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八卦與二進制的關系
周易中的二進制數(shù)學

很可惜的是，二進制作為一種進位制的計數(shù)方法，誰發(fā)明并沒有多大差別，因為它和我們的十進制一樣并不是什么很高級的思想。上面講了，古人就在用進制，它只是人們規(guī)定的一種進位方法。對于任何一種進制---X進制，就表示某一位置上的數(shù)運算時是逢X進一位。十進制是逢十進一，十六進制是逢十六進一，二進制就是逢二進一，每一種數(shù)制都使用位置表示法。處于不同位置的數(shù)符所代表的值不同，與它所在位的權值有關。
十進制1234.55可表示為：
1234.55=1×10^3+2×102+3×10^1+4×100+5×10^(-1)+5×10(-2)。
可以看出，各種進位計數(shù)制中權的值恰好是基礎的某次冪。因此，對任何一種進位計數(shù)制表示的數(shù)都可以寫成按權展開的多項式，也就說明各種進制之間可以相互轉(zhuǎn)化的。比如十進制中11這個數(shù)計算公式就是這樣的：1×10^1 + 1×10^0 = 11。二進制1011這個數(shù)計算公式就是這樣的：1011 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11，不論是二進制1011還是十進制11，都代表同一個數(shù)字11。

二進制作為計數(shù)方法確實夠簡單，目前我們不可能找到比二進制數(shù)字系統(tǒng)更簡單的數(shù)字系統(tǒng)了（如果把數(shù)字1去掉，就只剩下0一個數(shù)字，只有一個數(shù)字0的數(shù)字系統(tǒng)是什么都做不成的）。雖然二進制作為計數(shù)方法并不驚艷，但二進制數(shù)字系統(tǒng)架起了算術與電之間的橋梁，我們把二進制跟布爾代數(shù)，跟數(shù)字電路聯(lián)系起來后，則成就了計算機二進制理論，而計算機是影響人類的重大發(fā)明。

計算機中的二進制

自18世紀萊布尼茲發(fā)現(xiàn)二進制（基數(shù)為2，只用0和1兩個數(shù)表示，“逢二進一”，“借一當二”）后，人類開動自己的聯(lián)想，產(chǎn)生了很多有趣的關聯(lián)。比如上面我們了解的開關、電線、燈泡、繼電器、二極管等物體都可以表示二進制數(shù)0和1：
電線可以表示二進制數(shù)字。有電流代表數(shù)字1；沒有，則代表數(shù)字0。
開關可以表示二進制數(shù)字。開關閉合，代表數(shù)字1；開關斷開，代表數(shù)字0。
燈泡可以表示二進制數(shù)字。燈泡亮，代表數(shù)字1；沒亮，代表數(shù)字0。
電報繼電器表示二進制數(shù)字。繼電器閉合，代表數(shù)字1；繼電器斷開，代表數(shù)字0。
受到啟發(fā)后，聰明的人類將二進制就和二極管產(chǎn)生了聯(lián)系，再后來又腦洞大開，決定用8個可以開合的晶體管（一個開關，用“開”來表示1，“關”來表示0）來組合成不同的狀態(tài)，以表達更多的信息。后來，他們看到8個開關運行狀態(tài)正常后，給這8個狀態(tài)起了個名字叫--“字節(jié)”。再后來，他們覺得8個狀態(tài)的字節(jié)還可以組合出更多狀態(tài)來，表達更多的信息，于是他們又做了一些可以處理這些“字節(jié)”的機器，在看到他們也運轉(zhuǎn)正常后，覺得這一定是上帝的旨意。于是，他們給這個機器又起了一個非常牛逼的名字--“計算機”（當時一臺計算機足有一間半教室那么大，六頭大象的重量）。所以，我們明白了計算機中的二進制實際上就是一個非常微小的開關，用“開”來表示1，“關”來表示0，0和1各占一個“位”，用8個不同狀態(tài)的0和1表示“字節(jié)”，通過“字節(jié)”組合不同的狀態(tài)來存儲和運算不同數(shù)據(jù)。

擴展閱讀：
第一代計算機-電子管計算機
第二代計算機-晶體管計算機

計算機中為什么要用二進制而不是其他進制？

計算機使用二進制是由它的實現(xiàn)機理決定的。上面說過，電腦的基層部件是由集成電路組成的，這些集成電路可以看成是一個個門電路組成，（當然事實上沒有這么簡單的）。當計算機工作的時候，電路通電工作，于是每個輸出端就有了電壓。電壓的高低通過模數(shù)轉(zhuǎn)換即轉(zhuǎn)換成了二進制：高電平是由1表示，低電平由0表示。也就是說將模擬電路轉(zhuǎn)換成為數(shù)字電路。這里的高電平與低電平可以人為確定，一般地，2.5伏以下即為低電平，3.2伏以上為高電平。電子計算機能以極高速度進行信息處理和加工，包括數(shù)據(jù)處理和加工，而且有極大的信息存儲能力。數(shù)據(jù)在計算機中以器件的物理狀態(tài)表示，采用二進制數(shù)字系統(tǒng)，計算機處理所有的字符或符號也要用二進制編碼來表示。用二進制的優(yōu)點主要在于：

• 技術實現(xiàn)簡單，計算機是由邏輯電路組成，邏輯電路通常只有兩個狀態(tài)，開關的接通與斷開，這兩種狀態(tài)正好可以用“1”和“0”表示。
• 簡化運算規(guī)則：兩個二進制數(shù)和、積運算組合各有三種，運算規(guī)則簡單，有利于簡化計算機內(nèi)部結(jié)構(gòu)，提高運算速度。
• 適合邏輯運算：邏輯代數(shù)是邏輯運算的理論依據(jù)，二進制只有兩個數(shù)碼，正好與邏輯代數(shù)中的“真”和“假”相吻合。
• 易于進行轉(zhuǎn)換：二進制與十進制數(shù)易于互相轉(zhuǎn)換。
• 抗干擾能力強：因為每位數(shù)據(jù)只有高低兩個狀態(tài)，當受到一定程度的干擾時，仍能可靠地分辨出它是高還是低，可靠性高。

除了以上優(yōu)點外，采用二進制還有個客觀原因在于，人們知道，具有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的元件（如晶體管的導通和截止，繼電器的接通和斷開，電脈沖電平的高低等）在那個時代容易找到，而要找到來對應十進制的10個數(shù)的具有10種穩(wěn)定狀態(tài)的元件在那個時代就非常困難了。這也是計算機為何采用二進制而非人類更熟悉的十進制的原因吧。

為什么又會出現(xiàn)八進制、十六進制？

人類一般思維方式是以十進制來表示的，而計算機則是二進制，但是對于編程人員來說，都是需要直接與計算器打交道的，如果給我們一大串的二進制數(shù)。比如說一個4個字節(jié)的int型的數(shù)據(jù)：0000 1010 1111 0101 1000 1111 11111 1111，我想任何程序員看到這樣一大串的0、1都會很蛋疼。所以必須要有一種更加簡潔靈活的方式來呈現(xiàn)這對數(shù)據(jù)了。你也許會說，直接用十進制吧，如果是那樣，就不能準確表達計算機思維方式了（二進制），所以，出現(xiàn)了八進制、十六進制，其實十六進制應用的更加廣泛，就比如說上面的int型的數(shù)據(jù)，直接轉(zhuǎn)換為八進制的話，32./3 余2 也就是說，我們還要在前面加0，但是轉(zhuǎn)換為十六進制就不同了。32/4=8，直接寫成十六進制的8個數(shù)值拼接的字符串，簡單明了。所以說用十六進制表達二進制字符串無疑是最佳的方式，這就是八進制和十六進制出現(xiàn)的原因。

擴展閱讀：各進制之間如何轉(zhuǎn)換

進制間的相互轉(zhuǎn)換問題

• 八進制、十六進制、二進制轉(zhuǎn)為十進制
  都是按權展開的多項式相加得到十進制的結(jié)果。
  比如：
  二進制1010.1到十進制：1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^(-1)=10.5
  八進制13.1到十進制：1×8^1 + 3×8^0 + 1×8^(-1)=11.125
  十六進制13.1到十進制：1×16^1 + 3×16^0 + 1×16^(-1)=19.0625
• 十進制轉(zhuǎn)為八進制、十六進制、二進制
  都是按照整數(shù)部分除以基數(shù)（r）取余，小數(shù)部分乘以基數(shù)（r）取整。
  十進制10.25 到二進制：整數(shù)部分除2，一步步取余。小數(shù)部分乘2，一步步取整。
  
  進制轉(zhuǎn)化
  
  八進制到十進制，十六進制到十進制都是和上面的一樣，只不過不在是除2乘2，而是8或者16了，這是根據(jù)自己的基數(shù)來決定的。
• 二進制轉(zhuǎn)為八進制、十六進制
  二進制轉(zhuǎn)換成八進制的方法是：從小數(shù)點起，把二進制數(shù)每三位分成一組，小數(shù)點前面的不夠三位的前面加0，小數(shù)點后面的不夠三位的后面加0，然后寫出每一組的對應的十進制數(shù)，順序排列起來就得到所要求的八進制數(shù)了。
  依照同樣的思想，將一個八進制數(shù)的每一位，按照十進制轉(zhuǎn)換二進制的方法，變成用三位二進制表示的序列，然后按照順序排列，就轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)了。
  二進制數(shù)10101111.10111轉(zhuǎn)換為八進制的數(shù)：
  （010 101 111.101 110）= 2 5 7.5 6=257.56
  八進制數(shù)257.56轉(zhuǎn)換為二進制的數(shù)：
  257.56 =（010 101 111.101 110）=10101111.101
  二進制轉(zhuǎn)換到十六進制差不多：從小數(shù)點起，把二進制數(shù)每四位分成一組，小數(shù)點前面的不夠四位的前面加0，小數(shù)點后面的不夠四位的后面加0，然后寫出每一組的對應的十進制數(shù)，然后將大于9的數(shù)寫成如下的形式：
  10---->A，11--->B，12---->C，13---->D，14--->E，15--->F
  在順序排列起來就得到所要求的十六進制了。
  同樣，將一個十六進制數(shù)的每一位，按照十進制轉(zhuǎn)換二進制的方法，變成用四位二進制表示的序列，然后按照順序排列，就轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)了。
  二進制數(shù)10101111.10111轉(zhuǎn)換為十六進制的數(shù)：
  （1010 1111.1011 1000）=A F.B 8=AF.B8
  十六進制AF.B8轉(zhuǎn)換為二進制：
  AF.B8=（1010 1111.1011 1000）=10101111.10111

計算機中二進制何以表達萬物？它是如何讀懂二進制碼的？

計算機是怎樣用二進制0和1來表達信息的，甚至號稱可以表達宇宙萬物所有信息呢？
我們知道編程語言里的基本數(shù)據(jù)類型，都是以符合人類世界和自然世界的邏輯而出現(xiàn)的，便于讓人更容易理解，可以說，這些數(shù)據(jù)類型是架通人類思維與計算機的橋梁。
但是我們同時也知道，依照馮諾依曼體系，計算機中并沒有這些數(shù)據(jù)類型，而全部都是0和1表示的二進制數(shù)據(jù)，并且計算器只能理解這些0和1的數(shù)據(jù)。既然，所有的數(shù)據(jù)在計算機里面都是以0和1存儲和運算的，那么，符合我們?nèi)祟愃季S的數(shù)據(jù)則都要通過一定的轉(zhuǎn)換才能被正確的存儲到計算機中。轉(zhuǎn)化的原理是什么呢？
舉個栗子：假如你看上一個學妹，你想表白，所以你送了她一件禮物，如果學妹接受了禮物表示接受你，決絕了禮物表示拒絕你。也就是我們可以用0和1來表達學妹的態(tài)度（實際情況可能更復雜）。
再舉個栗子：有兩個人A和B去看了一個電影，怎么用0和1表示呢？我們用0代表討厭，1代表喜歡。會出現(xiàn)：
00 = AB都不喜歡這影片
01 = A討厭它，B喜歡它
10 = B喜歡它，A討厭它
11 = AB都很喜歡這影片
如果加上我的觀點呢，它就變成2^3次方=8種可能了。如：000、001、010、011、100、101、110、111，所以，計算機的二進制雖然無法和人一樣理解那么多，但有了這0和1，計算機就可以通過“開”和“關”的狀態(tài)來做二元邏輯判斷（真假、對錯、是否等非黑即白的問題）了，不要小看這二元邏輯判斷，不客氣的說它確實可以表達宇宙萬物（道德經(jīng)：道生一，一生二，二生三，三生萬物）！我們不要忘記，發(fā)明二進制的萊布尼茲不但是個數(shù)學家，還是個牛逼的哲學家啊，他一直試圖用數(shù)學符號和操作符來表達亞里士多德的邏輯理論，而且他也是最接近這個目標的人，直到后來喬治·布爾在概念上的突破成果--布爾代數(shù)的出現(xiàn)。

大部分計算機內(nèi)部的連接是一樣的，都是通過電氣信號來進行通信的，也就是電壓高低的變化，這些電流會經(jīng)過 MOSFET 晶體管，晶體管中包含 N 型半導體和 P 型半導體，通過電壓就能控制線路開閉，然后這些 MOSFET 構(gòu)成了 CMOS，接著再由 CMOS 實現(xiàn)「與」「或」「非」等邏輯電路門，最后由邏輯電路門上就能實現(xiàn)加法、位移等計算。

配套邏輯運算：與、或、非。

• 與：只要有0結(jié)果就是0。比如1與0等于0。
• 或：只要有1結(jié)果就是1。比如1與0等于1。
• 非：翻轉(zhuǎn)。0變1、1變0。
  還有其他邏輯運算如同或、異或等。
  后來，有了算法，而算法中又有三種基本結(jié)構(gòu)方式：順序、選擇、循環(huán)。
  而這三種結(jié)構(gòu)可以涵蓋所有情況，沒有例外。舉個栗子：

a---餓了想要吃點兒東西。
b---循壞進食的動作10次。
c---如果吃飽了，到d；否則，到b。
d---結(jié)束進食的動作。

如果這還不足以說服你，只能建議你去研究圖靈機了。圖靈機處理信息遠比這個復雜的多。還以上面的舉例：

a---餓了想要吃點兒東西。
b---循壞進食的動作10次。(該減肥了?是則掛起,否則繼續(xù))
c---如果吃飽了，到d；否則，到b。
d---結(jié)束進食的動作。

如果b反復執(zhí)行到一半的時候，你發(fā)現(xiàn)自己是不是該考慮減肥了。如果是，這時候圖靈機就會立刻優(yōu)先對這個新的減肥輸入進行處理而會將循環(huán)進食的動作掛起，如果不是，則喚醒剛才被掛起的動作，繼續(xù)進行。也就是說我們每個人都是一個非常非常復雜的圖靈機，上面只是一種情況，而人的情況指令要比這個例子復雜的多，這也是為什么人工智能總是達不到真實人的程度，當然，如果這個理論正確，假設我們也是高級文明創(chuàng)造的復雜版的圖靈機的話，誰又能保證人工智能不會進化呢？所以，這個宇宙中的一切，都可以抽象成圖靈機，二進制可以表達一切！

圖靈機簡圖

電影-圖靈

雖然，這個世界上的所有事件，都可以用順序、選擇、循環(huán)三種邏輯來表示。雖然二進制可以表達宇宙萬物。但是，可以表達一切現(xiàn)象并不代表可以解決一切問題。
例如：顯示自己本身的所有代碼。
比如有這樣一個程序，就一行：

顯示(100)

這個程序就做一件事情：顯示數(shù)字100。
問題來了，你如何把“顯示（100）”這兩個漢字一組括號和一個數(shù)字100顯示出來呢？
似乎應該這樣：

顯示（顯示（100））

但是其實當你這樣做的時候，你已經(jīng)改變了程序本身，現(xiàn)在的程序為兩個“顯示”兩組括號和一個100，而你運行程序后只能顯示一個“顯示”一組括號和一個100，很顯然你并沒有把這個程序全部顯示出來。

類似這樣的問題，就是計算機無法解決的問題（好像類似先有蛋還是先有雞的問題）。

再比如“背包問題-貪心算法”（一種組合優(yōu)化的NP完全問題）：
一個小偷去博物館偷東西。博物館內(nèi)有3件物品。

第一件物品的重量為3， 價值為4；
第二件物品的重量為2， 價值為3；
第三件物品的重量為4， 價值為5；
小偷的背包最多可以承受的重量為7。

請問：應該如何拿物品，可以讓背包里的物品總價值最大（不能重復裝入）？
這個問題似乎非常簡單，稍微比較后就會得出結(jié)論：拿第一件和第三件物品。

但是，如果我們擴大一下問題：如果有6件物品、背包可以承受的重量也提高一些，應該怎么拿？這個時候如果讓計算機去解決這個問題，我們就會發(fā)現(xiàn)當問題的規(guī)模擴大1倍后，計算機所需要的時間卻擴大了遠不止1倍 --- 即解決問題所需時間不再是線性變化了。

就拿這個問題來說，如果物品數(shù)量超過十幾個，那么計算機要想解決這個問題所需要的時間就已經(jīng)超過了100年。

這類問題是計算機或者說用那三種邏輯順序可以解決的、但是所需要的時間是人類無法容忍的。

擴展閱讀：
邏輯門電路
邏輯與、或、非
認識圖靈機
數(shù)學危機與圖靈機
圖靈機視頻
如何自己造一臺8位計算機

二進制和編程有什么關系？

計算機讀取二進制編碼，不是單純的二進制數(shù)，而是嚴格按照一定的格式來編碼的。讀指令這些操作都是靠計算機里的CPU來進行的，按照馮諾依曼體系，CPU里有一個控制寄存器（一堆代表0和1的開關）。這樣我們可以用一組二進制數(shù)來描述這個控制寄存器的狀態(tài)。開關的多少就是一條指令的長度，我們經(jīng)常見的32位機，就是一條指令長為32，就是這個控制有32個小開關。同樣64位機有64個。在寄存器內(nèi)，各個位有的是單獨工作的，有的是好幾個一起工作的，我們把他們分成一個個小組。有的組是表示狀態(tài)的，只能讀不能寫，或者說寫了也沒用。而有的組是可以操作的。而且這些組是可以在一定條件下改變的，用來實現(xiàn)某個功能。對于那些可以操作的寄存器是有特定功能的，比如說有個開關你撥一下，它就伸出個腿什么的，你撥回去它就縮回來。這樣我們按照上面的格式寫給CPU一串二進制編碼，他就能按照我們意愿完成某個動作。這個編碼格式其實就跟你喊：電腦，電腦，給我個雞腿！或者：媽，我餓了！是一樣一樣的。這些二進制0和1的編碼動輒幾十位，電腦是好認了，可是讓程序員怎么讀？既然上面說的格式固定，那就用一些字符來代替寄存器組吧！這樣匯編語言就誕生了，當然匯編是按照機器的模式來的，還是不好理解，那C語言等等一些語言就出來了。而我們也有代碼寫了！程序員干的工作實際上就是，為了讓計算機解決某個問題而使用某種程序設計語言編寫程序（編譯后的代碼集合）來和計算機溝通，并最終得到相應結(jié)果的過程。程序員寫好的程序會按照CPU能認識的格式來生成二進制文件，每條指令的長度固定。這樣CPU每次讀一點，按照讀出的指令來完成相應的動作，然后再讀下一條。這樣就可以完成程序交給它的任務了。當然不同的CPU的控制寄存器個數(shù)不相同，但是大致原理都差不多。也就是說，程序員干的事實際就是在和計算機約會。（程序員沒有女朋友難道是這個原因？）

CPU結(jié)構(gòu)

內(nèi)存是怎么工作的？

• DRAM基本組成
  內(nèi)存是由DRAM（動態(tài)隨機存儲器）芯片組成的。DRAM的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以說是PC芯片中最簡單的，是由許多重復的“單元”——cell組成，每一個cell由一個電容和一個晶體管（一般是N溝道MOSFET）構(gòu)成，電容可儲存1bit數(shù)據(jù)量，充放電后電荷的多少（電勢高低）分別對應二進制數(shù)據(jù)0和1。由于電容會有漏電現(xiàn)象，因此過一段時間之后電荷會丟失，導致電勢不足而丟失數(shù)據(jù)，因此必須經(jīng)常進行充電保持電勢，這個充電的動作叫做刷新，因此動態(tài)存儲器具有刷新特性，這個刷新的操作一直要持續(xù)到數(shù)據(jù)改變或者斷電。而MOSFET則是控制電容充放電的開關。DRAM由于結(jié)構(gòu)簡單，可以做到面積很小，存儲容量很大。
  

  內(nèi)存cell結(jié)構(gòu)

• 內(nèi)存地址
  內(nèi)存中的cell按矩陣形排列，每一行和每一列都會有一個對應的行地址線路（正規(guī)叫法叫做word line）和列地址線路（正規(guī)叫法是bit line），每個具體的cell就掛接在這樣的行地址線路和列地址線路上，對應一個唯一的行號和列號，把行號和列號組合在一起，就是內(nèi)存的地址。
  

  SPD dump
  
  上圖是Thaiphoon Burner的一個SPD dump，每個地址是一個字節(jié)。不過我們可以把這些數(shù)據(jù)假設成只有一個bit，當成是一個簡單的內(nèi)存地址表，左邊豎著的是行地址，上方橫著的是列地址。例如我們要找第七行、倒數(shù)第二列（地址為7E）的數(shù)據(jù)，它就只有一個對應的值：FD。當然了，在內(nèi)存的cell中，它只能是0或者1。計算機會把所有的信息都給數(shù)字化，所以它知道自已把一個數(shù)據(jù)，一條命令記到了內(nèi)存中的哪個（些）位置。
  
  充放電存儲
  
  
  
  內(nèi)存地址是內(nèi)存當中存儲數(shù)據(jù)的一個標識，并不是數(shù)據(jù)本身，通過內(nèi)存地址可以找到內(nèi)存當中存儲的數(shù)據(jù)。

• 尋址
  數(shù)據(jù)要寫入內(nèi)存的一個cell，或者從內(nèi)存中的一個cell讀取數(shù)據(jù)，首先要完成對這個cell的尋址。尋址的過程，首先是將需要操作的cell的對應行地址信號和列地址信號輸入行/列地址緩沖器，然后先通過行解碼器（Row Decoder）選擇特定的行地址線路，以激活特定的行地址。每一條行地址線路會與多條列地址線路和cell相連接，為了偵測列地址線路上微弱的激活信號，還需要一個額外的感應放大器（Sense Amplifier）放大這個信號。當行激活之后，列地址緩沖器中的列地址信號通過列解碼器（Column Decoder）確定列地址，并被對應的感應放大器通過連接IO線路，這樣cell就被激活，并可供讀寫操作，尋址完成。從行地址激活，到找到列地址這段時間，就是tRCD。
  

  尋址

舉例說明

內(nèi)存地址

擴展閱讀：
內(nèi)存工作原理

計算機如何存儲數(shù)據(jù)的？

數(shù)據(jù)類型一般分類基本數(shù)據(jù)類型和復合數(shù)據(jù)類型，復合數(shù)據(jù)類型也是由基本數(shù)據(jù)類型構(gòu)成的。所以，這里先只討論基本數(shù)據(jù)類型（無符號整形，帶符號整形，實型，char型）的存儲情況。

• 存儲無符號整形：無符號整形在數(shù)據(jù)中的存儲無疑是最方便的，因為沒有符號位，只表示正數(shù)，所以在存儲計算方面都很簡單。無符號整形在就是以純粹的二進制串存儲在計算機中的。比如說看下面的例子：
  
  
  從輸出的十六進制數(shù)中可以看出，它就是以直接的二進制數(shù)表示的。
• 存儲帶符號整形：對于帶符號數(shù)，機器數(shù)的最高位是表示正、負號的符號位，其余位則表示數(shù)值。先不談其他的問題，只談二進制表達數(shù)據(jù)的問題，看下面的例子：
  假設機器字長為8的話：
  一個十進制的帶符號整形1，表達為二進制就是（0000 0001）
  一個十進制的帶符號整形-1，表達為二進制就是（1000 0001）
  那么，兩者相加 ，用十進制運算 1+（-1）=0
  在看二進制運算（0000 0010）+（1000 0001）=（1000 0010）這個數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制結(jié)果等于-2?？梢园l(fā)現(xiàn)出問題了，這就是今天所要講的原碼。
  原碼
  數(shù)值X的原碼記為[x]原，如果機器字長為n（即采用n個二進制位表示數(shù)據(jù)）。則最高位是符號位。0表示正號，1表示負號，其余的n-1位表示數(shù)值的絕對值。數(shù)值0的原碼表示有兩種形式：[+0]原=0000 0000，-[0]原=1000 0000。
  例子：若機器字長n=8，則
  [+1]原=0000 0001 [-1]原=1000 0001
  [+127]原=0111 1111 [-127]原=1111 1111
  [+45]原=0010 1101 [-45]原=1010 1101
  可見，原碼，在計算數(shù)值上出問題了，當然，你也可以實驗下，原碼在計算正數(shù)和正數(shù)的時候，它是一點問題都沒有的，但是出現(xiàn)負數(shù)的時候就出現(xiàn)問題了。所以還需要講一個問題：反碼
  反碼
  數(shù)值X的反碼記作[x]反，如果機器字長為n，則最高位是符號位，0表示正號，1表示負號，正數(shù)的反碼與原碼相同，負數(shù)的反碼則是其絕對值按位求反。數(shù)值0的反碼表示有兩種形式：[+0]反=0000 0000，-[0]反=1111 1111。
  例子：若機器字長n等于8，則
  [+1]反=0000 0001 [-1]反=1111 1110
  [+127]反=0111 1111 [-127]反=1000 0000
  [+45]反=0010 1101 [-45]反=1101 0010
  在看反碼計算的問題：
  1+（-1）=0 |（0000 0001）反+（1111 1110）反=（1111 1111）反=（1000 0000）原=【-0】可以看到，雖然是-0，但是問題還不是很大。
  1+（-2）=-1 |（0000 0001）反+（1111 1101）反=（1111 1110）反=（1000 0001）原=【-1】 可以看到，沒有問題。
  -1+（2）=1 |（1111 1110）反+（0000 0010）反=（0000 0000）反=（0000 0000）原=【0】可以看到，問題發(fā)生了，因為溢出，導致結(jié)果變?yōu)?了。
  所以，看以看到，用反碼表示，問題依然沒有解決，所以，還需要一個東西-補碼。
  補碼
  數(shù)值X的補碼記作[x]補，如果機器字長為n，則最高位是符號位，0表示正號，1表示負號，正數(shù)的補碼與原碼反碼都相同，負數(shù)的補碼則等于其反碼的末尾加1。數(shù)值0的補碼表示有唯一的編碼：[+0]補=0000 0000，-[0]補=0000 0000。
  例子：若機器字長n等于8，則
  [+1]補=0000 0001 [-1]補=1111 1111
  [+127]補=0111 1111 [-127]補=1000 0001
  [+45]補=0010 1101 [-45]補=1101 0011
  在看補碼計算的問題：
  1+（-1）=0 |（0000 0001）補+（1111 1111）補=（0000 0000）補=（0000 0000）原=【0】 可以看到，沒有問題。
  1+（-2）=-1 |（0000 0001）補+（1111 1110）補=（1111 1111）補=（1000 0001）原=【-1】可以看到，沒有問題。
  -1+（2）=1 |（1111 1111）補+（0000 0010）補=（0000 0001）補 =（0000 0001）原=【1】 可以看到，沒有問題。
  通過上面的計算，我們發(fā)現(xiàn)，用補碼的方式，就不存在在原碼和反碼中存在的計算問題了。其實，這也是計算機表達帶符號整數(shù)用補碼的原因。補碼一定是不會存在原碼和反碼的問題的。
  討論下原碼反碼補碼的原理，沒興趣的可以跳過 。

1. 為什么原碼不行？
   ( 1 )10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 =( 0 )10
   （00000001）原+ （10000001）原 = （10000010）原 = ( -2 ) 顯然不正確。
   通過上面原碼計算式可以看出，當正數(shù)加上負數(shù)時，結(jié)果本應是正值，得到的卻是負值（當然也有可能得到的是正數(shù)，因為被減數(shù)與減數(shù)相加數(shù)值超過0111 1111，即127，就會進位，從而進位使符號位加1變?yōu)?了，這時結(jié)果就是正的了）。而且數(shù)值部分還是被減數(shù)與減數(shù)的和。并且，當負數(shù)加上負數(shù)時（這里就拿兩個數(shù)值部分加起來不超過0111 1111的來說），我們可以明顯看出符號位相加變?yōu)?，進位1被溢出。結(jié)果就是正數(shù)了。因此原碼的錯誤顯而易見，是不能用在計算機中的。
2. 補碼的原理
   既然原碼并不能表示負數(shù)的運算問題，那么當然要另想他法了。這個方法就是補碼，不得不說，這是一個最簡潔的方法，當然，也可以用別的更復雜的方法，那就不是我們想要的了。我自己研究補碼的時候，也在網(wǎng)上找了些資料，都是到處copy，反正我是看的迷糊了，本人數(shù)學功底不怎么樣，看不懂那些大神寫的，只好，自己理解了下。要談補碼，先看看補數(shù)的問題。什么是補數(shù)，舉個簡單的例子，100=25+75。100用數(shù)學來說就是模M，那么就可以這樣概括。在M=100的情況下，25是75的補數(shù)。這就是補數(shù)。25是75的補數(shù)，這是在常規(guī)世界中，在計算機上就不是這樣了，因為，在計算機中，數(shù)據(jù)存在溢出的問題。假設機器字長是8的話，那么能表達的最大無符號數(shù)就是1111 1111，在加1的話，就變成1 0000 0000 ，此時因為溢出，所以1去掉，就變成0了，
   也就是說，在計算機中，補數(shù)的概念稍微不同于數(shù)學之中，25+75=100，考慮計算機中的溢出問題，那么25+75就等于0了。也就是說，25和75不是互為補數(shù)了。我覺得用鬧鐘來比喻這個問題再形象不過了，因為鬧鐘也存在著溢出的問題，當時間到達11：59 ，在加1分鐘的話就變成0：0了，這和計算機的溢出是同一個道理。那么，有一個時鐘，現(xiàn)在是0點，我想調(diào)到5點，有兩種方法，一個是正著撥5，到5點。第二種方法是倒著撥7，也可以到5點。正著撥5記作+5，倒著撥7，記作-7，而鬧鐘的M是12，也就是說，在考慮溢出的情況下，M=12，5是-7的補數(shù)。用個數(shù)學等式可以這樣表0+5=0+-7，即0+5=0-7，這就是計算機中的數(shù)值計算和數(shù)學中的計算不同的地方。
   明白了計算機中補數(shù)的道理，那么就明白補碼的問題了。還是用例子說明：
   在計算機中計算十進制 1+（-2）。
   1的原碼是：0000 0001
   -2的原碼是：1000 0010
   -2的補碼是：1111 1110 這個二進制換做無符號的整數(shù)大小就是254，而8位二進制數(shù)的M=2^{8=256。（很多文章中把M寫成2}7，這根本就是不對的，根本沒有解決符號位的問題）你發(fā)現(xiàn)什么了沒？當換成補碼后，-2和254就是補數(shù)的關系。也就是1+（-2）等價于了1+254了。這樣做，好處在什么地方，你自己都可以看得到：
   1）：利用補數(shù)和溢出的原理，減法變成了加法。
   2）：符號位不在是約束計算的問題，不會存在原碼中的問題了，因為變成補碼后，雖然最高位依然是1，但是這個1就不在是做為符號位了，而是作為一個普通的二進制位，參與運算了。
   所以，這就是補碼的原理所在，通過補數(shù)和溢出，解決了減法和負數(shù)問題。
3. 十進制數(shù)求補碼，補碼求十進制數(shù)
   十進制求補碼：
   如果是正數(shù)，直接求它的原碼，符號位為0
   如果是負數(shù)，比較好的方法是先求十六進制，在由十六進制求二進制，符號位為1，在除了符號位都取反，在加1，即可得到補碼。
   補碼就十進制 ：
   根據(jù)符號位判斷，如果符號位是0，表示是正數(shù)，就是原碼，直接轉(zhuǎn)換就十進制即可。
   如果符號為是1，表示是負數(shù)。那么，連符號位在內(nèi)都取反，在加1，將該二進制轉(zhuǎn)換為十進制，該十進制數(shù)即使該負數(shù)的絕對值，加個負號-，就得到該負數(shù)。

• 存儲帶小數(shù)點的數(shù)：
  這個看了很多，還是迷糊，書讀的少，只是知道是通過浮點解決的，我就放兩個鏈接吧，感興趣的自己去研究。
  計算機內(nèi)存中浮點數(shù)的表示
  小數(shù)在計算機中的存儲形式

• 存儲字符：主要通過字符編碼來解決，這也是我們要解決的問題。受限于篇幅，我把字符編碼剩下的部分放到第二篇文章來講了。

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