本章主要解決這個(gè)問(wèn)題：
如何對(duì)物體進(jìn)行位置變換？
想要操作物體的位置，我們就要使用數(shù)學(xué)工具對(duì)其位置進(jìn)行計(jì)算。先來(lái)看看回顧一下需要用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)：
向量
在最初的定義中，向量就是用來(lái)表示方向的。向量包括大小和方向兩個(gè)要素。你可以把向量想象成在藏寶圖上的箭頭指示：向左走10米，然后，往北走3米，再然后，往右走5米。這個(gè)左右南北就是方向，10米就是向量的大小。理論上，向量可以是任意維數(shù)的，不過(guò)我們不關(guān)心這個(gè)，我們關(guān)心的是我們最最常用的2到4維向量。2維向量表示平面上的方向，3維向量表示3D世界里的方向。
用一張直觀的圖來(lái)表示一下。
因?yàn)橄蛄恐挥写笮『头较騼蓚€(gè)要素，起點(diǎn)并不算在內(nèi)，所以我們可以認(rèn)為向量w和向量v是相同的。本文中向量用粗斜體字來(lái)表示，比如之前的向量w和向量v。為了顯示的明顯一點(diǎn)，我們用垂直行列式的方式來(lái)表示一個(gè)向量，例如：
因?yàn)橄蛄亢形恢玫男畔?，不知從什么時(shí)候開(kāi)始，大家都用向量來(lái)表示位置了。這種向量被稱作位置向量，不過(guò)不用擔(dān)心，我們很熟悉這種表示方式，就是把它看做是在三維空間中的一個(gè)坐標(biāo)而已。
向量運(yùn)算
標(biāo)量
和一個(gè)標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算是最簡(jiǎn)單的一種運(yùn)算了，加減乘除都可以（除數(shù)不能是0哦）。計(jì)算方式就是用向量的每個(gè)分量和標(biāo)量進(jìn)行一次運(yùn)算，得出的一個(gè)新向量就是計(jì)算的結(jié)果。
向量取反
向量取反操作直接把向量的方向變反了，對(duì)向量的大小并沒(méi)有什么影響。運(yùn)算方式非常簡(jiǎn)單，直接看圖：
向量加減
向量相加操作就是把兩個(gè)向量的相應(yīng)分量相加，得到一個(gè)新的向量。
向量相減操作就是把兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相減，得到一個(gè)新的向量。
長(zhǎng)度
長(zhǎng)度計(jì)算通過(guò)最普通的勾股定理就能算出來(lái)
向量乘法
普通的乘法（對(duì)應(yīng)分量相乘）并沒(méi)有什么實(shí)際意義，所以也沒(méi)有必要去研究。不過(guò)，向量乘法兩種特殊的乘法運(yùn)算，點(diǎn)乘（w · v）和叉乘（w x v）。我們分別研究一下這兩種乘法有啥作用：
點(diǎn)乘
兩個(gè)向量的點(diǎn)乘結(jié)果是：兩個(gè)向量長(zhǎng)度的乘積再乘上夾角的cos值。像這樣：
特別地，如果兩個(gè)向量為單位向量（單位向量是指長(zhǎng)度為1的向量），那么這個(gè)公式就退化成:
看到?jīng)]，就只是兩向量夾角的cos值，這個(gè)功能在進(jìn)行光照計(jì)算的時(shí)候非常有用，我們計(jì)算光照的時(shí)候優(yōu)勢(shì)不需要知道它的大小，只需要知道其法向量和光照方向的夾角就好了。
從公式上來(lái)看，兩個(gè)向量的點(diǎn)乘每個(gè)分量相乘的結(jié)果在求和。
叉乘
叉乘只在3D空間中有意義，因?yàn)椴娉说慕Y(jié)果向量方向是與兩個(gè)相乘的向量都垂直的。在2D空間里，你無(wú)法找到一個(gè)能與兩條相交的直線都垂直的直線，但在3D空間中易如反掌！
如果你是在左手坐標(biāo)系中，那么伸出左手，四指從v彎曲到k，大拇指的方向就是叉乘結(jié)果向量的方向。等等，好像不太對(duì)啊，圖上的結(jié)果向量是朝外的！哈哈，這說(shuō)明圖上的坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，這時(shí)候就要用右手做彎曲動(dòng)作確定方向了。
不過(guò)，不管是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系，向量乘積的結(jié)果都是一樣的！向量叉乘公式：
驗(yàn)證一下我們的公式：A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) ， A x B = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1)。公式正確！
矩陣
關(guān)于向量我們已經(jīng)了解的差不多了，除了最后的向量叉乘有點(diǎn)難理解之外，其余的幾乎都是小菜一碟。是時(shí)候來(lái)點(diǎn)挑戰(zhàn)性了！歡迎各位勇士來(lái)到矩陣的世界！先說(shuō)好，矩陣就不會(huì)像向量那樣“溫馨”了。
所謂矩陣，基本上就是一個(gè)矩形數(shù)組，這個(gè)數(shù)組中可能有數(shù)字、符號(hào)或者表達(dá)式。矩陣中的每一項(xiàng)被稱為矩陣的一個(gè)元素。舉一個(gè)2x3的矩陣?yán)觼?lái)看：
矩陣可以通過(guò)索引獲取其某個(gè)位置的元素，例如 :索引(i,j)表示第i行第j列的元素。這也就是為什么上面的矩陣被稱為2 x 3的矩陣，因?yàn)樗?行3列。引用矩陣元素可能會(huì)和表示坐標(biāo)上的點(diǎn)相混淆（筆者就經(jīng)常弄混），一個(gè)(2,1)的位置表示x=2,y=1，而一個(gè)(2,1)的矩陣索引表示row = 2, column = 1，剛好和位置坐標(biāo)相反。
光有矩陣并沒(méi)啥意思，我們最看中地是它的運(yùn)算方式。它也和向量一樣有很多有趣的運(yùn)算方法。
加法和減法
矩陣可以和一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量相加減，也可以和一個(gè)矩陣加減，運(yùn)算的方式不太一樣，我們分別來(lái)看！
1、和標(biāo)量
矩陣可以和一個(gè)標(biāo)量相加或相減。方式是用矩陣的每一個(gè)分量去加或者減這個(gè)標(biāo)量：
2、和矩陣
當(dāng)一個(gè)矩陣和另一個(gè)矩陣相加或者相減的時(shí)候，情況也很簡(jiǎn)單，只要將兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的分量相加或者相減就行了。
你可能會(huì)有疑問(wèn)，如果兩個(gè)矩陣的維數(shù)（所謂維數(shù)，就是矩陣的行數(shù)和列數(shù)）不同，那該怎么加減呢？沒(méi)錯(cuò)，不同維數(shù)的矩陣的加減操作沒(méi)有意義，所以在數(shù)學(xué)上，我們就禁止不同維數(shù)的矩陣進(jìn)行加減操作！
乘法
和加減操作一樣，矩陣乘法也有和標(biāo)量、和矩陣之分，運(yùn)算方式大不相同，我們仔細(xì)來(lái)看！
和標(biāo)量
和標(biāo)量的乘法非常簡(jiǎn)單，只需要把標(biāo)量和矩陣的每個(gè)元素相乘，得到一個(gè)新的矩陣就行了。
和矩陣
和矩陣相乘就不是那么令人愉快了。在矩陣相乘之前，有兩條規(guī)則我們要來(lái)看看，這是兩個(gè)最基本的原則：
- 相乘的兩個(gè)矩陣，第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須要等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)！
- 矩陣相乘不滿足交換律，也就是說(shuō)A · B != B · A ！
滿足這兩個(gè)條件后，我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)矩陣是如何相乘的。
我們可以看到，矩陣的乘法是第一個(gè)矩陣的行，乘以第二個(gè)矩陣的列，對(duì)應(yīng)元素相乘然后求和（這就是為什么有第一條原則的原因了！）。畫個(gè)圈圈可以看得更清楚
提示：自己在紙上算一遍更好理解哦！
這里我們就給出了行列數(shù)相同的矩陣乘法示例，而根據(jù)規(guī)則，矩陣行列數(shù)可以不同，但也能進(jìn)行運(yùn)算。我們只稍微說(shuō)說(shuō)，兩個(gè)可以相乘的矩陣（注意哦，前提是可以相乘?。┑倪\(yùn)算結(jié)果也是一個(gè)矩陣，這個(gè)結(jié)果矩陣的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣，列數(shù)等于第二個(gè)矩陣。（想象一下用一個(gè)矩陣乘以一個(gè)向量，得到的結(jié)果也必定是一個(gè)向量。）
矩陣和向量相乘
嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，矩陣和向量相乘并不能單獨(dú)作為一節(jié)來(lái)說(shuō)，因?yàn)榫拖袂懊嬲f(shuō)的那樣，把向量當(dāng)成一個(gè)列數(shù)為1的矩陣，就可以根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則算出來(lái)了。但是，矩陣與向量的運(yùn)算太重要了，以至于它完全值得我們單獨(dú)列出來(lái)對(duì)他大肆捯飭一番。
單位矩陣
所謂單位矩陣就是除了從左上角到右下角對(duì)角線上的元素都是1，其余元素都是0的矩陣。一個(gè)單位矩陣和一個(gè)向量相乘，結(jié)果還是那個(gè)向量，就像任何數(shù)乘以1都不會(huì)對(duì)其有啥改變。
你可能會(huì)想知道，既然單位矩陣不會(huì)改變向量的值，那還有個(gè)卵用啊？別急，雖然用處不大，但還是有點(diǎn)用滴，不然誰(shuí)會(huì)發(fā)明這個(gè)東西啊。單位矩陣通常都是其他矩陣的“起點(diǎn)”，很多矩陣都是從它開(kāi)始算出來(lái)的。另外，如果我們對(duì)線性代數(shù)研究地更深一點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它對(duì)于提供理論證明，解決線性相等問(wèn)題有很大的幫助。
當(dāng)然這些都是題外話，光啃干貨不舒服，扯皮用的。
比例變化
我們可以構(gòu)造一個(gè)矩陣來(lái)對(duì)向量進(jìn)行縮放，除了對(duì)各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)一縮放，我們還能通過(guò)給不同的坐標(biāo)設(shè)置不同縮放因子這種方法對(duì)各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行不統(tǒng)一的縮放。是不是聽(tīng)上去很神奇？我們來(lái)看看就知道了
如果S1，S2，S3不相同，那就是不統(tǒng)一縮放（改變方向），如果相同，那就是統(tǒng)一縮放（不改變方向）。注意，第四個(gè)縮放因子必須是1，因?yàn)樵?D空間中，對(duì)w分量進(jìn)行縮放的操作不知道會(huì)出啥問(wèn)題！
平移
根據(jù)我們的已有知識(shí)，要想平移一個(gè)向量，只要在這個(gè)4x4的矩陣的最后一列放上我們需要平移的量就行了，當(dāng)然最后一個(gè)必須還是1.像這樣：
很簡(jiǎn)單吧！
旋轉(zhuǎn)
旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容有點(diǎn)復(fù)雜。首先我們要了解的是，如何定義一個(gè)旋轉(zhuǎn)？有人可能就不明白了，旋轉(zhuǎn)還要定義嗎？直接往左或者往右轉(zhuǎn)個(gè)90度不就完了嗎？這個(gè)還真的得說(shuō)兩句，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)世界中，角度有兩種表示方法：角度或者弧度。我們熟悉的都是用角度來(lái)表示，一圈有360度。而在數(shù)學(xué)世界里，弧度也是非常常用的，一圈是2PI。為了便于理解，我們用角度來(lái)說(shuō)明。
角度和弧度可以相互轉(zhuǎn)換，具體的公式是：
角度= 弧度 * (180.0f / PI)
弧度= 角度 * (PI / 180.0f)
PI的精度最好高一點(diǎn)，以免出現(xiàn)誤差，通常把它設(shè)置為:3.14159265359。
在3D世界中，當(dāng)我們需要將一個(gè)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們就需要確定三樣?xùn)|西：
- 繞著什么旋轉(zhuǎn)
- 往哪個(gè)方向旋轉(zhuǎn)
- 旋轉(zhuǎn)多少度
理論上，我們可以繞任意軸旋轉(zhuǎn)（實(shí)際上也是一樣_），不過(guò)在計(jì)算的時(shí)候，我們通常把繞任意軸旋轉(zhuǎn)的操作分解成繞三條主軸旋轉(zhuǎn)的操作。通過(guò)一些三角變換函數(shù)，計(jì)算出繞某一個(gè)主軸的變換結(jié)果，然后將這些操作結(jié)合起來(lái)，組成繞任意軸旋轉(zhuǎn)的操作。下面直接給出繞3個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的變換公式：
首先是繞X軸旋轉(zhuǎn)的公式：
然后是繞Y軸旋轉(zhuǎn)的公式：
最后是繞Z軸旋轉(zhuǎn)的公式：
這些公式不需要記，你可以非?？斓卦诰W(wǎng)上查到，或者把這篇文章收藏一下，直接就能看到。在這個(gè)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，筆者的主張是不需要記那么多的知識(shí)點(diǎn)，但是你必須要記住在哪能查到這些知識(shí)！明白了嗎？知道在哪比單純的記住更加重要！
言歸正傳，當(dāng)我們把這些變換組合起來(lái)的時(shí)候，很快就會(huì)遇到一個(gè)問(wèn)題，那就是萬(wàn)向鎖（Gimbal lock）。
簡(jiǎn)單講講萬(wàn)向鎖：
先不要被鎖這個(gè)字給嚇唬住了，出現(xiàn)萬(wàn)象鎖現(xiàn)象并不是說(shuō)你不能再旋轉(zhuǎn)了，而是這種情況下，某些旋轉(zhuǎn)不是按照我們想要的方式來(lái)。筆者看了許多文字描述的萬(wàn)向鎖，但是都沒(méi)搞明白，所以不打算用文字解釋，直接推薦一個(gè)視頻。仔細(xì)看萬(wàn)向鎖的部分，就能明白了。
先來(lái)說(shuō)一個(gè)解決方法，繞任意一個(gè)單位軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，例如(0.662, 0.2, 0.722），不過(guò)記住一定要是單位向量。轉(zhuǎn)換公式像這樣（Rx, Ry, Rz是坐標(biāo)值）：
跟其他的轉(zhuǎn)換矩陣相比，是不是頓時(shí)有種鶴立雞群的感覺(jué)！What the f**k?幸好我們有網(wǎng)絡(luò)這個(gè)東西，不用死記硬背實(shí)在是太幸福了。順便一提，解決萬(wàn)向鎖還可以用一種四元數(shù)的東西，以后我們會(huì)涉及到。
實(shí)戰(zhàn)演練
講了這么多基礎(chǔ)知識(shí)，終于可以動(dòng)手操作了，是不是等不及了？先別急，我們是要學(xué)OpenGL的，花太多的時(shí)間在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)庫(kù)上顯然和我們的初衷背道而馳，所以，我們可以采用“拿來(lái)主義”，直接找一個(gè)數(shù)學(xué)庫(kù)用。幸好，OpenGL的“周邊”就有一個(gè)好的數(shù)學(xué)庫(kù)，叫做：GLM。
到GLM的網(wǎng)站去下載0.9.8版本的數(shù)學(xué)庫(kù)（不要下最新的0.9.9版本，和我們的代碼不兼容）。沒(méi)法FQ的可以到我的網(wǎng)盤里去下載。下載解壓后，把頭文件根目錄（glm目錄，不是解壓縮后的glm文件夾，而是在里面的glm文件夾）復(fù)制到你的includes目錄下面就可以了。
設(shè)置完后，我們需要在代碼中包含需要的頭文件。
#include <glm/glm.hpp>
#include <glm/gtc/matrix_transform.hpp>
#include <glm/gtc/type_ptr.hpp>
我們先來(lái)試試這個(gè)庫(kù)有沒(méi)有效。
//Test
glm::vec4 vec(1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f)); //從這里就能看出單位矩陣的作用了。初始化的trans是一個(gè)單位矩陣，讓它平移到(1.0f, 1.0f, 0.0f)的位置產(chǎn)生了一個(gè)平移矩陣。
vec = trans * vec;
std::cout << "(" << vec.x << "," << vec.y << "," << vec.z << ")" << std::endl;
嗯，輸出正確。
讓我們袖子干吧！把前面章節(jié)中顯示的圖片縮小成原來(lái)的一半，然后再繞著z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。
先來(lái)生成矩陣：
glm::mat4 trans;
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5f, 0.5f, 0.5f));
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
矩陣生成完后，我們?nèi)绾巫屗陧旤c(diǎn)著色器中生效呢？想來(lái)你很快就能得到答案，沒(méi)錯(cuò)，就是用uniform關(guān)鍵字。先聲明一個(gè)變量uniform mat4 transform，然后在主函數(shù)中調(diào)用gl_Position = transform * vec4(aPos, 1.0f)。
接下來(lái)，我們要在程序里設(shè)置這個(gè)值。但原有的shader類中沒(méi)有設(shè)置mat4類型的接口，所以我們要添加一個(gè)：
void Shader::setMat4(const std::string& name, float value[]) const {
glUniformMatrix4fv(glGetUniformLocation(ID, name.c_str()), 1, GL_FALSE, value);
}
介紹一下glUniformMatrix4fv函數(shù)的參數(shù)：
- 參數(shù)一：變量位置
- 參數(shù)二：我們想傳的矩陣個(gè)數(shù)，這里我們只設(shè)置一個(gè)，所以是1
- 參數(shù)三：我們是否想轉(zhuǎn)換矩陣，把行和列交換。OpenGL中的矩陣是列主序的矩陣（和DX中的不同），不過(guò)GLM中生成的矩陣也是列主序的，所以我們?cè)O(shè)置成GL_FALSE，表示不用轉(zhuǎn)換。
- 參數(shù)四：矩陣數(shù)組。這里我們要把矩陣轉(zhuǎn)換成數(shù)組的格式傳遞。
接口寫好后，我們就能在主循環(huán)中使用了：
shader.setMat4("transform", glm::value_ptr(trans));
完成后，編譯運(yùn)行：
跟我們想象的一樣！
慢著，這樣就滿足了嗎？NO！我們還要讓它動(dòng)起來(lái)。方法也很簡(jiǎn)單，我們傳入一個(gè)glfwGetTime()作為旋轉(zhuǎn)的弧度就可以了。像這樣：
trans = glm::rotate(trans, /*glm::radians(90.0f)*/(float)glfwGetTime(), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
如果之前你是在循環(huán)外面生成的轉(zhuǎn)換矩陣，那么你就要把它放到循環(huán)里面去了，這樣隨著每次運(yùn)行，旋轉(zhuǎn)的角度也不一樣。嗯，編譯運(yùn)行。
效果不錯(cuò)！如果你的程序不這樣的顯示，可以點(diǎn)擊這里下載代碼進(jìn)行比對(duì)。
總結(jié)
好了，艱苦的數(shù)學(xué)旅程告一段落，我們來(lái)回憶一下都學(xué)了些什么。首先是向量，以及向量能做的一些運(yùn)算；然后是矩陣，以及矩陣的一些運(yùn)算；接著，我們看到了實(shí)際有用的一些運(yùn)算矩陣；最后，我們使用了一個(gè)現(xiàn)成的庫(kù)GLM來(lái)實(shí)現(xiàn)變換坐標(biāo)的效果。呼~休息！
參考資料：
www.learningopengl.com（很好的學(xué)習(xí)網(wǎng)站，建議多去看看）
