估計基礎

估計基礎

1.1 估計的數(shù)學問題

在對數(shù)據(jù)進行估計時，第一步就是建立數(shù)據(jù)的數(shù)學模型。由于數(shù)據(jù)固有的隨機性，所以可以用它的概率密度函數(shù)PDF來描述它。

p(x[0];\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp[-\frac{1}{2\sigma^2}(x[0]-\theta)^2]
上式表示x[0]的PDF，其中\theta是未知量，會影響x[0]的PDF。如下圖所示

image.png
所以我們可以通過觀測到的x[0]來推測未知量$\theta$的值，例如如果x[0]是個負數(shù)，那么$\theta_1$就值得懷疑。

但是**在實際問題中，我們可能無法得到x真實的PDF，所以需要選擇一個不僅與問題的約束和先驗知識一致的，而且在數(shù)學上也容易處理的PDF**。

1.2 估計量性能評估

如何評價所選擇的估計量的性能，可以通過以下兩個方面
  1. 估計量的數(shù)學期望與真值的關系。
  2. 估計量的方差大小。
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