同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第七版1.10習(xí)題精講（續(xù)）

4、證明任一最高次冪的指數(shù)為奇數(shù)的代數(shù)方程a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0至少有一實(shí)根，其中系數(shù)均為常數(shù)，n\in N

證明：設(shè)函數(shù)f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}則它為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)|x|充分大時(shí)，可以得出f(x)大小和第一項(xiàng)有關(guān)。當(dāng)x為正數(shù)，f(X)也為正，否則為負(fù)，所以滿足零點(diǎn)定理。問(wèn)題得證。

5、若f(x)在[a,b]上連續(xù)，a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b(n\geq3)，則在(x_1,x_n)內(nèi)至少有一點(diǎn)\xi，使得f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最大值M和最小值m，將各點(diǎn)的函數(shù)值加在一起會(huì)大于nm，小于nM。所以

m\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leq M，根據(jù)介值定理，令f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

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