從小學開始，我們就接觸了各種各樣的圖形，比如矩形（長方形）、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓等。這里，我們著重講的是圓。3.1415926……，相信圓周率的前7位小數(shù)我們背的滾瓜爛熟了，要知道，它是無限不循環(huán)小數(shù)，也就是無理數(shù)。圓的面積公式和圓的周長公式（注：這里的a指的是圓的半徑）我們也很熟知了。大學之后，我學了高等數(shù)學。很好奇這兩個公式是怎么推導過來的。順著好奇心，我用學過的高等數(shù)學知識一步步推導，終于知道了所以然了。

圓的方程我們都知道，高中數(shù)學就接觸它了，就是，這里的a就是圓的半徑，它恒大于零。由于圓是同時關(guān)于x軸對稱和關(guān)于y軸對稱的圖形。我們只需求出在x軸上方，y軸右邊，也就是x和y都大于或等于0的那部分四分之一圓的面積即可。然后，將四分之一圓的面積乘以4，就是圓的周長和面積了。

那么，怎么求四分之一圓的周長和面積呢？首先，由于x和y大于等于0，我們可以把公式變形，得到一個函數(shù)。其中，x的區(qū)間為[0,a]。

先看看圓的周長的推導。我們先求該函數(shù)的導數(shù)。該函數(shù)導數(shù)的推理如下：

然后，根據(jù)任意函數(shù)的弧長公式，就可以求出四分之一圓的周長了，推導如下：

然后，我們把得到的四分之一圓的周長乘以四倍，就得出了圓的周長公式了。就是

再看看圓的面積推導，我們知道定積分的幾何定義是函數(shù)圖形在[a,b]區(qū)間與y=a，y=b以及x軸圍成的面積的代數(shù)和，此面積可能為負值。而我們的四分之一圓位于x軸上方，y軸右邊，就不考慮負數(shù)的情況了。我們的四分之一圓位于區(qū)間[0,a]上，由此可知面積一定是正數(shù)，且全部面積都在x軸以上，因此，我們就不用考慮x軸以下的部分，只考慮x軸以上部分就可以了。下面就是求該四分之一圓的面積的過程。推導如下：

然后，我們把得到的四分之一圓的面積乘以四倍，就得出了圓的面積公式了。就是

親愛的伙伴們，你們學會了嗎？如果還有其他用高等數(shù)學微積分來推導圓的面積和周長的方法，也可以告訴我哦。謝謝！