在渲染中，有很多的計算是在視角空間中完成的。這是因為光照通常是在這個空間中計算的，否則，像一些依賴視角的效果，比如高光，將會比較難以實現(xiàn)。

因此，我們需要一種方法將法線轉換到視角空間。我們可以通過下面的寫法把一個頂點轉換到視角空間：

vertexEyeSpace = gl_ModelViewMatrix * gl_Vertex;

那么，我們?yōu)槭裁床荒苤苯影堰@個應用到法線向量呢？首先，法線是一個3維向量，而ModelView矩陣是一個4x4矩陣；其次，因為法線是一個向量，所以我們只需要轉換它的方向。ModelView矩陣左上方的3x3子矩陣包含了方向的信息，那么我們?yōu)槭裁床荒苁褂眠@個子矩陣去轉換法線呢？

這可以通過下面的代碼很簡單的實現(xiàn)：

normalEyeSpace = vec3(gl_ModelViewMatrix * vec4(gl_Normal,0.0));

但上面的代碼只在部分情況下可以正常工作。

讓我們來看下一個潛在的問題：

在上面的圖中，我們看到一個帶了一個法線和切線向量的三角形。在下面的圖中，顯示了如果ModelView矩陣包含了非均勻縮放會發(fā)生什么樣的偏差。

注意：如果是均勻縮放，那么法線的方向將會保持，雖然長度會受到影響，但可以簡單的通過標準化修復。

在上面的圖中，ModelView矩陣應用到了所有的向量，包括法線，結果是顯而易見的錯誤的：轉換后的法線不再與表面垂直了。

我們知道，一個向量可以表示為兩個點之間的差異。比如切線向量，它可以通過計算三角形一條邊上的兩個頂點之間的差距來獲得。如果P₁和P₂是定義一條邊的兩個頂點，那么我們知道：

T = P₂ - P₁

如果把這個向量表示為包含4個元素且最后一個元素為0的元組，那么我們可以把這個等式兩邊都乘以ModelView矩陣

T * ModelView = (P₂ - P₁) * ModelView

結果是

T * ModelView = P₂ * ModelView - P₁ * ModelView
T' = P'₂ - P'₁

因為P'₁和P'₂為轉換后的三角形的頂點，所以T'仍然與三角形的邊相切。因此，ModelView保持了切線。但它卻沒有保持法線。

使用和T向量一樣的方法，我們可以找到兩個點Q₁和Q₂，讓以下等式成立

N = Q₂ - Q₁

主要的問題是，就如上面的圖所展示的那樣，由轉換后的的點定義的向量，Q₂ - Q₁，不一定仍然與邊垂直。法線向量不是如切線向量那樣，定義為兩個點之間的差距，它定義為垂直于一個表面的向量。

現(xiàn)在我們知道了，我們不能在所有情況下使用ModelView來轉換法線向量。那么我們應該使用什么樣的矩陣呢？

假設G為一個3X3的矩陣，讓我們看看如何計算它來正確的轉換法線向量。

我們知道，在矩陣轉換之前，因為切線和法線向量是垂直的，所以T.N = 0。我們也知道，轉換之后，它們也一定要垂直，所以N'.T'也一定要等于0。我們把ModelView的左上方的3x3矩陣稱為M矩陣，T可以安全的乘以M（T是一個向量，所以w元素是0）.

我們假設G是正確轉換法線向量N的矩陣，那么就有了下面的等式

N'.T' = (GN).(MT) = 0

把點乘轉換為叉乘，那么

(GN).(MT) = (GN)^T * (MT)

注意為了叉乘向量，第一個向量的轉置是必須的。我們知道兩個矩陣相乘的轉置，等于轉置后矩陣的相乘，但順序要相反，因此：

(GN)^T * (MT) = N^TG^TMT

我們前面已經(jīng)說過了N和T的點乘是0，所以如果

G^TM = I

那么我們有

N'.T' = N.T = 0

這正是我們要的，所以我們可以根據(jù)M來計算G。

G^TM = I <==> G = (M^-1)^T

因此M矩陣的逆矩陣的轉置，是正確轉換法線的矩陣。

前面我們說直接使用ModelView矩陣在部分情況下可以正常工作。當ModelView左上方的3x3矩陣是正交矩陣的時候，我們有：

M^-1 = M^T ==> G == M

這是因為正交矩陣的轉置與逆矩陣是一樣的。那么什么是正交矩陣呢？正交矩陣就是矩陣的每行/列都是單位長度，并且互相垂直的矩陣。這意味這兩個向量，被正交矩陣轉換前后，它們之間的角度是一樣的，因此轉換后的法線依然垂直于切線。此外，它還保持了向量的長度。

那么我們?nèi)绾伪ＷCM是正交的呢？只要我們限制我們的幾何變換僅限于旋轉和位移，比如在OpenGL程序中我們僅僅使用glRotate和glTranslate，不使用glScale，那么可以確保M是正交的。注意：gluLookAt也創(chuàng)建了一個正交矩陣。