【線性代數(shù)啟示錄3】線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)

某些線性方程組的解有無(wú)窮多個(gè)，但是這些解可以用比較優(yōu)雅的表示方法來(lái)表示
比如
\boldsymbol A = \left (\begin{array}\\ 1 & 2 &-4 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right)

\boldsymbol b = (8, -2, 6)^\mathrm{T}

方程 Ax = b的解可以表示為
\boldsymbol x = c\left(\begin{array} \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}\right) + \left(\begin{array} \\ -4 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}\right)

這種使用一個(gè)一維數(shù)乘以一個(gè)向量的組合方式，有一種形式上的優(yōu)雅，
是不是線性方程組的任何解都可以映射到某組一維數(shù)，讓它們滿足這個(gè)線性表示？

自然會(huì)引出一些問(wèn)題，對(duì)于上面這個(gè)例子的

  • 方程組 \boldsymbol {Ax} = \boldsymbol b 的解是不是都都可以表示成 \boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2 的形式？
  • 有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的形式比如 \boldsymbol x = c\boldsymbol \xi

兩組向量 \boldsymbol \xi_1, \boldsymbol \xi_2之間如果是倍數(shù)關(guān)系，比如 \boldsymbol \xi_1 = c\boldsymbol \xi_2 , 那么
\boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2 = (cc_1 + c_2)\boldsymbol \xi_2 方程組的解就可以寫成更簡(jiǎn)單的形式

否則的話，\boldsymbol \xi_1, \boldsymbol \xi_2不是倍數(shù)關(guān)系，也就是說(shuō)不存在任何常數(shù) c 使得 \boldsymbol \xi_1 = c\boldsymbol \xi_2，再換個(gè)說(shuō)法，當(dāng) c_1c_2 \ne 0時(shí) , c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2 永遠(yuǎn)不等于 \boldsymbol 0, 它總是組合成一個(gè)非零的向量。
這就引出了線性無(wú)關(guān)的概念。
反過(guò)來(lái)就是線性相關(guān)。

再把兩組向量的情況擴(kuò)充到 n 組，就得到了 n 個(gè)向量線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的概念
即 如果存在不全為0的n個(gè)數(shù) c_1, c_2, ... , c_n 及向量 \boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n, 使得
c_1\boldsymbol\xi_1 + c_2\boldsymbol\xi_2 + ... + c_n\boldsymbol\xi_n = \boldsymbol0

那么說(shuō)向量組 \boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n 線性相關(guān)。
反之說(shuō)向量組線性無(wú)關(guān)。

由線性相關(guān)的概念繼續(xù)探究方程組可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè) n × n 的矩陣什么時(shí)候有唯一的解，什么時(shí)候有無(wú)窮個(gè)解，什么時(shí)候它的解可以表示成 m (< n) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的基底的線性表示？

  • 唯一解的情形， 增廣矩陣(\boldsymbol A ,\boldsymbol b)用高斯約化行的方式最后化成一個(gè)遞降的三角型，并且把最左邊的變量系數(shù)通過(guò)自除化成 1 ， 那么如果到了最后一行，發(fā)現(xiàn)方程組可以簡(jiǎn)化成 x_n = c 的 形式，那么說(shuō)明這個(gè)方程組有唯一的一個(gè)解，只需要逐層向上就可以遞歸地將這個(gè)唯一解求出來(lái)。
  • 無(wú)解的情形。
    如上，最后一個(gè)方程組約化成 0x_n = c(c \ne 0) 這樣
    這是個(gè)不相容的方程，這個(gè)方程組變成矛盾方程組，因而是無(wú)解；
  • 多解情形
    最后一行在約化中如果消失了會(huì)怎么樣？
    這時(shí)候，變量 x_n 可以是任何實(shí)數(shù)，那么最終 Ax = b 的解可以表示成 \boldsymbol x = c_1\boldsymbol \xi_1 + c_2\boldsymbol \xi_2
    如果倒數(shù)第三個(gè)方程組也在高斯約化行的過(guò)程中消失，意味著 x_{n-1} 也可以是任何數(shù)，這樣的話， Ax = b 的解 最少需要三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量才能表示，為什么？—— 每個(gè)變量的解被表示成 a_ix_{n} + b_ix_{n-1} + c_i 改成矩陣形式就是
    \boldsymbol x = x_n\left(\begin{array} \\ a_1\\ a_2 \\ ... \\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) + x_{n-1}\left(\begin{array} \\ b_1 \\ b_2 \\ ... \\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array} \\ c_1 \\ c_2 \\ ... \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right)

因此可以猜測(cè)，如果約化行消滅的行數(shù) 是 n - r 那么方程組的解可以表示成 r + 1 個(gè)線性無(wú)關(guān)向量的組合。
實(shí)際上就是如此。

后記

啟示錄在于理解概念的來(lái)源，而非陳述教科書(shū)中的定理。
圍繞線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)有許多命題和定理。比如，唯一表示定理，確定一組向量空間的線性無(wú)關(guān)的基 \boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, ... , \boldsymbol\xi_n，向量 \boldsymbol x 存在一個(gè)唯一的表示
\boldsymbol x = c_1\boldsymbol\xi_1 + c_2\boldsymbol\xi_2 +... + c_n\boldsymbol\xi_n

這樣的定理很好證明。比如唯一性我們可以假設(shè)有另一組表示，利用線性無(wú)關(guān)的概念，很容易推導(dǎo)出另一組表示是一模一樣；存在性我們可以用反推，如果沒(méi)有這樣的表示，就可以把向量 \boldsymbol x 擴(kuò)充進(jìn)去，向量空間的維數(shù)就會(huì)變大了，又矛盾了。
當(dāng)然本文還沒(méi)有言及向量空間的定義，維數(shù)這些概念。只是從方程組稍微延伸，一探線性相關(guān)的概念的雛形。

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