高考理數(shù)函數(shù)與導數(shù)大題：北京卷2011~2022年

2011年理數(shù)北京卷題18

分值：13分

已知函數(shù) f(x)=(x-k)^2 \mathrm{e} ^ \frac{x}{k}.

（I）求 f(x) 的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若對于任意的 x \in (0,+\infty)，都有 f(x) \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}} ，求 {k} 的取值范圍.

2012年理數(shù)北京卷題18

分值：13分

已知函數(shù) f(x)=ax^2+1(a \gt 0) ，g(x)=x^3+bx.

（I）若曲線 y=f(x) 與曲線 y=g(x) 在它們的交點 (1,c) 處具有公共切線，求 a,b 的值；

（Ⅱ）當 a^2=4b 時，求函數(shù) f(x)+g(x) 的單調區(qū)間，并求其在區(qū)間 (-\infty,-1] 上的最大值.

2013年理數(shù)北京卷題18

分值：13分

設 L 為曲線 C:y=\dfrac{\ln x}{x} 在點 (1,0) 處的切線.

（Ⅰ）求 L 的方程；

（Ⅱ）證明：除切點 (1,0) 之外, 曲線 C 在直線 L的下方.

2014年理數(shù)北京卷題18

分值：13分

已知函數(shù) f(x)=x\cos x -\sin x, x \in [0, \dfrac{\pi}{2}].
（Ⅰ）求證：f(x) \leqslant 0；

（Ⅱ）若 a \lt \dfrac{\sin x}{x} \lt b 對 x \in (0,\dfrac{\pi}{2}) 恒成立, 求 a 的最大值與 b 的最小值.

2015年理數(shù)北京卷題18

分值：13分
已知函數(shù) f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}.

（Ⅰ）求曲線 y=f(x) 在點 (0,f(0)) 處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當 x \in (0,1) 時, f(x) \gt 2(x+\dfrac{x^3}{3})；

（Ⅲ）設實數(shù) k 使得 f(x) \gt k(x+\dfrac{x^3}{3}) 對 x \in (0,1) 恒成立, 求 k 的最大值.

2016年理數(shù)北京卷題18

分值：13分
設函數(shù) f(x)=xe^{a-x} +bx, 曲線 y=f(x) 在點 (2,f(2)) 處的切線方程為 y=(\mathrm{e}-1)x +4.

（Ⅰ）求 a,b 的值；

（Ⅱ）求 f(x) 的單調區(qū)間.

2017年理數(shù)北京卷題19

分值：13分

已知函數(shù) f(x)= \mathrm{e} ^x \cos x -x.

（Ⅰ）求曲線 y=f(x) 在點 (0,f(x)) 處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [0,\dfrac{\pi}{2}]上的最大值和最小值.

2018年理數(shù)北京卷題18

分值：13分

設函數(shù) f(x)= [ax^2 -(4a+1)x +4a +3 ] \mathrm{e} ^x.

（Ⅰ）若曲線 y=f(x) 在點 (1,f(1)) 處的切線與 x 軸平行, 求 a；

（Ⅱ）若 f(x) 在 x =2 處取得極小值, 求 a 的取值范圍.

2019年理數(shù)北京卷題19

分值：13分

已知函數(shù) f(x)=\dfrac{1}{4}x^3 - x^2 +x.

（Ⅰ）求曲線 y=f(x) 的斜率為 1 的切線方程；

（Ⅱ）當 x \in [-2,4] 時, 求證：x-6 \leqslant f(x) \leqslant x;

（Ⅲ）設 F(x)= |f(x)-(x+a)| (a \in \mathbf{R}), 記 F(x) 在區(qū)間 [-2,4] 上的最大值為 M(a). 當 M(a) 最小時, 求 a 的值.

2020年理數(shù)北京卷題19

分值：15分

已知函數(shù) f(x)=12-x^2.

（Ⅰ）求曲線 y=f(x) 的斜率等于 -2 的切線方程；

（Ⅱ）設曲線 y=f(x) 在點 (t,f(t)) 處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為 S(t), 求 S(t) 的最小值.

2021年理數(shù)北京卷題19

分值：15分

已知函數(shù) f(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.

（Ⅰ）若 a=0, 求曲線 y=f(x) 在點 (1,f(1)) 處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù) f(x) 在 x =-1 處取得極值, 求 f(x) 的單調區(qū)間, 以及最大值和最小值.

2022年理數(shù)北京卷題20

分值：15分

已知函數(shù) f(x)=\mathrm{e}^x \ln(1+x).

（Ⅰ）求曲線 y=f(x) 在點 (0,f(0)) 處的切線方程；

（Ⅱ）設 g(x)=f'(x), 討論函數(shù) g(x) 在 [0,+\infty) 上的單調性；

（Ⅲ）證明：對任意的 s,t \in (0,+\infty) , 有 f(s+t)\gt f(s) + f(t).

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