background
對(duì)于復(fù)雜函數(shù))
的MC積分，可以使用重要性采樣。如果采樣函數(shù)的形狀和被積函數(shù)類似，可以加快收斂速度。
采樣函數(shù)pa和pb聯(lián)合之后，可以和被積函數(shù)更相似
如上圖采樣函數(shù)
和
，單獨(dú)使用的時(shí)候，可能造成極大的variance，例如%2Fp_a(x_a))
會(huì)是一個(gè)很大的數(shù)值。
如上圖采樣函數(shù)和聯(lián)合之后，可以和被積函數(shù)更相似，因此聯(lián)合兩種采樣方法，可以減少方差加快收斂速度, 即![\frac{f(x_a)}{[p_a(x_a)+p_b(x_a)]*0.5}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7Bf(x_a)%7D%7B%5Bp_a(x_a)%2Bp_b(x_a)%5D*0.5%7D)
不會(huì)爆表。
方法可以為：從或者中隨機(jī)選一個(gè)作為采樣方法，再?gòu)闹胁蓸尤舾蓚€(gè)樣本。這基本相當(dāng)于從兩個(gè)分布的加權(quán)平均中進(jìn)行采樣。
method
原始MC estimator為：
%7D%7Bp_i(x_%7Bi%7D)%7D)
假定有
中采樣方法%2C%20p_2(x)%2C%20...%2C%20p_n(x))
（路徑生成方法），且從第
個(gè)方法中，生成
個(gè)樣本
。
那么MIS estimator為：
%5Cfrac%7Bf(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D%7Bp_i(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D)
其中%3D1)
, 表明，同一個(gè)樣本
被不同的中采樣技術(shù)估計(jì)后，權(quán)重之和為1
%20%3D%20%5Cfrac%7Bn_ip_i(x)%7D%7B%5Csum_k%20n_k%20p_k(x)%7D)
, )
表示樣本被種不同采樣方法估量之后，使用當(dāng)前采樣方法)
占所有情況的的一個(gè)比例。
對(duì)于每一種采樣技術(shù)得到的樣本，加權(quán)求和（%5Cfrac%7Bf(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D%7Bp_i(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D)
）：
- 這一項(xiàng)，實(shí)際上相當(dāng)于只有一個(gè)采樣技術(shù)時(shí)候的MC積分，只不過，對(duì)于每一項(xiàng)乘以了權(quán)重。
- 再進(jìn)一步理解：相當(dāng)于，（只有一個(gè)采樣技術(shù)時(shí)候），對(duì)于每一個(gè)樣本，這個(gè)樣本被不同的采樣方法綜合考量（weighted）以后的結(jié)果
最后，因?yàn)樵跈?quán)重中已經(jīng)考慮了中采樣技術(shù)的平均了，對(duì)于每一種采樣技術(shù)，直接求和(
)，
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