分?jǐn)?shù)階積分與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義

一、Riemann-Liouville (R-L) 分?jǐn)?shù)階積分

1.1 左側(cè)\Large \alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階積分

設(shè)f(t)為局部可積函數(shù)，對\forall \alpha >0, 左側(cè)\alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階積分定義為：
({_{a}I_{t}^{\alpha }}f)(t)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )} \int_{a}^{t} (t-x )^{\alpha-1}f(x)\,{\rmu0z1t8os}x,\hspace{.5cm}-\infty<a<t<+\infty.
其中\Gamma(x)為 Gamma 函數(shù)，定義為\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-u}\,{\rm d}x.

1.2 右側(cè)\Large \alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階積分

設(shè)f(t)為局部可積函數(shù)，對\forall \alpha >0, 右側(cè)\alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階積分定義為：
({_{t}I_^{\alpha }}f)(t)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )} \int_{t}^ (x-t)^{\alpha-1}f(x)\,{\rmu0z1t8os}x,\hspace{.5cm}-\infty<t<b<+\infty.注意左右側(cè)積分的定義除了在積分區(qū)間上的差別，積分函數(shù)也有所差別。

二、Riemann-Liouville (R-L) 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

2.1 左側(cè)\Large \alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(t)為局部可積函數(shù)，對\forall \alpha >0,\,n=\lceil a\rceil ,左側(cè)\alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：({_{a}D_{t}^{\alpha }}f)(t)=\frac{1}{\Gamma (n-\alpha )} \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^{n}} \left\{ \int_{a}^{t} (t-x )^{n-\alpha-1}f(x)\,{\rmu0z1t8os}x \right\} ,\hspace{.5cm}-\infty<a<t<+\infty.
這里的n為\alpha的向上取整，即n-1<\alpha <n\,,\,n\in {\mathbb N}^{+}.上述式子利用分?jǐn)?shù)階積分的定義可簡單記為：
({_{a}D_{t}^{\alpha }}f)(t)= \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^{n}}\left\{ ({_{a}I_{t}^{n-\alpha }}f)(t) \right\}, \hspace{.5cm}-\infty<a<t<+\infty.

2.2 右側(cè)\Large \alpha階 R-L 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(t)為局部可積函數(shù)，對\forall \alpha >0,\,n=\lceil a\rceil ,左側(cè)\alpha階R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：({_{t}D_^{\alpha }}f)(t)=(-1)^n\frac{1}{\Gamma (n-\alpha )} \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^{n}} \left\{ \int_{t}^ (x-t )^{n-\alpha-1}f(x)\,{\rmu0z1t8os}x \right\} ,\hspace{.5cm}-\infty<t<b<+\infty.
同樣的，上述式子利用分?jǐn)?shù)階積分的定義可簡單記為：
({_{t}D_^{\alpha }}f)(t)=(-1)^n \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}t^{n}}\left\{ ({_{t}I_^{n-\alpha }}f)(t) \right\} ,\hspace{.5cm}-\infty<t<b<+\infty.
與分?jǐn)?shù)階積分一樣，左右側(cè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也有細(xì)微的差別。

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