從一個最簡單的例子開始吧。
我們來做幾個小學生的加法題。8 ＋ 9 等于多少？0.8 ＋ 0.9 等于多少？在 Chrome 里面簡單用 Javascript 這門語言簡單測試一下，我們得到的結(jié)果是：
8 ＋ 9 ＝ 17
0.8 ＋ 0.9 ＝ 1.7000000000000002。
是的，你沒有看錯，計算機給出了 1.7000000000000002 這個答案。難道計算機錯了嗎？
計算機錯了，又沒錯。為什么呢？因為計算機是用二進制來表示這些數(shù)字的，有很多數(shù)在計算機里面是沒法精確表示的。先來看看什么是二進制。
十進制、二進制
我們都知道，計算機只能懂 0 和 1，也就是說計算機里面所有的數(shù)字，都是二進制形式的。那么一個普通的數(shù)字，用二進制的形式究竟該如何表示呢？譬如：
- 78 如何使用二進制表示？
對于正整數(shù)，數(shù)學上有一個轉(zhuǎn)換的公式，就是「除 2 取余，逆序排列」法。具體做法是：用 2 整除十進制整數(shù)，可以得到一個商和余數(shù)；再用 2 去除商，又會得到一個商和余數(shù)，如此進行，直到商為 0 時為止，然后把先得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的低位有效位，后得到的余數(shù)作為二進制數(shù)的高位有效位，依次排列起來。對于 78 這個十進制整數(shù)來說，對應(yīng)的二進制是 1001110.
- 0.5 如何使用二進制表示？
對于純小數(shù)，也有一個固定的轉(zhuǎn)換法：乘 2 取整，順序排列。具體做法就是：用 2 乘十進制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用 2 乘余下的小數(shù)部分，又得到一個積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進行，直到積中的小數(shù)部分為零，此時 0 或 1 為二進制的最后一位。對于十進制的 0.5 來說，對應(yīng)的二進制表示就是 0.1
- 8.5 如何使用二進制表示？
好了，有零有整的小數(shù)，在計算機里面怎么表示呢？可能大家已經(jīng)知道了，分成整數(shù)和純小數(shù)兩部分，分別轉(zhuǎn)換，然后相加起來。那么 8.5 的二進制形式可以表示為：1000.1
好了，這是基礎(chǔ)，后面的內(nèi)容就開始慢慢接近計算機的工作模式了。
二進制能準確表示十進制數(shù)字嗎
首先看這個問題：
- 0.1 這個小數(shù)，用二進制該如何表示
按照前面的轉(zhuǎn)換規(guī)則，我們先看看看 0.1 怎么表示：
0.1 ＊ 2 ＝ 0.2 －－－－ 0 （1）
0.2 ＊ 2 ＝ 0.4 －－－－ 0 （2）
0.4 ＊ 2 ＝ 0.8 －－－－ 0 （3）
0.8 ＊ 2 ＝ 1.6 －－－－ 1 （4）
0.6 ＊ 2 ＝ 1.2 －－－－ 1 （5）
0.2 ＊ 2 ＝ 0.4 －－－－ 0 （6）
算到這里，我們得到了 0.000110 這樣的一段二進制串，但是不能再算下去了，因為我們看到第 6 行和第 2 行完全一樣，再計算就一直循環(huán)下去了。所以，0.1 這樣一個十進制小數(shù)，在計算機的二進制里面根本沒法精確表示。
思考一下，0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 這 9 個小數(shù)，有幾個是可以精確表示的？
- 精確表示 Vs 精確顯示
通過前面的代碼我們知道，0.8 ＋ 0.9 的結(jié)果，計算機并不能精確表示，但是我們在 Javascript 中定義這樣一個數(shù)值變量
var ha = 1.7
在控制臺打印的話，結(jié)果又確實是 1.7。
好像很矛盾。顯然，通過后面的例子可以知道 Javascript 可以精確顯示 1.7（哪怕 1.7 不能被精確表示），這不是和最開始我們的結(jié)果矛盾嗎？
其實這是一個想當然的錯誤。在直觀上我們認為 0.8 ＋ 0.9 ＝ 1.7 是必然成立的（數(shù)學上確實如此），而且 1.7 又能被精確顯示，那最開始的結(jié)果就應(yīng)該等于 1.7，對不對？
而實際上，在計算機里 0.8 ＋ 0.9 根本不等于 1.7（什么？）！因為 0.8 和 0.9 都不能被精確表示，數(shù)值的精度丟失在了每一個環(huán)節(jié)，而不是最后的結(jié)果上。
我們可以用數(shù)學中四舍五入的概念類比一下。我們計算 1.6 ＋ 2.8 保留整數(shù)，我們覺得結(jié)果應(yīng)該是 4（4.4 舍入）。但是我們用另一種方法：先把 1.6 舍入成 2，再把 2.8 舍入成 3，最后得到 5。通過不同的運算，我們得到了完全不一樣的結(jié)果！所以，在 0.8 ＋ 0.9 的運算中，參與運算的兩個數(shù)精度一開始已經(jīng)丟失了，所以他們的結(jié)果也不再是 1.7 了。
看到這里，我們是不是要懷疑計算機的一切結(jié)果了？連幾個小數(shù)都無法精確表示的話，其他數(shù)值計算結(jié)果如何保證準確呢？其實，大家不用擔心，計算機在做浮點運算的時候，常常會因為無法精確表示而進行近似或舍入，而其結(jié)果在我們?nèi)粘Ｉ钏璧木确秶鷥?nèi)，都還是準確的。
剛才說到了浮點運算，照字面的理解就是浮點數(shù)的運算了。但是，浮點數(shù)是什么呢？計算機里面是怎么表示這些數(shù)字的呢？
浮點數(shù)是什么
為了弄清楚浮點數(shù)，我們需要先看定點數(shù)。所謂定點數(shù)，是計算機中采用的一種數(shù)的表示方法，參與運算的數(shù)的小數(shù)點位置固定不變。那么小數(shù)點位置可變的自然就是所謂的「浮點數(shù)」了。這里要先澄清一個概念：浮點數(shù)并不一定等于小數(shù)，定點數(shù)也并不一定就是整數(shù)；整數(shù)和小數(shù)是我們小學數(shù)學中使用的，在計算機的世界里，只有定點數(shù)和浮點數(shù)。
- 定點整數(shù)
小數(shù)點位固定在最后一位之后稱為定點整數(shù)。若機器字長為 8 位，那么它能表示的整數(shù)范圍是 －127 － 127（考慮正負數(shù)的符號）。例如 0111 表示 7。
- 定點小數(shù)
小數(shù)點固定在最高位之后稱為定點小數(shù)。若機器字長為 8 位，數(shù)值表示范圍是[-(1-2^(-7)), 1-2^(-7)]。例如 1111 表示 －0.875。
- 浮點數(shù)
在計算機的硬件中是沒有小數(shù)點這個東西的。CPU 能處理的東西都是整的。所以，小數(shù)就要用類似科學計數(shù)法的方式來表示。如 1.234 在計算機里面，可以理解成用 1234 和 -3 兩個整數(shù)來表示：1234 * 10 的 -3 次方，這類數(shù)就叫「浮點數(shù)」。當然，計算機里面的浮點數(shù)是二進制的。任意一個二進制浮點數(shù) V 都可以表示成下面的形式：
V ＝ (-1)^s x M x 2^E
這里：
- (-1)^s 表示符號位，當s ＝ 0，V 為正數(shù)；當 s ＝ 1，V 為負數(shù)；
- M 表示有效數(shù)字，必須大于等于 1、小于 2；
- 2^E 表示指數(shù)位。
舉例來說，十進制的 5.0，寫成二進制是 101.0，相當于 1.01 x 2^2。那么按照上面的格式，可以得出 s = 0, M = 1.01, E = 2。
CPU 在處理這類數(shù)的運算時需要比整數(shù)運算復(fù)雜得多的電路設(shè)計，且速度比整數(shù)運算慢很多（所以很多年前，浮點運算能力是衡量 CPU 性能的重要指標）。
浮點數(shù)的更多問題
歷史上計算機科學家們曾提出過多種解決方案，最終獲得廣泛應(yīng)用的是 IEEE 754 標準中的方案。IEEE 754 規(guī)定，對于 32 位的浮點數(shù)，最高的 1 位是符號位 s，接著的 8 位是指數(shù) E，剩下的 23 位為有效數(shù)字 M：
IEEE 754 對有效數(shù)字 M 和指數(shù) E，還有一些特別規(guī)定。
前面說過，1≤M<2，也就是說，M 可以寫成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小數(shù)部分。IEEE 754 規(guī)定，在計算機內(nèi)部保存 M 時，默認這個數(shù)的第一位總是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.01 的時候，只保存 01，等到讀取的時候，再把第一位的 1 加上去。這樣做的目的，是節(jié)省 1 位有效數(shù)字。以 32 位浮點數(shù)為例，留給 M 只有 23 位，將第一位的 1 舍去以后，等于可以保存 24 位有效數(shù)字。
至于指數(shù) E，情況就比較復(fù)雜。
首先，E 是沒有符號的。這意味著，如果 E 為 8 位，它的取值范圍為 0~255；但是，我們知道，科學計數(shù)法中的 E 是可以出現(xiàn)負數(shù)的，所以 IEEE 754 規(guī)定，E 的真實值必須再減去一個中間數(shù)(偏移值)。IEEE 754 標準規(guī)定該固定值為 2^(E-1) - 1，對于 8 位的 E，這個中間數(shù)是 127。
比如，2^10 的 E 是 10，所以保存成 32 位浮點數(shù)時，必須保存成10+127=137，即 10001001。
然后，指數(shù) E 還可以再分成三種情況：
- E不全為 0 或不全為 1。這時，浮點數(shù)就采用上面的規(guī)則表示，即指數(shù) E 的計算值減去 127，得到真實值，再將有效數(shù)字 M 前加上第一位的 1;
- E全為 0。這時，浮點數(shù)的指數(shù) E 等于 1-127，有效數(shù)字 M 不再加上第一位的 1，而是還原為 0.xxxxxx 的小數(shù)。這樣做是為了表示 ±0，以及接近于 0 的很小的數(shù)字;
- E 全為 1。這時如果有效數(shù)字 M 全為0，表示 ±無窮大（正負取決于符號位s）；如果有效數(shù)字M不全為0，表示這個數(shù)不是一個數(shù)（NaN）
浮點數(shù)表示范圍與表示個數(shù)
對于計算機來說，浮點數(shù)可表示的范圍相當大，但這并不等于表示個數(shù)。從數(shù)量級分析一下，32bit 浮點數(shù)的表示范圍是 10 的 38 次方，而表示個數(shù)呢，是 10 的 10 次方。 能夠被表示的數(shù)只有 1/100000000…. （大概有30個零）。
總之，計算機中數(shù)字的存儲、表示、計算是非常復(fù)雜的，涉及到的內(nèi)容，都夠單獨出一本大部頭的書了，大家有興趣可以自己找資料深入研究一下。
