圖1 封面

引言

本文將持續(xù)研究隱藏在電音合成軟件背后的數(shù)學(xué)問題：線性代數(shù)、信號與系統(tǒng)、和聲學(xué)基礎(chǔ)。以上的數(shù)學(xué)知識與游戲開發(fā)、計(jì)算機(jī)音頻、計(jì)算機(jī)圖像聯(lián)系緊密。正因?yàn)閾碛袕?qiáng)大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，計(jì)算機(jī)模擬的音像世界才可以像今天這樣逼真。數(shù)學(xué)在音頻編輯器的開發(fā)中占有重要的位置。對此數(shù)學(xué)單獨(dú)進(jìn)行研究，由此顯得非常重要。本文將對聲音和合成和顯示進(jìn)行探究，進(jìn)而使用這一些專業(yè)知識編寫音頻編輯器或圖形程序。

一.線性代數(shù)

1.點(diǎn)乘

我們知道點(diǎn)乘在數(shù)學(xué)中，又稱數(shù)量積。只需要記住，向量點(diǎn)乘就是對應(yīng)分量乘積的和，其結(jié)果是一個標(biāo)量。在平面中，兩個向量的點(diǎn)乘可表示為：

設(shè)
則

一般來說，點(diǎn)乘的結(jié)果描述了兩個向量的相似程度，點(diǎn)乘結(jié)果越大，兩向量越接近。點(diǎn)乘等于向量的大小與向量夾角cos值的積。其公式為：

實(shí)際上，我們在計(jì)算中，更重要的是求出兩個向量的之間的夾角。對上述的公式(1)稍作變換，可得：

值得注意的是，此公式十分重要。在本文中被用于Unity仿真中的向量夾角計(jì)算。

2.線性空間變換

方陣能描述任意的線性變換。其中，線性變換，從感性上講，指的是對圖片或函數(shù)圖像等其所在空間的，拉伸、旋轉(zhuǎn)、仿射等變換。
想象任意一個2維空間的向量，比如說：。那么，向量a其實(shí)可以表示為：。由于向量可視為空間中的一個點(diǎn)，向量表示從原點(diǎn)向走3個單位后，再向走個單位。更進(jìn)一步地，對于任意一個向量：,可以表示為：從原點(diǎn)出發(fā)，向軸走個單位后，再向軸方向走個單位，即到達(dá)向量的所在地。那么，任意一個二維空間中的向量，可以表示為基向量的線性組合。

一個任意的向量,被描述為了兩個基向量：的線性組合。但實(shí)際上，基向量不一定要相互垂直（講人話：x軸和y軸不一定要相互垂直）。只要兩個向量不在一條直線上，就可以構(gòu)成一組基向量來描述二維空間中的任意一個點(diǎn)。

以下是幾個不同基向量所張成的空間。為了方便觀察，我在其中放置一樣的函數(shù)?？梢杂^察到，隨著選取的基向量的不同，空間可以發(fā)生放大、縮小、切變等線性變換。存在于里面的函數(shù)圖像，雖然位置沒有發(fā)生改變，但是由于函數(shù)所處空間的改變，函數(shù)“被迫”發(fā)生了改變。

圖2 空間變換

設(shè)基向量,張成了一個二維平面空間。使用基向量X,Y構(gòu)成一個的矩陣:

用一個向量乘以該矩陣,則稱為對向量的一次“變換”。

3. 旋轉(zhuǎn)

問題的提出：
將一個函數(shù)圖像逆時針旋轉(zhuǎn)

具體求解步驟：
隨機(jī)生成一個函數(shù)序列
構(gòu)造方陣
函數(shù)序列每一點(diǎn)的坐標(biāo)，乘以方陣
顯示該函數(shù)圖像

函數(shù)序列生成：
使用matlab自帶的函數(shù)生成隨機(jī)離散序列，使用函數(shù)對進(jìn)行數(shù)據(jù)平滑。
其代碼如下：

clc;
clear;
%%
%%隨機(jī)生成一個起點(diǎn)和終點(diǎn)都在0附近，均值為0的函數(shù)波形
n = 300;
x = 0.5*rand(1,n);
x = x - mean(x);
x(1:10) = 0;
x(n-10:n) = 0;
for i = 1:10
    x = smooth(x,10);
end

x(1) = 0;
x(length(x)) = 0;
X = zeros(n,2);
X(:,1) = linspace(0,1,n);
X(:,2) = x;
plot(X(:,1),X(:,2),'.')

構(gòu)造方陣：
在笛卡爾坐標(biāo)系中，基向量,.使得向量向逆時針旋轉(zhuǎn)，可得：


則，

結(jié)果演示：
根據(jù)上文求解步驟編寫代碼，實(shí)現(xiàn)函數(shù)旋轉(zhuǎn)算法。代碼運(yùn)行結(jié)果如下所示。

圖3 函數(shù)旋轉(zhuǎn)

穩(wěn)定性測試：
使用Matlab，隨機(jī)生成一個函數(shù)序列，使用開發(fā)的旋轉(zhuǎn)算法持續(xù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)圖像，并將結(jié)果打印出來，觀察算法的穩(wěn)定性。由結(jié)果可見，代碼對函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定可靠。

核心代碼：

for angle = 1:10:360
%目標(biāo)向量
pos1 = [cosd(angle);sind(angle)];
pos2 = [0;0];
pos3 = pos1 - pos2;
pos0 = [1;0];
%%
if(pos3(2)>=0)
    alpha = acos(sum(pos3.*pos0)/(norm(pos3)*norm(pos0)));
else
    alpha = -1*acos(sum(pos3.*pos0)/(norm(pos3)*norm(pos0)));
end

%(alpha/pi)*180
temp = [cos(alpha) sin(alpha);...
        cos(alpha + pi/2) sin(alpha+ pi/2);];
A = norm(pos3)/1;
result = X*(A*temp) + pos2';
plot(result(:,1),result(:,2),'.');
hold on
end

其結(jié)果如下：

圖4 算法穩(wěn)定性測試

圖5 圖像放大、縮小、旋轉(zhuǎn)代碼實(shí)現(xiàn)結(jié)果

Unity仿真

在matlab完成算法探究以后，在游戲開發(fā)引擎Unity上實(shí)現(xiàn)該算法，完成算法的落地。

具體求解步驟：
使用Unity搭建參加場景，創(chuàng)建地面(Plane)、圓柱(Cylinder)等物體
編寫腳本，綁定組件。腳本邏輯是：當(dāng)用戶按下鼠標(biāo)時，攝像頭坐標(biāo)系中發(fā)出的射線與地面相互碰撞。根據(jù)此來確定基向量以及方陣。
根據(jù)方陣計(jì)算組件線段渲染器(LineRender)應(yīng)該所處的位置
顯示該函數(shù)圖像

穩(wěn)定性測試：
多次地、隨機(jī)地點(diǎn)擊游戲畫面，測試算法的穩(wěn)定性和性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法穩(wěn)定可靠地運(yùn)行，完成了對算法的落地。.

圖6 Unity仿真測試1

圖7 Unity仿真測試2

代碼：

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class LineTest : MonoBehaviour
{
    public float length = 0;
    public float height = 0;//線段的高度
    public float w = 0;    //角頻率
    public float A = 0;     //震動幅度
    private Vector3 Vec;  //用于存儲每一點(diǎn)的坐標(biāo)
    private LineRenderer lineRenderer;

    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    {
        Vec = new Vector3();
        //設(shè)置長度
        GetComponent<LineRenderer>().positionCount = (int)length;
    }
    public void Run(float x,float y){
        float l = (float)Math.Sqrt(x*x + y*y);//模長，假設(shè)0為原點(diǎn)
        float alpha = 0;                      //用于求向量夾角
        for (int i=0;i<length;i++){
            
            float posX = (float)(i/length);
            float posY = A*(float)Math.Sin(w*posX);

            alpha = 0;
            if(y>=0){
                alpha = (float)Math.Acos(x/l);
            }
            else{
                alpha = -1*(float)Math.Acos(x/l);
            }
            Vec.x = 0.1f*(float)(posX*l*Math.Cos(alpha) + posY*l*Math.Cos(alpha + Math.PI/2));
            Vec.y = height;
            Vec.z = 0.1f*(float)(posX*l*Math.Sin(alpha) + posY*l*Math.Sin(alpha + Math.PI/2));

            GetComponent<LineRenderer>().SetPosition(i,Vec);
        }
    }

    // Update is called once per frame
    void Update()
    {

    }
}