數(shù)列極限概念

數(shù)列

定義：若函數(shù)f的定義域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=N_%2B" alt="N_+" mathimg="1">,則稱 $f:N_+\to R$ 或 $f(n),n\in N_+$ 為數(shù)列

數(shù)列f(n)可寫作 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ ,簡寫作 $\{a_n\}$ ,其中 $a_n$ 為通項(xiàng)

收斂數(shù)列及其極限

數(shù)列極限的 $\varepsilon-N$ 定義：

設(shè) $\{a_n\}$ 為數(shù)列, $a\in R,\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in N_+$ ,使當(dāng) $n\gt N$ 時有 $|a_n-a|\lt \varepsilon$

則稱數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂于a,稱a為數(shù)列 $\{a_n\}$ 的極限

記作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ 或 $a_n\to a(n\to \infty)$

若數(shù)列 $\{a_n\}$ 沒有極限,則稱 $\{a_n\}$ 不收斂,或稱 $\{a_n\}$ 為發(fā)散數(shù)列

例：證明 $\lim\limits_{n\to \infty}{1\over n^\alpha}=0$ ,其中 $\alpha\gt 0$

證：

$|{1\over n^\alpha}-0|={1\over n^\alpha}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N=[{1\over \varepsilon^{1\over \alpha}}]+1,$

$則當(dāng)n\gt N時有|{1\over n^\alpha}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{1\over n^\alpha}=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：證明 $\lim\limits_{n\to \infty}q^n=0$ ,其中 $|q|\lt 1$

證：

$若q=0,結(jié)論顯然成立$

$若q\neq 0,則0\lt |q|\lt 1$

$記h={1\over |q|}-1\gt 0$

$|q^n-0|=|q|^n={1\over (1+h)^n}$

$由(1+h)^n\ge 1+nh得$

$|q|^n\le {1\over 1+nh}\lt {1\over nh}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={1\over \varepsilon h}$

$當(dāng)n\gt N時有|q^n-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}q^n=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

法二：

$若q=0,結(jié)論顯然成立$

$若q\neq 0,則0\lt |q|\lt 1$

$要證|q^n-0|=|q|^n\lt \varepsilon$

$只需證nlg|q|\lt lg\varepsilon$

$即證n\gt {lg\varepsilon\over lg|q|}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,不妨設(shè)\varepsilon\lt 1,取N={lg\varepsilon\over lg|q|}$

$當(dāng)n\gt N時有|q^n-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}q^n=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：證明 $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$ ,其中 $a\gt 0$

證：

$a=1時,結(jié)論顯然成立$

$a\gt 1時,|a^{1\over n}-1|=a^{1\over n}-1$

$記k=a^{1\over n}-1,則$

$a=(1+k)^n\ge 1+nk=1+n(a^{1\over n}-1)$

$\therefore a^{1\over n}-1\le {a-1\over n}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={a-1\over \varepsilon}$

$當(dāng)n\gt N時有|a^{1\over n}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$

$0\lt a\lt 1時,|a^{1\over n}-1|=1-a^{1\over n}$

$記l=1-a^{1\over n},則$

$a=(1-l)^n\ge 1-nl=1-n(1-a^{1\over n})$

$\therefore 1-a^{1\over n}={1-a\over n}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={1-a\over \varepsilon}$

$當(dāng)n\gt N時有|a^{1\over n}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$

$綜上所述,\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：證明 $\lim\limits_{n\to \infty}{a^n\over n!}=0$

證：

$a=0時,結(jié)論顯然成立$

$a\neq 0時,設(shè)k=[|a|]+1$

$|{a^n\over n!}-0|={|a|^n\over n!}={|a|\cdot|a|\cdots|a|\cdots|a|\over 1\cdot 2\cdots k\cdots n}\le K{|a|\over n}$

$其中K={|a|\cdot|a|\cdots|a|\over 1\cdot 2\cdots k}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取N=max\{k,{K|a|\over \varepsilon}\}$

$當(dāng)n\gt N時有|{a^n\over n!}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{a^n\over n!}=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

數(shù)列極限的另一種刻畫

定義： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,若數(shù)列 $\{a_n\}$ 在 $U(a;\varepsilon)$ 外至多有有限項(xiàng),則稱數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂于a

若 $\exists \varepsilon_0\gt 0$ ,使數(shù)列 $\{a_n\}$ 有無窮多項(xiàng)落在 $U(a;\varepsilon_0)$ 外,則 $\{a_n\}$ 不以a為極限

例：證明 $\{n^2\}$ 和 $\{(-1)^n\}$ 都是發(fā)散數(shù)列

證：

$\forall a\in R,取\varepsilon_0=1$

$數(shù)列\(zhòng){n^2\}中所有滿足n\gt a+1的項(xiàng)$

$有無窮多個都落在U(a;\varepsilon_0)外$

$\therefore \{n^2\}不以任何數(shù)a為極限$

$即\{n^2\}為發(fā)散數(shù)列$
$a=1時,取\varepsilon_0=1$

$則在U(a;\varepsilon_0)外有\(zhòng){(-1)^n\}中的所有奇數(shù)項(xiàng)$

$a\neq 1時,取\varepsilon_0={1\over }|a-1|$

$則在U(a;\varepsilon_0)外有\(zhòng){(-1)^n\}的所有偶數(shù)項(xiàng)$

$\therefore \{(-1)^n\}不以任何數(shù)a為極限$

$即\{(-1)^n\}為發(fā)散數(shù)列\(zhòng)qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：設(shè) $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$ , $\lim\limits_{n\to \infty}y_n=b$ ,作數(shù)列 $\{z_n\}$ 為 $x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_n,y_n,\cdots$ ,求證：數(shù)列 $\{z_n\}$ 收斂的充分必要條件是a=b

證：

$充分性$

$\because a=b$

$即\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\lim\limits_{n\to \infty}y_n$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\{x_n\}和\{y_n\}落在U(a;\varepsilon)外的項(xiàng)至多有限個$

$\therefore \{z_n\}落在U(a;\varepsilon)外的項(xiàng)至多有限個$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}z_n=a$

$必要性$

$設(shè)\lim\limits_{n\to \infty}z_n=A,則\forall \varepsilon\gt 0$

$\{z_n\}落在U(A;\varepsilon)外的項(xiàng)至多有限個$
$\therefore \{x_n\}和\{y_n\}落在U(a;\varepsilon)外的項(xiàng)至多有限個$

$\therefore a=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=A=\lim\limits_{n\to \infty}y_n=b\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：設(shè) $\{a_n\}$ 為給定的數(shù)列, $\{b_n\}$ 為對 $\{a_n\}$ 增加、減少或改變有限項(xiàng)后得到的數(shù)列,證明：數(shù)列 $\{b_n\}$ 與 $\{a_n\}$ 同時收斂或發(fā)散,且在收斂時兩者極限相等

證：

$設(shè)\{a_n\}收斂,且\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,則$

$\forall \varepsilon\gt 0,\{a_n\}中落在U(a;\varepsilon)外的項(xiàng)至多有限個$

$\{b_n\}是對\{a_n\}增加、減少或改變有限項(xiàng)后得到的$

$\therefore 從某一項(xiàng)起,$

$\{b_n\}中的每一項(xiàng)都是\{a_n\}中確定的一項(xiàng)$

$\therefore \{b_n\}中落在U(a;\varepsilon)之外的項(xiàng)至多有限個$

$即\lim\limits_{n\to \infty}b_n=a$

$設(shè)\{a_n\}發(fā)散,若\{b_n\}收斂,則$

$\because \{a_n\}可看成是對\{b_n\}增加、減少或改變有限項(xiàng)后得到的$

$\therefore \{a_n\}收斂,矛盾$

$\therefore \{a_n\}發(fā)散時\{b_n\}也發(fā)散\qquad \mathcal{Q.E.D}$

無窮小數(shù)列與無窮大數(shù)列

定義：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ ,則稱 $\{a_n\}$ 為無窮小數(shù)列

定理：數(shù)列 $\{a_n\}$ 收斂于a的充要條件是 $\{a_n-a\}$ 為無窮小數(shù)列

定義：若數(shù)列 $\{a_n\}$ 滿足 $\forall M\gt 0$ , $\exists N\in N_+$ ,使得當(dāng) $n\gt N$ 時有 $|a_n|\gt M$ ,則稱數(shù)列 $\{a_n\}$ 發(fā)散于無窮大,記作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty$ ,或 $a_n\to \infty$

注：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty$ ,則稱 $\{a_n\}$ 是一個無窮大數(shù)列或無窮大量

定義：若數(shù)列 $\{a_n\}$ 滿足 $\forall M\gt 0$ , $\exists N\in N_+$ ,使得當(dāng) $n\gt N$ 時有 $a_n\gt M(a_n\lt -M)$ ,則稱數(shù)列 $\{a_n\}$ 發(fā)散于正(負(fù))無窮大,記作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=+\infty$ ,或 $a_n\to +\infty$ ( $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\to -\infty$ 或 $a_n\to -\infty$ )