數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問(wèn)題稱之為“貝克萊悖論”。籠統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究竟是否為0”的問(wèn)題：就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。1734年，大主教喬治·貝克萊(George Berkeley) “渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長(zhǎng)的書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理》。這本書中，貝克萊對(duì)牛頓的理論進(jìn)行了攻擊。例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說(shuō)x的導(dǎo)數(shù)，先將 ?取一個(gè)不為0的增量Δx，由(x + Δx)2 ? x2，得到2xΔx + (Δx)2 ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得導(dǎo)數(shù)為2x 。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說(shuō)是零，一會(huì)兒又說(shuō)不是零。因此，貝克萊嘲笑無(wú)窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說(shuō)出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。解決 ?聽(tīng)語(yǔ)音

使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步?？挛饔?821年開(kāi)始出版了幾本具有劃時(shí)代意義的書與論文。其中給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。如他開(kāi)始用不等式來(lái)刻畫極限，使無(wú)窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)。這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”。由此，沿柯西開(kāi)辟的道路，建立起來(lái)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過(guò)許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。——摘自百度百科