際解決這個問題，終究是證明自己在上帝面前是多么的渺小與愚蠢
。。。。。。
但誰叫我們是人類呢！
這里討論及其簡單粗暴的對于太陽、木星（Jupiter）和地球的三體運動問題，木星受到的沿x軸方向的力和沿x軸方向的加速度代數(shù)表達如下
沿y軸方向的力和加速度同樣形式
地球所受的力和加速度一樣可以這樣求出來，再運用我們已經(jīng)運用多次的Euler-Cromer方法，我們可以一步一步模擬出運動軌跡，具體參數(shù)為
Kirkwood Gaps 產(chǎn)生的原因是該軌道上運動的行星會與周期木星“共振”，由于木星質(zhì)量較大，對其他行星運動產(chǎn)生影響較大，特別是共振態(tài)上的，運行一段時間后會飛出去。
我取的小行星處于2/1 gap處，參數(shù)為a=3.276 AU,v=3.471 AU/yr
Hyperion繞著土星（Saturn）運動，我們模擬時可看做用一根無質(zhì)量硬桿連接的啞鈴狀物體，作用在質(zhì)點m1上的力可以寫成
以質(zhì)心為原點，作用在m1上的力矩和由此推出的近似角速度為
據(jù)此一步步運算，作圖
三、主體
1、太陽、木星（Jupiter）和地球的三體運動問題
代碼：三體軌跡
當我們把Jupiter的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?0倍甚至1000倍時，變化產(chǎn)生了
質(zhì)量變?yōu)?0倍時，地球運動軌跡變化還無法察覺
變?yōu)?000倍時，雖然Jupiter相對太陽的質(zhì)量不可以忽略，太陽運動也會顯著變化，理論上我們的算法將要改變，但若不變算法，我們依然可以定性的探究一下，可以見到地球運動變得混沌，然后突然一下飛了出去，可怕！
不會用vpython，所以可恥地借用別人的3Dvpython圖，可以更直觀的展現(xiàn)這種變化
2、Resonance ? ?木星對處于它的共振帶的小行星運動影響
可見影響還是有的，軌跡不再重合，據(jù)書上所說，小行星將處于共振態(tài)很長一段時間，然后突然劇變， 最終偏離原軌道。
3、Hyperion的混沌狀態(tài)
當軌道為圓形即初始的vy=2π HU/Hyperion-year時
軌跡為圓時運動是相當規(guī)律的
若改變初始vy=5HU/Hyperion-year,軌跡變成橢圓
混沌運動產(chǎn)生，我們進一步探究，改變初始條件，使兩個運動的初始角度Θ差0.01，即dΘ=0.01
并作出dΘ隨時間的變化圖
我取的初始值統(tǒng)一x=1,y=0,vx=0,所以取不同初始vy,可以使橢圓離心率發(fā)生變化（其中vy=2π時是圓），為探究不同離心率e對Lyapunov ?exponent的影響，我取了vy=4、5、2π、7
當我把對角度的限制去掉以后，即角度不再是限制于-π~+π時，，同樣條件得出的圖是（PS：縱坐標不再取log值）
四、結(jié)論
1、三體運動是復(fù)雜無解的，但只考慮非常簡化的太陽、木星（Jupiter）和地球的三體運動時，可以看出木星對地球的影響十分小，但如果把木星的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?000倍，那影響將十分巨大，地球也將不再是現(xiàn)在這個樣子
2、木星對處于它的共振帶的小行星運動有較大影響，小行星將處于共振態(tài)很長一段時間，然后突然短時間內(nèi)劇變， 最終偏離原軌道。
3、Hyperion繞著土星公轉(zhuǎn)，但它的自轉(zhuǎn)角速度是混沌的，若軌道是圓形軌道，Θ、ω都是周期的，軌道變?yōu)闄E圓，混沌現(xiàn)象出現(xiàn)。去掉角度的限制后，圖中還有一些谷，是因為當角度大的一方的角速度從正變?yōu)樨摰臅r候，角度差會減小所致。
五、致謝
1、計算物理課本
2、百度百科
3、郭瀟同學的v-python圖
