人教版高中數(shù)學(xué)課本題：三角函數(shù)~習題5.5

習題5.5

\mathbb{Q5.5.1} 已知 \sin\alpha=\dfrac{2}{3},\cos\beta=-\dfrac{3}{4}, \alpha \in (\dfrac{\pi}{2}, \pi), \beta \in (\pi, \dfrac{3\pi}{2})， 求 \cos(\alpha-\beta) 的值.

\mathbb{Q5.5.2} 已知 \alpha,\beta 都是銳角，\cos\alpha=\dfrac{1}{7},\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{11}{14}, 求 \cos\beta 的值.

\mathbb{Q5.5.3} 已知 \sin(30°+\alpha)=\dfrac{3}{5}, \; 60°\lt \alpha \lt 150°， 求 \cos\alpha 的值.

\mathbb{Q5.5.4} 在 \triangle ABC 中，\sin A = \dfrac{5}{13}, \cos B = \dfrac{3}{5}，求 \cos C 的值.

\mathbb{Q5.5.5} 已知 \tan(\alpha+\beta)=3, \tan(\alpha-\beta)=5， 求 \tan2\alpha, \tan2\beta 的值.

\mathbb{Q5.5.6} 化簡：

（1）\sin\cos+\sin\cos

（2）\sin\sin+\sin\sin

（3）\sin(\alpha+\beta)\cos(\gamma-\beta) - \cos(\beta+\alpha)\sin(\beta-\gamma)

（4）\sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma) - \cos(\alpha-\beta)\cos(\gamma-\beta)

（5）\dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{4} +\tan\dfrac{5\pi}{12}}{1-\tan\dfrac{5\pi}{12}}

（6）\dfrac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)}

\mathbb{Q5.5.7} 已知 \sin\alpha=0.80，求 \sin2\alpha, \cos2\alpha 的值（精確到0.01）.

\mathbb{Q5.5.8} 求證：

（1）(\sin2\alpha-\cos2\alpha)^2=1-\sin4\alpha

（2）\tan(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}) + \tan(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}) = 2\tan x

（3）\dfrac{1+\sin2\varphi}{\cos\varphi+\sin\varphi} =\cos\varphi+\sin\varphi

（4）\dfrac{1-2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} = \dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}

（5）\dfrac{1-\cos2\theta}{1+\cos2\theta}=\tan^2\theta

（6）\dfrac{1+\sin2\theta-\cos2\theta}{1+\sin2\theta+\cos2\theta}=\tan\theta

\mathbb{Q5.5.9} 已知 \sin(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}, \;\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}，已經(jīng)，求證：

（1）\sin\alpha\cos\beta=5\cos\alpha\sin\beta

（2）\tan\alpha=5\tan\beta

\mathbb{Q5.5.10} 已知 \dfrac{1-\tan\theta}{2+\tan\theta}=1，求證：\tan2\theta=-4\tan(\theta+\dfrac{\pi}{4})

\mathbb{Q5.5.11} 已知一段圓弧所對的圓心角的正弦值等于 \dfrac{3}{5}，求這段圓弧所對的圓周角的正弦、余弦和正切。

\mathbb{Q5.5.12} 化簡：

（1）3\sqrt{15}\sin x + 3\sqrt{5}\cos x

（2）\dfrac{3}{2}\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x

（3）\sqrt{3}\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}

（4）\dfrac{\sqrt{2}}{4}\sin(\dfrac{\pi}{4}-x)+\dfrac{\sqrt{6}}{4}\cos(\dfrac{\pi}{4}-x)

\mathbb{Q5.5.13} 在 \triangle ABC 中，已知 \tan A, \tan B 是 x 的方程 x^2 + p(x+1) +1 =0 的兩個實根，求\angle C.

\mathbb{Q5.5.14} 在 \triangle ABC 中，B=\dfrac{\pi}{4}， BC 邊上的高等于 \dfrac{1}{3} BC，求 \cos A.

\mathbb{Q5.5.15} 求證：

（1）3+\cos4\alpha-4\cos2\alpha=8\cos^4\alpha

（2）\dfrac{\tan\alpha\tan2\alpha}{\tan2\alpha-\tan\alpha}+ \sqrt{3}(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=2\sin(2\alpha-\dfrac{\pi}{3})

\mathbb{Q5.5.16} 是否存在銳角 \alpha,\beta，使 \alpha+2\beta=\dfrac{2\pi}{3}，\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\beta=2-\sqrt{3} 同時成立？若存在，求出 \alpha,\beta 的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

\mathbb{Q5.5.17} （1）求函數(shù) f(x)=\sin(\dfrac{\pi}{3}+4x)+\sin(4x-\dfrac{\pi}{6}) 的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求函數(shù) f(x)=a\sin x + b \cos x (a^2+b^2 \ne 0) 的最大值和最小值.

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習題5.5：第1組
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