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注：本文知識(shí)以及例子來(lái)源主要是Abstract Algebra，作者是David S. Dummit 和 Richard M. Foote，適量夾雜一些廢話和本人的書寫習(xí)慣

本篇依然在完善當(dāng)中，我會(huì)盡快盡力糾錯(cuò)并在排版、措詞、解釋方法上面作出優(yōu)化。（目前事實(shí)是有小部分內(nèi)容我自己還沒有完全消化……）這幾天會(huì)努力的！

群的定義

群（group）是一個(gè)有序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(G%2C%20%5Ccdot)" alt="(G, \cdot)" mathimg="1">，其中 $G$ 是一個(gè)集合； $\cdot$ 是一個(gè)二元運(yùn)算，其定義為函數(shù) $\cdot : G \times G \rightarrow G$ 。為了方便，我們將 $\cdot(x, y)$ 記作 $x \cdot y$ 。后文所引用的 $G$ 和 $\cdot$ 若無(wú)特別說(shuō)明，均指群定義中的集合和二元運(yùn)算。

運(yùn)算 $\cdot$ 是可結(jié)合的（associative），即 $\forall a, b, c \in G: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ 。

$G$ 中存在幺元（identity）記作 $e$ 使得 $\forall a \in G \qquad a \cdot e = e \cdot a = a$ 。

任意 $G$ 中的元素 $a$ 都在 $G$ 中存在逆元（inverse），記作 $a^{-1}$ ，使得 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ 。

【附加定義】當(dāng)運(yùn)算 $\cdot$ 是可交換的（commutative），即 $\forall a, b \in G: a \cdot b = b \cdot a$ 時(shí)，我們?cè)撊菏且粋€(gè)阿貝爾群（abelian group）或交換群（commutative group）。

【運(yùn)算定義】定義群的直積（direct product）為二元運(yùn)算 $\times: (G, \star) \times (H, \diamond) \rightarrow (I, \cdot)$ ，其中集合 $I$ 定義為集合 $G$ 和 $H$ 的笛卡爾積，即
$I = G \times H = \{(g, h) | g \in G, h \in H\}$ 二元運(yùn)算 $\cdot$ 定義為 $\cdot: (G \times H) \times (G \times H) \rightarrow (G \times H)$ ，具體為：
$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \star g_2, h_1 \diamond h_2)$

從群的定義上來(lái)看，重點(diǎn)在于研究某指定數(shù)集上的某二元運(yùn)算，其滿足結(jié)合律且存在幺元和逆元。對(duì)于“乘法”群中來(lái)說(shuō)， $0$ 總是無(wú)法處理的元素（逆元不存在），所以乘法的群不包含0。

一些稱法和記法上的說(shuō)明

為了之后說(shuō)明的方便和嚴(yán)謹(jǐn)性，我們接下來(lái)用集合的名稱指代群的名稱。
當(dāng)提到群的元素時(shí)，都是指群所處集合的元素。
當(dāng)提到群的序數(shù)時(shí)，都是指群的集合的序數(shù)，即元素個(gè)數(shù)。
當(dāng)提到某個(gè)集合在某運(yùn)算下形成群時(shí)，都是指由此集合和此運(yùn)算符滿足群的定義。
如果不加聲明地使用某個(gè)變量（如a, b, x, y等），則默認(rèn)它是上下文中提到的群的元素。
集合的運(yùn)算符 $\cdot$ 在不導(dǎo)致歧義的情況下會(huì)省略，即 $a \cdot b$ 將記為 $ab$ 。
同樣，不造成歧義時(shí)，我們有時(shí)會(huì)將群的幺元記作 $1$ 。
我們將實(shí)數(shù)中定義的整數(shù)次冪運(yùn)算擴(kuò)展到群的集合中： $n \in \mathbb{Z}^+, a^n = a...a(\text{n 項(xiàng)})$ 。同時(shí)令 $a^0 = 1$ ，即幺元。

舉例

$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 都是在 $+$ （加法）下成立的群；幺元 $e = 0$ ； $a$ 的逆元 $a^{-1} = -a$ 。
$\mathbb{Q} - \{0\}, \mathbb{R} - \{0\}, \mathbb{C} - \{0\}, \mathbb{Q}^+, \mathbb{R}^+$ 都是在 $\times$ （乘法）下成立的群；幺元 $e = 1$ ； $a$ 的逆元 $a^{-1} = \frac{1}{a}$ 。
上面的例子滿足群的定義應(yīng)該是顯而易見的。當(dāng)然，關(guān)于實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的定義值得另外討論，不過(guò)這里就按照大家理所當(dāng)然的那樣把他們看作事實(shí)。
向量空間 $V$ 在 $+$ 下也形成群。向量空間V定義為n個(gè) $(n \ge 1)$ 定義在 $F^n$ 上數(shù)字組成的有序元組組成的集合，比如 $(1, 4, -1)$ 就是定義在 $\mathbb{Z}^3$ 上的向量空間。其幺元是零向量， $v$ 的逆元 $v^{-1} = -v$ 。
加法余數(shù)集 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在 $+$ 下形成群。幺元 $e = \bar{0}$ ； $\bar{a}$ 的逆元 $\overline{a}^{-1} = \overline{-a}$ 。
乘法余數(shù)集 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ 在 $\times$ 下形成群。幺元 $e = \bar{1}$ ，逆元也根據(jù)其定義存在。

群的基本性質(zhì)

我們不加證明地給出群的以下性質(zhì)：

命題1.

幺元 $e$ 唯一

任意元素 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 唯一

${a^{-1}}^{-1} = a$

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

$a_1a_2...a_n$ 的值不依賴于括號(hào)如何加（廣義結(jié)合律）

以上這些性質(zhì)可以從群的定義輕松得到。一些證明的技巧就是兩邊同乘逆元或利用幺元定義等。

命題2.

方程 $ax = b$ 和 $ya = b$ 分別有唯一解。

二元運(yùn)算 $\cdot$ 滿足消去律（cancellation laws），即： $\left \{ \begin{aligned} & au = av \Rightarrow u = v \\ & ub = vb \Rightarrow u = v \end{aligned} \right.$

若 $ab = e$ 或 $ba = e$ ，則 $b = a^{-1}$ 。

若 $ab = a$ 或 $ba = a$ ，則 $b = e$ 。

定義

元素 $x$ 的階（order）定義為最小的正整數(shù) $n$ 令 $x^n = 1$ ，記作 $|x|$ 。
顯然，群中的一個(gè)元素有可能怎么乘冪都達(dá)不到幺元；此時(shí)我們稱其階為無(wú)窮。

階的舉例

一個(gè)元素當(dāng)且僅當(dāng)它是幺元時(shí)，擁有階數(shù)1.
之前提到的各種加法數(shù)群（ $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ ）的非零元素的階都是無(wú)窮的； $0$ 作為幺元，階當(dāng)然是1。
加法余數(shù)群（以 $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 為例）， $\bar{6}$ 的階是3，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbar%7B6%7D%2B%5Cbar%7B6%7D%2B%5Cbar%7B6%7D%20%3D%20%5Cbar%7B18%7D%20%3D%20%5Cbar%7B0%7D" alt="\bar{6}+\bar{6}+\bar{6} = \bar{18} = \bar{0}" mathimg="1">。類似地，我們可以得到該例中其它元素的階： $\{1, 9, 9, 6, 9, 9, 3, 9, 9\}$ 。
乘法余數(shù)群（以 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{\times}$ 為例）， $\bar{2}$ 的階是3，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbar2%20%5Ccdot%20%5Cbar2%20%5Ccdot%20%5Cbar2%20%3D%20%5Cbar8%20%3D%20%5Cbar1" alt="\bar2 \cdot \bar2 \cdot \bar2 = \bar8 = \bar1" mathimg="1">。類似地，我們可以得到該例中其它元素的階： $\{1, 3, 6, 6, 12, 2\}$ 。

二面體群

讓我們把群的概念引入到幾何領(lǐng)域中。一個(gè)比較簡(jiǎn)單且直觀的例子是正多邊形的對(duì)稱變換群。我們首先定義對(duì)稱變換（symmetry）：一個(gè)對(duì)稱變換是指對(duì)多邊形的一個(gè)變換（即函數(shù)）。形象些說(shuō)，我們?nèi)绻麑?duì)變換前的正多邊形的角進(jìn)行編號(hào)： $\{1, 2,..., n\}$ ，在對(duì)稱變換（比如延軸翻轉(zhuǎn)、繞心旋轉(zhuǎn)這樣不改變?cè)瓉?lái)形狀的變換）后，嘗試將正多邊形覆蓋到原來(lái)的多邊形上，會(huì)看到現(xiàn)在在角上的編號(hào)是原來(lái)編號(hào)的一個(gè)重排列 $\sigma$ 。作為提醒，排列是指從一個(gè)集合映射到同一個(gè)集合的映射。舉個(gè)具體的例子，對(duì)正n邊形進(jìn)行順時(shí)針的 $\frac{2\pi}{n}$ 旋轉(zhuǎn)是一個(gè)對(duì)稱變換，它讓原來(lái)的某種編號(hào) $\{1, 2,...,n\}$ 變成了 $\{2, 3,..., n, 1\}$ ，可以寫作 $\sigma(\{1, 2,...,n\}) = \{2, 3,...,n, 1\}$ ，或?qū)τ谄渲械囊粋€(gè)元素比如1，有 $\sigma(1) = n$ 。 $\sigma(i) = k$ 指的是 $i$ 經(jīng)過(guò)變換之后的位置。

接下來(lái)，讓我們利用變換的復(fù)合規(guī)律（即函數(shù)的復(fù)合規(guī)律），定義運(yùn)算符 $\cdot$ ：若 $s, t$ 是兩個(gè)對(duì)稱變換，則定義 $s \cdot t$ 或簡(jiǎn)記為 $st = s \circ t$ ，表現(xiàn)為先進(jìn)行變換 $t$ ，再進(jìn)行變換 $s$ （和復(fù)合函數(shù)的定義一致）。對(duì)該運(yùn)算定義幺元 $1$ ，本質(zhì)即是對(duì)多面體什么都不操作的變換（單位變換）。某個(gè)對(duì)稱變換 $s$ 的逆元可以理解為進(jìn)行其重排列 $\sigma$ 的逆元 $\sigma^{-1}$ 那樣的變換，通俗地舉例來(lái)說(shuō)， $s$ 順時(shí)針轉(zhuǎn)了 $k$ 度那么 $s^{-1}$ 就是逆時(shí)針轉(zhuǎn) $k$ 度。

定義

二面體群（Dihedral Group）定義為 $(D_{2n}, \cdot)$ ，其中 $D_{2n}$ 是所有對(duì)正n變形的對(duì)稱變換的集合， $\cdot$ 是上文定義的運(yùn)算符。此處 $2n$ 指的其實(shí)是群的序數(shù)，即 $|D_{2n}| = 2n$ 。這點(diǎn)我們很快會(huì)在下面展示出來(lái)。

為了探究二面體群中運(yùn)算的特殊規(guī)律，我們先定義其中的兩個(gè)重要的元素：

$r$ ：指繞正n邊形中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn) $\frac{2\pi}{n}$ 的對(duì)稱變換。
$s$ ：指以經(jīng)過(guò)正n邊形中心和標(biāo)號(hào)1的角為軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)的對(duì)稱變換。

如果從重排列 $\sigma$ 的角度理解對(duì)稱變換 $r$ 和 $s$ ，易察覺它們等同于：
$\sigma_r(i) = \left \{ \begin{aligned} & i + 1 & 1 \le i \le n - 1 \\ & 1 & i = n \end{aligned} \right. \\ \sigma_s(i) = n - i + 1 \qquad\qquad\space\space 1 \le i \le n$
通俗地解釋，就是 $\sigma_r$ 全體元素向左平移了一格，超出來(lái)的第 $n$ 個(gè)元素移到第一位，比如 $\{1, 2, 3, 4\}$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%7B2%2C%203%2C%204%2C%201%5C%7D" alt="\{2, 3, 4, 1\}" mathimg="1">； $\sigma_s$ 則是將全體元素倒置，比如 $\{1, 2, 3, 4\}$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%7B4%2C%203%2C%202%2C%201%5C%7D" alt="\{4, 3, 2, 1\}" mathimg="1">。
從 $s$ 和 $t$ 的定義不難發(fā)現(xiàn)對(duì)稱變換的規(guī)律：

$1, r, r^2,...r^{n-1}$ 是不同的變換，且 $|r| = n$ 。

$|s| = 2$ 。

對(duì)于任何 $i \in \mathbb{Z}$ ， $s \neq r^i$ 。

對(duì)于任何 $0 \le i, j \le n - 1 \land i \ne j$ ， $sr^i \ne sr^j$ 。

$D_{2n} = \{1, r, r^2,...,r^{n-1}, s, sr, sr^2,...,sr^{n-1}\}$ ，正好 $2n$ 個(gè)元素。

$rs = sr^{-1}$ 。驗(yàn)證如下：左式等同于 $\sigma_r \circ \sigma_s$ ，右式等同于 $\sigma_s \circ \sigma_{r^{-1}}$ ，根據(jù)定義有：
$\sigma_r(\sigma_s(i)) = \sigma_r(n - i + 1) = \left \{ \begin{aligned} & n - i + 2 & 2 \le i \le n \\ & 1 & i = 1 \end{aligned} \right. \\ \sigma_s(\sigma_{r^{-1}}(i)) = n - \sigma_{r^{-1}}(i) + 1 = \left \{ \begin{aligned} & n - i + 2 & 2 \le i \le n \\ & n & i = 1 \end{aligned} \right.$

$r^is = sr^{-i}$ 。驗(yàn)證和上面類似。

生成元

之前我們簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)了二面體群中的兩個(gè)特殊元素 $r$ 和 $s$ ，它們可以通過(guò)組合表示群中的任何其它元素。我們借此引入生成元（generator）的概念。

定義

設(shè) $S$ 是群 $G$ 的一個(gè)子集，如果 $G$ 中所有元素都可以通過(guò) $S$ 中元素或它們的逆元的有限運(yùn)算（指群定義中的運(yùn)算）得到，則稱 $S$ 是 $G$ 的一個(gè)生成元集（a set of generators），并稱 $S$ 可以生成 $G$ ，記作 $G = \langle S \rangle$ ，尖括號(hào)中的 $S$ 實(shí)際上寫成 $S$ 的一個(gè)全元素組合的形式。

舉例來(lái)說(shuō)，整數(shù) $1$ 便是整數(shù)加法群的生成元，記作 $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$ 。之前剛剛學(xué)到的二面體群中， $r$ 和 $s$ 是 $D_{2n}$ 的生成元，記作 $D_{2n} = \langle r, s \rangle$ 。

定義

為了描述生成元是如何構(gòu)建出群中任何其它元素的，我們需要一些由生成元構(gòu)成的等式，稱作關(guān)系式（relations）。比如二面體群中的關(guān)系式有
$r^n = 1, s^2 = 1, rs = sr^{-1}$
任何其它的關(guān)系式都可以通過(guò)這三個(gè)推導(dǎo)出，我們記為：
$D_{2n} = \langle r, s \mid r^n = s ^ 2 = 1, rs = sr^{-1} \rangle$
對(duì)于一般的形式，可以記作：
$G = \langle S \mid R_1, R_2,...R_m \rangle$

通過(guò)生成元集的形式，我們可以相對(duì)清楚地認(rèn)識(shí)到群中元素的狀態(tài)和性質(zhì)。不過(guò)有時(shí)因?yàn)殛P(guān)系式的選取方式，我們?cè)趯ふ胰旱男驍?shù)時(shí)會(huì)遇到一些困難。下面舉兩個(gè)和二面體群很相似的群的例子：

$X_{2n} = \langle x, y \mid x^n = y ^ 2 = 1, xy = yx^2 \rangle$ 從前一個(gè)關(guān)系式可知，該群中元素都可以寫成 $x^iy^k$ 的形式，且 $0 \le i \le n - 1, 0 \le k \le 1$ 。后面一個(gè)表達(dá)式則是描述“偽交換律”，即將 $x, y$ 順序顛倒的方法。這樣看，我們會(huì)猜測(cè)這個(gè)群中有 $2n$ 個(gè)元素，也因此先草率地將其記為 $X_{2n}$ ，然而考察下面的連等式：

$x = xy^2 = (xy)y = (yx)(xy) = (yx)(yx^2) = y(xy)x^2 = y(yx^2)x^2 = y^2x^4 = x^4$

其中借用了 $y^2 = 1$ 的條件式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)高次的 $x$ 的次數(shù)會(huì)轉(zhuǎn)化為次數(shù)與3的余數(shù)，即 $x^3 = 1$ 。這樣， $|X_{2n}|$ 與 $n$ 的取值在多數(shù)情況下沒有關(guān)系，且最多為 $6$ 。

$Y = \langle u, v \mid u^4 = v^3 = 1, uv = v^2u^2 \rangle$ 從前一個(gè)關(guān)系式我們又會(huì)推測(cè)群的序數(shù)為 $12$ ，但考察下面的連等式：

$\begin{aligned} u &= uv^3 = (uv)v^2 = v^2u^2v^2 = v^2u(uv)v = v^2u(v^2u^2)v = v^2(uv)vu(uv) \\ &= v^2(v^2u^2)vu(v^2u^2) = v^3vu^2v(uv)vu^2 = vu^2v(v^2u^2)vu^2 = vu^2v^3u^2vu^2 \\ &=vu^4vu^2 = v^2u^2 = uv \end{aligned}$

根據(jù)幺元的唯一性，得到 $v$ 是幺元。代入第三個(gè)關(guān)系式得到 $u = u^2$ ，故 $u$ 也是幺元。因此這個(gè)群有且僅有一個(gè)元素，即幺元 $1$ 。

對(duì)稱群

設(shè) $\Omega$ 是一個(gè)非空集合，則記 $S_{\Omega}$ 為 $\{f \mid f : \Omega \rightarrow \Omega, f\text{是一個(gè)雙射}\}$ 。將復(fù)合運(yùn)算 $\circ$ 作為定義在 $S_{\Omega}$ 上的運(yùn)算。定義單位變換 $1$ 為 $1(x) = x$ ；將元素 $f$ 的逆元 $f^{-1}$ 定義為 $f$ 的反函數(shù)。不難發(fā)現(xiàn) $(S_{\Omega}, \circ)$ 是一個(gè)群。

定義

對(duì)于 $\Omega = \{1, 2,...,n\}$ 的情形，我們把 $S_{\Omega}$ 記為 $S_n$ 并稱為 $n$ 次對(duì)稱群（symmetric group of degree n）。這是一個(gè)很重要的群，事先在此和大家說(shuō)明。從排列的性質(zhì)不難得到 $|S_{\Omega}| = n!$

為了便于記錄排列，我們引入循環(huán)分解（cycle decomposition）的記法。首先，一個(gè)循環(huán)（cycle）是指一個(gè)整數(shù)的序列，它表示 $S_n$ 中的一個(gè)元素（即一個(gè)變換）。循環(huán) $(a_1 a_2...a_m)$ 表示將 $a_i(1 \le i \le m - 1)$ “送到” $a_{i+1}$ 的位置，而將 $a_m$ “送到” $a_1$ 的位置（這就是我們?cè)诙骟w群中討論到的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱變換，即 $r$ ）。比如 $(2, 1, 3)$ 是將 $2$ 映射到 $1$ ， $1$ 映射到 $3$ ， $3$ 映射到 $2$ 的變換。在循環(huán)分解的記法中，一個(gè)變換 $\sigma$ 會(huì)被表示成一個(gè)或多個(gè)循環(huán)的列舉：
$(a_1a_2...a_{m_1})(a_{m_1+1}a_{m_1+2}...a_{m_2})...(a_{m_{k-1}}a_{m_{k-1}+1}...a_{m_k})$

下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)展示循環(huán)分解算法的進(jìn)行：

首先定義一個(gè)重排列 $\sigma$ ，使得：
$\begin{aligned} \sigma(\{ &1, \space\space 2, \space\space 3, 4, 5, \space\space 6, 7, 8, \space\space 9, 10, 11, 12, 13\}) \\ = \{ &12, 13, 3, 1, 11, 9, 5, 10, 6, 4, \space\space 7, \space\space 8, \space\space 2\} \end{aligned}$
具體的步驟是：

從最小的未在前序循環(huán)中出現(xiàn)的 $1 \le i \le n$ 開始循環(huán)，比如 $a$ 。我們寫下左括號(hào) $($ 并考察 $\sigma(a)$ 的值 $b$ 。

如果 $b = a$ ，就用右括號(hào) $)$ 終結(jié)這個(gè)循環(huán)，然后回到步驟1；否則寫下 $b$ ?？疾?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma(b)" alt="\sigma(b)" mathimg="1">的值 $c$ 。

如果 $c = a$ ，就用右括號(hào) $)$ 終結(jié)這個(gè)循環(huán)，然后回到步驟1；否則寫下 $c$ ?？疾?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma(c)" alt="\sigma(c)" mathimg="1">的值 $b$ ?；氐讲襟E2。
為防止歧義，我們把本質(zhì)上一致的第二步和第三步分成了兩步。前面的重排列 $\sigma$ 可以根據(jù)這幾個(gè)步驟形成一組循環(huán)：
$(1 \space 12 \space 8 \space 10 \space 4)(2 \space 13)(3)(5 \space 11 \space 7)(6 \space 9)$

發(fā)現(xiàn)這些循環(huán)互相為不相交集（disjoint set），即兩個(gè)集合中不存在相同的元素。習(xí)慣上通常會(huì)省略長(zhǎng)度為1的循環(huán)，所以上面的循環(huán)會(huì)寫成：

$\sigma = (1 \space 12 \space 8 \space 10 \space 4)(2 \space 13)(5 \space 11 \space 7)(6 \space 9)$

變換的逆 $\sigma^{-1}$ 的循環(huán)分解是 $\sigma$ 的循環(huán)分解的倒置：

$\sigma^{-1} = (4 \space 10 \space 8 \space 12 \space 1)(13 \space 2)(7 \space 11 \space 5)(9 \space 6)$

循環(huán)中的元素進(jìn)行平移之后所代表的變換不變，即：
$(a_1a_2...a_m) = (a_2a_3...a_ma_1) = ...= (a_ma_1...a_{m-1})$

矩陣群

為了引入矩陣群的概念，我們首先定義域（Field）。

定義

一個(gè)域（field） $F$ 上定義了兩個(gè)二元運(yùn)算 $+$ 和 $\cdot$ ，使得 $(F, +)$ 和 $(F - \{0\}, \cdot)$ 都是阿貝爾群（交換群），其中 $0$ 是 $(F, +)$ 的幺元。

運(yùn)算 $+$ 對(duì)于運(yùn)算 $\cdot$ 滿足分配律，即 $\forall a, b, c \in F, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 。

域是最小的能夠進(jìn)行四則運(yùn)算的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們會(huì)在后續(xù)深入地學(xué)習(xí)域，但是現(xiàn)在我們需要簡(jiǎn)單了解一些域的例子，如 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}(p\text{是素?cái)?shù)})$ 。其中 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 也會(huì)用 $\mathbb{F}_p$ 來(lái)表記。

定義

矩陣群（matrix group）是在指定的 $n \in \mathbb{Z}^+$ 時(shí)，對(duì)矩陣乘法有定義，且矩陣中每一項(xiàng)元素來(lái)自域 $F$ 的全體行列式值非零的 $n \times n$ 矩陣的集合，記作 $GL_n(F)$ 。
$GL_n(F) = \{A_{nn} \mid A\text{定義在}F\text{上}, det(A) \ne 0\}$
n階矩陣群的幺元是 $I_n$ ，即對(duì)角線為 $1$ ，其余元素都是 $0$ 的矩陣。

四元數(shù)群

定義

四元數(shù)群（quaternion group）記作 $Q_8$ ，定義為：
$Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$
四元數(shù)群上定義了二元運(yùn)算 $\cdot$ ，運(yùn)算規(guī)律如下：

$1 \cdot a = a \cdot 1 = a \qquad \forall a \in Q_8$ 。即 $1$ 是幺元。

$(-1) \cdot (-1) = 1 \qquad (-1) \cdot a = a \cdot (-1) = -1 \qquad \forall a \in Q_8$ 。

$i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = -1$

$i \cdot j = k \qquad j \cdot i = -k$

$j \cdot k = i \qquad k \cdot j = -i$

$k \cdot i = j \qquad i \cdot k = -j$

可能有些費(fèi)勁，但是通過(guò)枚舉可以證明二元運(yùn)算 $\cdot$ 的結(jié)合性。其它群的性質(zhì)則很容易證明。這樣我們就得到了四元數(shù)群。

同態(tài)和同構(gòu)

我們現(xiàn)在來(lái)嘗試描述兩個(gè)群之間是否看起來(lái)一樣，即它們擁有一樣的群論上的架構(gòu)，這種性質(zhì)叫做同構(gòu)。但在此之前，讓我們先介紹同態(tài)的定義。

定義

設(shè)兩個(gè)群 $(G, \star), (H, \diamond)$ 。同態(tài)是一個(gè)函數(shù) $\varphi: G \rightarrow H$ 使得：
$\varphi(x \star y) = \varphi(x) \diamond \varphi(y) \qquad \forall x, y \in G$

按照一貫的簡(jiǎn)潔風(fēng)格，我們會(huì)把這個(gè)定義寫作 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$ ，但需注意等號(hào)兩邊省略的運(yùn)算是不一樣的。

定義

若存在同構(gòu)（isomorphism） $\varphi: G \rightarrow H$ 使得：

$\varphi$ 是一個(gè)同態(tài)。

$\varphi$ 是雙射。
則稱群 $G$ 和 $H$ 是同構(gòu)的（isomorphic），記作 $G \cong H$ ，

根據(jù)定義，我們不難發(fā)現(xiàn)同構(gòu)的兩個(gè)群擁有相同的群性質(zhì)：任何從一個(gè)群的定義中的運(yùn)算性質(zhì)都可以通過(guò)雙射的同態(tài)變換在另一個(gè)群上成立。這也是我們能夠省略運(yùn)算符的一個(gè)原因。

舉例

$G \cong G$ 對(duì)任何群 $G$ 成立。
函數(shù) $exp: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ 定義為 $exp(x) = e^x$ ，是 $(\mathbb{R}, +)$ 到 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 的同構(gòu)。這是因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=exp" alt="exp" mathimg="1">函數(shù)有反函數(shù) $ln: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ ，且 $exp(x + y) = exp(x) \times exp(y) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$ 。
考慮兩個(gè)非空集合 $\Delta, \Omega$ 。對(duì)稱群 $S_{\Delta}$ 和 $S_{\Omega}$ 是同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng) $|\Delta| = |\Omega|$ 。證明從略。

我們?cè)谥髸?huì)遇到很多同構(gòu)的例子，而且結(jié)構(gòu)不限于群，還有環(huán)、域等等。一個(gè)重要的問(wèn)題是什么樣的結(jié)構(gòu)上的性質(zhì)可以決定其同構(gòu)的類別，比如群 $G$ 擁有怎樣的性質(zhì) $\mathcal{P}$ 時(shí)，當(dāng)另一個(gè)群 $X$ 也擁有性質(zhì) $\mathcal{P}$ 時(shí)，我們就可以判定 $X \cong G$ 。這種由結(jié)構(gòu)性質(zhì)決定是否同構(gòu)的理論被稱為分類理論（classification theorems）?？梢韵扰e一個(gè)例子：
$\textit{任何階數(shù)為6的非阿貝爾群與}S_3\textit{同構(gòu)。}$
根據(jù)這個(gè)分類理論，我們可以判斷出 $D_6 \cong S_3, GL_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$ ，而不必通過(guò)構(gòu)建特定的函數(shù)來(lái)滿足同構(gòu)的定義。

我們常常難以判斷兩個(gè)群（或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）是否是同構(gòu)的，不過(guò)我們有時(shí)可以用下面這些同構(gòu)必備的特點(diǎn)迅速排除某個(gè)函數(shù) $\varphi: G \rightarrow H$ 不可能為同構(gòu)的情況：

$|G| = |H|$

$G$ 是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng) $H$ 是阿貝爾群。

$\forall x \in G, |x| = |\varphi(x)|$ ，作為提醒這里的 $|x|$ 指的是 $x$ 的階。

比如， $S_3$ 和 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 就不可能同構(gòu)，因?yàn)榍罢卟皇前⒇悹柸憾笳呤牵?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Ctimes)" alt="(\mathbb{R}, \times)" mathimg="1">和 $(\mathbb{R}^+, +)$ 不可能同構(gòu)，因?yàn)榍罢咧械脑?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=-1" alt="-1" mathimg="1">的階為 $2$ ，但在后者中不存在階為2的元素。

讓我們以一個(gè)目前不予證明的命題結(jié)束這一節(jié)：

命題

$G$ 是一個(gè)階數(shù)為 $n$ 的有限群，設(shè) $S = \{s_1, s_2,...,s_m\}$ 是 $G$ 的生成元集。令 $H$ 是另一個(gè)群且 $R = \{r_1, r_2,...,r_m\}$ 是 $H$ 的生成元集。如果對(duì)于 $G$ 中的 $s_i$ 成立的某個(gè)關(guān)系當(dāng) $s_i$ 被 $r_i$ 替換時(shí)在 $H$ 中也成立，那么就存在（唯一的）同構(gòu) $\varphi: G \rightarrow H$ 使得 $s_i \mapsto r_i$ （即 $\varphi(s_i) = r_i$ )

這個(gè)命題實(shí)際上和向量空間中的同構(gòu)概念有關(guān)的命題十分相似：

$V$ 是一個(gè) $n$ 維的向量空間，它有一個(gè)基 $S$ 。 $W$ 是另一個(gè)向量空間?，F(xiàn)在指定一個(gè)線性變換 $T: V \rightarrow W$ 使得 $S$ 被映射到 $R \subseteq W$ 。如果 $W$ 的維度也是 $n$ 且 $R$ 張成（spans）W，我們就稱 $V$ 和 $W$ 是同構(gòu)的。

舉例

$D_{2n} = \langle r, s \mid r^n = s^2 = 1, sr = r^{-1}s \rangle$ ，現(xiàn)在設(shè) $H$ 是一個(gè)包含元素 $a, b$ 的群且滿足關(guān)系式 $a^n = 1, b^2 = 1, ba = a^{-1}b$ 。此時(shí)便有 $D_{2n} \cong H$ 。從 $D_{2n}$ 到 $H$ 的同構(gòu)是 $\varphi: D_{2n} \rightarrow H$ 滿足 $\varphi(r) = a, \varphi(s) = b$ 。

群作用

定義

一個(gè)群 $G$ 對(duì)于某個(gè)集合 $A$ 的群作用（group aciton）是指一個(gè)變換： $G \times A \rightarrow A$ ，記作 $g \cdot a, \ \forall g \in G, a \in A$ ，且滿足下面的性質(zhì)：

$g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a, \ \forall g_1, g_2 \in G, a \in A$ 。

$1 \cdot a = a, \ \forall a \in A$ 。
此時(shí)我們稱 $G$ 是一個(gè)作用在集合 $A$ 上的群。

值得注意的是 $g \cdot a$ 中的 $\cdot$ 并不一定是二元運(yùn)算，這只是個(gè)符號(hào)。之后在不引起歧義時(shí)我們都將記作 $ga$ 。而式中的 $g_1g_2$ 和往常一樣，是對(duì) $g_1$ 和 $g_2$ 進(jìn)行群 $G$ 上定義的二元運(yùn)算。

接下來(lái)，我們將進(jìn)一步研究群作用的性質(zhì)，為了方便記錄，我們先任選 $g \in G$ ，并定義 $\sigma_g: A \rightarrow A$ ， $\sigma_g(a) = g \cdot a$ 。這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)重要的性質(zhì)：

對(duì)任一 $g \in G$ ， $\sigma_g$ 是 $A$ 的一個(gè)排列。為證明這一點(diǎn)，只需說(shuō)明存在其逆元 $\sigma_{g^{-1}}: A \rightarrow A$ ，使得 $\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}} = \sigma_{g^{-1}} \circ \sigma_g = I$ ，其中 $I$ 是單位變換?？梢钥疾煜旅孢@個(gè)連等式：
$(\sigma_g \circ \sigma_{g^{-1}})(a) = \sigma_g(\sigma_{g^{-1}}(a)) = g^{-1} \cdot (g \cdot a) = (gg^{-1}) \cdot a = 1 \cdot a = a$
故 $\sigma_g$ 存在右逆元。左逆元的情況類似，在此不贅述。

函數(shù) $G \rightarrow S_A$ ，定義為 $g \mapsto \sigma_g$ 是同態(tài)。為證明這一點(diǎn)，我們先定義 $\varphi: G \rightarrow S_A$ 令 $\varphi(g) = \sigma_g$ 。注意到 $S_A$ 中定義的運(yùn)算是函數(shù)復(fù)合?？疾煜旅孢@個(gè)連等式：
$\begin{aligned} \varphi(g_1g_2)(a) &= \sigma_{g_1g_2}(a) = (g_1g_2)(a) = g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = \sigma_{g_1}(\sigma_{g_2}(a)) \\ &= (\varphi(g_1) \circ \varphi(g_2))(a) \end{aligned}$

以上的 $a \in A$ 都是任取的，這樣就得到了這兩個(gè)性質(zhì)。

舉例

以下提及的集合 $A$ 都是非空的。

$ga = a$ 。這個(gè)群作用被稱為平凡作用（trivial action）。它對(duì)應(yīng)的排列即是單元排列；它關(guān)聯(lián)的函數(shù) $G \rightarrow S_A$ 被稱為平凡同態(tài)（trivial homomorphism），其將任何 $G$ 中的元素映射到 $S_A$ 上的幺元。
對(duì)于向量空間 $V(F^n)$ 和乘法群 $F^{\times}$ 有群作用 $f(v_1, v_2,...,v_n) = (fv_1, fv_2,...,fv_n)$ 。其中 $fv_i$ 定義為域 $F$ 上的乘法。
對(duì)稱群 $S_A$ 對(duì) $A$ 的作用 $\sigma \cdot a = \sigma(a)$ 。它對(duì)應(yīng)的排列是從 $S_A$ 映射到自身的單位變換。
二面體群 $D_{2n}$ 對(duì)序數(shù)集 $\{1, 2,...,n\}$ 的作用 $(\alpha, i) \mapsto \sigma_{\alpha}(i)$ 。
群 $G$ 對(duì)自身的作用 $g \cdot a = ga$ 被稱為左規(guī)則作用（left regular action）。

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群筆記速記（其一、基礎(chǔ)）

群筆記速記（其一、基礎(chǔ)）

群的定義

一些稱法和記法上的說(shuō)明

舉例

群的基本性質(zhì)

命題1.

命題2.

定義

階的舉例

二面體群

定義

生成元

定義

定義

對(duì)稱群

定義

矩陣群

定義

定義

四元數(shù)群

定義

同態(tài)和同構(gòu)

定義

定義

舉例

命題

舉例

群作用

定義

舉例

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