回顧一下函子的性質(zhì)，他是一種保持范疇結(jié)構(gòu)的映射，從定義域范疇到陪域范疇。

在這種基礎(chǔ)上，可以根據(jù)函子對更高級結(jié)構(gòu)的保持而定義出保持某種結(jié)構(gòu)的函子，比如保持積結(jié)構(gòu)的函子，保持等值子結(jié)構(gòu)的函子，以及保持極限的函子，這些定義都是其實(shí)說了同一件事，當(dāng)定義域范疇中存在某種結(jié)構(gòu)時，這種結(jié)構(gòu)經(jīng)函子映射到陪域范疇時同樣是陪域范疇的這種結(jié)構(gòu)。

就像各種保持運(yùn)算的映射一樣，可以這樣表示，類似于群同態(tài)對群乘法的保持。一個重要的例子就是遺忘函子，，這個函子顯然是保持積結(jié)構(gòu)的，兩群直積，經(jīng)函子作用后就是兩群的基礎(chǔ)集的笛卡爾積，所以，積結(jié)構(gòu)經(jīng)函子作用后仍然是積結(jié)構(gòu)。

上面的是函子對結(jié)構(gòu)的正向保持作用，自然我們就考慮到了函子對結(jié)構(gòu)的反向保持作用，也就是說，對于陪域范疇中的某種結(jié)構(gòu)，總能在定義域范疇中找到同種結(jié)構(gòu)，經(jīng)函子作用后正好是陪域范疇中的這個結(jié)構(gòu)。就像連續(xù)映射的定義一樣，對于，Y中的開集的逆象一定是X中的開集。這種作用被稱為生成。

對結(jié)構(gòu)的生成應(yīng)該是比較奇妙的性質(zhì)，因?yàn)橐话愣际乔巴坪螅苌儆泻笸魄啊?/p>

同樣我們考慮遺忘函子，已知，集合上有層級結(jié)構(gòu)，或者說是一種序結(jié)構(gòu)，通過空集和冪集映射，我們就能構(gòu)造出這樣的序，通常也被稱為序數(shù)，前面的幾個元素可以表示為

后一個序數(shù)總包含前面所有的序數(shù)。所以基于集合包含關(guān)系，全體序數(shù)構(gòu)成一個全序關(guān)系。可以簡寫為0,1,2,3...

這樣的結(jié)構(gòu)就可以構(gòu)造出一個極限，形式上就是一個序列極限。

根據(jù)前面學(xué)到的函子的生成關(guān)系，就得到了群的這樣的序列極限。

對于有限序數(shù)而言，他的極限就和第一個無限序數(shù)有關(guān)，對應(yīng)的就可以定義一個。于是，群和群同態(tài)所組成的這樣的群序列，就是由集合和冪集映射構(gòu)成的這種序列結(jié)構(gòu)生成出來的。

后面部分寫的很吃力，看來對這部分還沒有理解透徹。