資料來源于公眾號：萬物皆數(shù)學

? ? ? ? 數(shù)學故事|數(shù)學歷史上的三大危機

? ? ? 數(shù)學是人類探索科學之路的重要工具，往往數(shù)學研究比較發(fā)達的國家科技也會先進不少，這個在歐洲崛起的道路上已經(jīng)得到了證實，但是大家有沒有想過，作為一個科研工具，它一定是對的嗎？今天就為大家介紹一下歷史上著名的三次數(shù)學危機。

第一次數(shù)學危機——公元前470年無理數(shù)的出現(xiàn)

在公元前5世紀的古希臘，出現(xiàn)了一位偉大的數(shù)學家——畢達哥拉斯，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了著名的勾股定理定理，并證明了該定理，在那個時代，畢達哥拉斯就是數(shù)學界的權(quán)威，他組建了畢達哥拉斯學派，匯集了當時古希臘一流的數(shù)學人才。

畢達哥拉斯有一個觀點，就是所有的數(shù)字都可以表示成整數(shù)或者整數(shù)之比，比如0.3333……可以表示為1/3。有一天畢達哥拉斯學派的一個學生希帕索斯發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形的斜邊無法用整數(shù)來表示，于是告訴了畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯一開始沒覺得有什么問題，猜想一定是這位學生算錯了，結(jié)果自己算了算也發(fā)現(xiàn)了不能用整數(shù)表達的數(shù)，如果他不承認這個結(jié)果，就說明他發(fā)現(xiàn)的勾股定理是錯的，畢達哥拉斯當然不能否定自己，于是煽動學派成員把希帕索斯扔進愛琴海淹死了。

但是數(shù)學就是這樣，它不以人的意志為轉(zhuǎn)移，處死希帕索斯并不能解決這個悖論，直到1872年，德國數(shù)學家戴德金才以有理數(shù)分割的理論結(jié)束了第一次數(shù)學危機，無理數(shù)正式納入了數(shù)學體系當中，此時距離希帕索斯殉難已經(jīng)過了2300多年了。

第二次數(shù)學危機——17~18世紀無窮小是什么

第二次數(shù)學危機萌芽于古希臘，最著名的描述是“芝諾的烏龜”，中國古書《莊子·天下篇》也有直白的描述：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。即把一根一尺長的木棍，每次截去一半，接著截取一半的一半，如此反復，雖然木棍在變短，但永遠截不完。

無窮小是微積分理論的基石，如果不解決這個問題，那么微積分在理論上就是不完備的，那么很多基于微積分的理論就不能說是完全對的，那么包括牛頓力學體系在內(nèi)的重要數(shù)學推論也就不能成立了。

自從第二次數(shù)學危機出現(xiàn)后，無數(shù)的數(shù)學家都在試圖修補這個漏洞，但是這種體系性的漏洞是很難補全的，因此第二次數(shù)學危機一直持續(xù)到了19世紀70年代，在前人研究的基礎上，數(shù)學家威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人建立了實數(shù)理論，才將這個問題解決。

不過，第二次數(shù)學危機也帶來了很多好處，在解決這個問題的道路上，人類在數(shù)學、天文、物理等領域的發(fā)展突飛猛進，我們現(xiàn)在使用的很多技術(shù)都與這些相關(guān)，可以說，沒有第二次數(shù)學危機，就沒有現(xiàn)代社會。

第三次數(shù)學危機——1897年集合論中的悖論

1897年，數(shù)學家福爾蒂提出這樣一個悖論：假如有這樣一位理發(fā)師，他給自己定下了一個規(guī)矩：他只給不給自己刮胡子的人刮胡子，那么他應不應該給自己刮胡子呢？

如果他不給自己刮胡子，那么他就是不給自己刮胡子的人，他應該給自己刮胡子，而如果他給自己刮胡子了，他就是給自己刮胡子的人，那么他就不能給自己刮胡子。

雖然在我們看來，這個悖論就是吃飽了撐的，但問題在于，這個悖論是滿足集合論的原理的，而且集合論現(xiàn)在已經(jīng)深入到了數(shù)學的各個方面，如果這個悖論不解決，集合論就是有漏洞的。

遺憾的是，至今為止，第三次數(shù)學危機也沒有得到完美的解決，1931年，數(shù)學家哥德爾提出了不完備定律，證明了數(shù)學本身在理論上就是不完備的，所以數(shù)學的發(fā)展遠沒有結(jié)束。

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