導(dǎo)數(shù)壓軸題分析與解——2018年全國(guó)卷理數(shù)1

(12 分) 已知函數(shù) f(x)=\dfrac{1}{x}-x+a \ln x.
(1) 討論 f(x) 的單調(diào)性；
(2) 若 f(x) 存在兩個(gè)極點(diǎn) x_{1}, x_{2}, 證明: \dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2.

(1) f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}-1+\dfrac{a}{x}=-\dfrac{x^{2}-a x+1}{x^{2}}(x>0)

法一：直接討論x^2-ax+1的符號(hào)

當(dāng) a \leq 0 時(shí)， f^{\prime}(x)<0 ，此時(shí) f(x) 在 (0,+\infty) 上單調(diào)遞減；
當(dāng) a>0 時(shí)，令 g(x)=x^{2}-a x+1 ，判別式 \Delta=a^{2}-4
?) 當(dāng) \Delta \leq 0 時(shí)，此時(shí) 0<a \leq 2, \quad g(x) \geq 0, 從而 f^{\prime}(x) \leq 0， f(x) 在 (0,+\infty) 上單調(diào)遞減；
ii) 當(dāng) \Delta>0 時(shí)，此時(shí) a>2 ，設(shè) g(x)=0 的兩根為 x_{1}, x_{2}， 且 x_{1}<x_{2}， 利用求根公式得
x_{1}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}>0, \quad x_{2}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}>0
當(dāng) x \in\left(0, x_{1}\right),\left(x_{2},+\infty\right) 時(shí) , g(x)>0, 從而 f^{\prime}(x)<0, f(x) 在 \left(0, x_{1}\right) 和 \left(x_{2},+\infty\right) 單調(diào)遞減；
當(dāng) x \in\left(x_{1}, x_{2}\right) 時(shí) , \quad g(x)<0, 從而 f^{\prime}(x)>0, 此時(shí) f(x) 在 \left(x_{1}, x_{2}\right) 上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng) a \leq 2 時(shí)， f(x) 在 (0,+\infty) 上單調(diào)遞減；

當(dāng) a>2 時(shí) , f(x) 在 \left(0, \dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right) 和 \left(\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2},+\infty\right)上單調(diào)遞減 ，在 \left(\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right) 上單調(diào)遞增. ?

法二：對(duì)x^2-ax+1分參

令x^2-ax+1=0，得a=x+\dfrac{1}{x}，數(shù)形結(jié)合知

當(dāng)a\leq 2時(shí)，a\leq x+\dfrac{1}{x}，則x^2-ax+1\geq 0，從而f^{\prime}(x)\leq 0，此時(shí) f(x) 在 (0,+\infty) 上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時(shí)，由a= x+\dfrac{1}{x}，解得x_{1}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \quad x_{2}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}，則

f(x) 在 \left(0, \dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right) 和 \left(\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2},+\infty\right)上單調(diào)遞減 ，在 \left(\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right) 上單調(diào)遞增.

(2)

法一：

由(1)可知，若 f(x) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 a>2 ，且 f^{\prime}(x)=0 的兩根即為 x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)且滿(mǎn)足韋達(dá)定理 x_{1}+x_{2}=a, \quad x_{1} x_{2}=1 .

易得 0<x_{1}<1, \quad x_{2}>1, \quad x_{1}=\dfrac{1}{x_{2}}，

\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}=\dfrac{f(\dfrac{1}{x_2})-f(x_2)}{\dfrac{1}{x_2}-x_2}=\dfrac{2f(x_2)}{x_2-\dfrac{1}{x_2}}，
若要證 \dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2, 只須證 2 f\left(x_{2}\right)<(a-2)\left(x_{2}-\dfrac{1}{x_{2}}\right)，
整理得 2 \ln x_{2}- x_{2}+\dfrac{1}{x_{2}}<0 \quad\left(x_{2}>1\right)，
構(gòu)造函數(shù) h(x)=2 \ln x- x+\dfrac{1}{x}(x>1) ，求導(dǎo)得 h^{\prime}(x)=\dfrac{2 }{x}-1-\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}} \leq 0
因此 h(x) 在 (1,+\infty) 上單調(diào)遞滅 , \therefore h(x)<h(1)=0, 從而 2 \ln x_{2}- x_{2}+\dfrac {1}{x_{2}}<0 \quad\left(x_{2}>1\right)成立，原式得證。

法二：

\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} =\dfrac{\dfrac{1}{x_{2}}-x_{2}+a \ln x_{2}-\left(\dfrac{1}{x_{1}}-x_{1}+a \ln x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} =\dfrac{\dfrac{x_{1}-x_{2}}{x_{1} x_{2}}-\left(x_{2}-x_{1}\right)+a\left(\ln x_{2}-\ln x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}
=-\dfrac{1}{x_{1} x_{2}}-1+\dfrac{a\left(\ln x_{2}-\ln x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} =-2+\dfrac{a\left(\ln x_{2}-\ln x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}

要證\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2， 只須證\dfrac{\ln x_{2}-\ln x_{1}}{x_{2}-x_{1}}<1

這里思路又有兩個(gè)：

思路一

\dfrac{\ln x_{2}-\ln x_{1}}{x_{2}-x_{1}}<1\Leftrightarrow \ln \dfrac{x_{2}}{x_{1}}<x_{2}-x_{1}

由于x_{1}=\dfrac{1}{x_{2}}， 上式可轉(zhuǎn)化為 \ln x_{2}^{2}=2 \ln x_{2}<x_{2}-\dfrac{1}{x_{2}} \Leftrightarrow 2 \ln x_{2}-x_{2}+\dfrac{1}{x_{2}}<0，

構(gòu)造函數(shù) p(x)=2 \ln x-x+\dfrac{1}{x}(x>1)， 則 p^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x}-1-\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}} \leq 0， 故 p(x)<p(1)=0，原結(jié)論得證.

思路二

聯(lián)系到對(duì)數(shù)均值不等式\forall a>b>0, a \neq b, \quad \sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}，有\dfrac{\ln x_{2}-\ln x_{1}}{x_{2}-x_{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=1.

則把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)數(shù)均值不等式的基本問(wèn)題，這個(gè)不等式請(qǐng)自己證明，網(wǎng)上隨便一搜，也能找到.

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時(shí)請(qǐng)結(jié)合常識(shí)與多方信息審慎甄別。
平臺(tái)聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡(jiǎn)書(shū)系信息發(fā)布平臺(tái)，僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容