2.1 數(shù)制與編碼

2.1.1 進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)化

r進(jìn)制數(shù)：每個(gè)數(shù)碼可能出現(xiàn)r種字符，逢r進(jìn)1，每個(gè)數(shù)碼位所用到的不同符號的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，r 進(jìn)制的基數(shù)為r

一個(gè)r進(jìn)制數(shù)( $K_{n}K_{n-1}\cdots K_2K_1K_0K_{-1}K_{-2}\cdots$ )可表示為
$K_nr^n+K_{n-1}r^{n-1}+\cdots+K_0r^0+K_{-1}r^{-1}+\cdots=\sum_{i=n}^{-m}{K_ir^i}$
八進(jìn)制—> 二進(jìn)制：每位八進(jìn)制對應(yīng)的3位二進(jìn)制

十六進(jìn)制—> 二進(jìn)制：每位十六進(jìn)制對應(yīng)的4位二進(jìn)制

二進(jìn)制 —> 十六進(jìn)制：4位一組，毎組轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的十六進(jìn)制符號

二進(jìn)制 —> 八進(jìn)制：3位一組，毎組轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的八進(jìn)制符號

十進(jìn)制—> 任意進(jìn)制：整數(shù)除基取余法，小數(shù)乘基取整法

Eg:75.3，75D = 1001011B，0.3D = 0.01001… B，過程如下圖所示

進(jìn)制轉(zhuǎn)化.png

2.1.2 真值和機(jī)器數(shù)

真值：符合人類習(xí)慣的數(shù)字，即實(shí)際的帶符號的數(shù)值
機(jī)器數(shù)：數(shù)字實(shí)際存到機(jī)器里的形式，正負(fù)號需要被“數(shù)字化”

BCD碼大綱已經(jīng)刪除，這里不寫出

2.1.3 字符與字符串

ASCII碼

ASCII碼.png

漢字表示：GB 2312-80 :漢字+各種符號共7445個(gè)

2.1.4 校驗(yàn)碼

2.1.4.1 奇偶校驗(yàn)碼

由若干位代碼組成的一個(gè)字叫碼字。將兩個(gè)碼字逐位進(jìn)行對比，具有不同的位的個(gè)數(shù)稱為兩個(gè)碼字間的距離。一種編碼方案可能有若干個(gè)合法碼字，各合法碼字間的最小距離稱為“碼距”。

當(dāng)d=1時(shí)，無檢錯能力；當(dāng)d=2時(shí)，有檢錯能力；當(dāng)d≥3時(shí)，若設(shè)計(jì)合理，可能具有檢錯、糾錯能力

奇偶校驗(yàn)碼即由若干位有效信息再加上一個(gè)二進(jìn)制位(校驗(yàn)位)組成校驗(yàn)碼，校驗(yàn)碼的取值(0或1)，整個(gè)校驗(yàn)碼（有效信息位和校驗(yàn)位）中“1”的個(gè)數(shù)，為奇數(shù)時(shí)稱為奇校驗(yàn)碼，為偶數(shù)時(shí)稱為偶校驗(yàn)碼

偶校驗(yàn)的硬件實(shí)現(xiàn)：各信息進(jìn)行異或（模2加）運(yùn)算，得到的結(jié)果即為偶校驗(yàn)位

2.1.4.2 海明校驗(yàn)碼

將n個(gè)信息位分為k份，分別對其進(jìn)行奇偶校驗(yàn)，校驗(yàn)位數(shù)目
$2^k\ge n+k+1$
求解步驟

由公式確定海明碼的位數(shù)
確定校驗(yàn)位的分布：校驗(yàn)位 $P_i$ 放在海明位號為 $2^{i-1}$ 的位置上信息位按順序放到其余位置
求校驗(yàn)位的值
糾錯

海明碼的檢錯能力2位、糾錯能力1位

海明碼求解.png

2.1.4.3 循環(huán)冗余校驗(yàn)碼(CRC)

思想：數(shù)據(jù)發(fā)送、接受方約定一個(gè)“除數(shù)”；K個(gè)信息位+R個(gè)校驗(yàn)位作為“被除數(shù)”，添加校驗(yàn)位后需保證除法的余數(shù)為0；收到數(shù)據(jù)后，進(jìn)行除法檢查余數(shù)是否為0

例：設(shè)生成多項(xiàng)式為G(x)=x3+x2+1，信息碼為101001

K為信息碼的位數(shù)=6，R=最高次冪=3，N=K+R=9

$G=1*x^3+1*x^2*0*x^1+1*x^0=1101$

信息碼左移R位，低位補(bǔ)0(101001000)對1101做除法運(yùn)算，得到110101余數(shù)001(校驗(yàn)位)

因此CRC=101001 001

其檢錯能力：

可檢測出所有奇數(shù)個(gè)錯誤；
可檢測出所有雙比特的錯誤；
可檢測出所有小于等于校驗(yàn)位長度的連續(xù)錯誤；

2.2 定點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算

定點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)的位置固定，如996.007
浮點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)的位置不固定，如9.96007*10^2

2.2.1 無符號數(shù)的概念

無符號數(shù)：整個(gè)機(jī)器字長的全部二進(jìn)制位均為數(shù)值位，沒有符號位，相當(dāng)于數(shù)的絕對值。

n位無符號數(shù)的表示范圍為 $(0,2^n-1)$

2.2.2 有符號數(shù)的定點(diǎn)表示

可用原碼、反碼、補(bǔ)碼三種方式來表示定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)。還可用移碼表示定點(diǎn)整數(shù)。

2.2.2.1 原碼

原碼：用尾數(shù)表示真值的絕對值，符號位“0/1”對應(yīng)“正/負(fù)”

若機(jī)器字長為n+1位，則尾數(shù)占n位

源碼整數(shù)范圍 $-(2^n-1)\le x\le2^n-1$

源碼小數(shù)范圍 $-(1-2^{-n})\le 1-2^{-n}$

2.2.2.2 反碼

若符號位為0，則反碼與原碼相同
若符號位為1，則數(shù)值位全部取反

若機(jī)器字長n+1位，反碼整數(shù)的表示范圍 $-(2^n-1)\le x\le2^n-1$

真值0有+0 和-0 兩種形式

反碼小數(shù)的表示范圍： $-(1-2^{-n})\le 1-2^{-n}$

真值0有+0 和-0 兩種形式

2.2.2.3 補(bǔ)碼

正數(shù)的補(bǔ)碼=原碼
負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼=反碼末位+1（要考慮進(jìn)位）

定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼[x]補(bǔ)= 1,0000000表示 $-2^7$

定點(diǎn)小數(shù)補(bǔ)碼[x]補(bǔ)= 1.0000000表示x = -1

[+0]補(bǔ)= [-0]補(bǔ)= 00000000，即0只有1種表示形式

補(bǔ)碼整數(shù)的表示范圍 $-2^n\le x\le2^n-1$

補(bǔ)碼小數(shù)的表示范圍 $-1\le 1-2^{-n}$

2.2.2.4 移碼

移碼：補(bǔ)碼的基礎(chǔ)上將符號位取反

移碼只能用于表示整數(shù)，移碼整數(shù)的表示范圍與補(bǔ)碼相同

2.2.3 定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

2.2.3.1 移位運(yùn)算

移位運(yùn)算：通過改變各個(gè)數(shù)碼位和小數(shù)點(diǎn)的相對位置，從而改變各數(shù)碼位的位權(quán)，可用移位運(yùn)算實(shí)現(xiàn)乘法、除法

原碼的算數(shù)移位——符號位保持不變，僅對數(shù)值位進(jìn)行移位。

右移：高位補(bǔ)0，低位舍棄。若舍棄的位=0，則相當(dāng)于÷2；若舍棄的位≠0，則會丟失精度
左移：低位補(bǔ)0，高位舍棄。若舍棄的位=0，則相當(dāng)于×2；若舍棄的位≠0，則會出現(xiàn)嚴(yán)重誤差

反碼的算數(shù)移位——正數(shù)的反碼與原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼數(shù)值位與原碼相反，負(fù)數(shù)反碼的移位運(yùn)算規(guī)則如下

右移：高位補(bǔ)1，低位舍棄。
左移：低位補(bǔ)1，高位舍棄。

補(bǔ)碼的算數(shù)移位——正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼相同，負(fù)數(shù)補(bǔ)碼=反碼末位+1導(dǎo)致反碼最右邊幾個(gè)連續(xù)的1都因進(jìn)位而變?yōu)?，直到進(jìn)位碰到第一個(gè)0為止。負(fù)數(shù)補(bǔ)碼的算數(shù)移位規(guī)則如下：

右移（同反碼）：高位補(bǔ)1，低低位舍棄。
左移（同原碼）：低位補(bǔ)0，高位舍棄。

規(guī)律——負(fù)數(shù)補(bǔ)碼中，最右邊的1及其右邊同原碼。最右邊的1的左邊同反碼

算數(shù)移位左移相當(dāng)于×2；右移相當(dāng)于÷2,規(guī)則如上
邏輯移位：左移和右移都是補(bǔ)0
循環(huán)移位：若不帶進(jìn)位位(CF)，則用移出的位補(bǔ)上空缺，若有進(jìn)位位，則最高位存放到進(jìn)位位里

2.2.3.2 原碼的加減運(yùn)算

原碼的加法運(yùn)算：

正+正：絕對值做加法，結(jié)果為正
負(fù)+負(fù)：絕對值做加法，結(jié)果為負(fù)
正+負(fù)：絕對值大的減絕對值小的，符號同絕對值大的數(shù)
負(fù)+正：絕對值大的減絕對值小的，符號同絕對值大的數(shù)

原碼的減法運(yùn)算，“減數(shù)”符號取反，轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃ǎ?/p>

2.2.3.3 補(bǔ)碼的加減運(yùn)算

補(bǔ)碼的加減運(yùn)算.png

轉(zhuǎn)化小技巧

①數(shù)值位取反+1；
②負(fù)數(shù)補(bǔ)碼中，最右邊的1及其右邊同原碼。最右邊的1的左邊同反碼

2.2.3.4 溢出判斷

溢出時(shí)指運(yùn)算結(jié)果超過了數(shù)所能表示的范圍

只有“正數(shù)+正數(shù)”才會上溢——正+正=負(fù)
只有“負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)”才會下溢——負(fù)+負(fù)=正

采用一位符號位

設(shè)A的符號為 $A_S$ ，B的符號為 $B_S$ ，運(yùn)算結(jié)果的符號為 $S_S$ ，則溢出邏輯表達(dá)式為
$V = A _ SB_S\overline{S_S}+\overline{A_S}\overline{B_S}S_S$
若V=0，表示無溢出；若V=1，表示有溢出。

采用一位符號位，根據(jù)數(shù)據(jù)位進(jìn)位情況判斷溢出

設(shè)符號位的進(jìn)位 $C_S$ 最高數(shù)值位的進(jìn)位 $C_1$
$V=C_S\oplus C_1$
若V=0，表示無溢出；V=1，表示有溢出。

采用雙符號位

正數(shù)符號為00，負(fù)數(shù)符號為11,記兩個(gè)符號位為 $S_{S1}S_{S2}$ ，
$V=S_{S_1}\oplus{S_{S2}}$

$S_{S1}S_{S2}=00$ 表示為正數(shù)，無溢出

$S_{S1}S_{S2}=01$ 表示正溢出

$S_{S1}S_{S2}=11$ 表示為負(fù)數(shù)，無溢出

$S_{S1}S_{S2}=10$ 表示為負(fù)溢出

2.2.3.5 符號擴(kuò)展

定點(diǎn)整數(shù)的符號擴(kuò)展：在原符號位和數(shù)值位中間添加新位，正數(shù)都添0；負(fù)數(shù)原碼添0，負(fù)數(shù)反、補(bǔ)碼添1
定點(diǎn)小數(shù)的符號擴(kuò)展：在原符號位和數(shù)值位后面添加新位，正數(shù)都添0；負(fù)數(shù)原、補(bǔ)碼添0，負(fù)數(shù)反碼添1

2.2.3.6 原碼的乘法運(yùn)算

對兩個(gè)原碼
$[x]_原=x_sx_1x_2\cdots x_n,[y]_原=y_1y_2\cdots y_n$

符號位單獨(dú)處理，符號位結(jié)果為 $x_s\oplus y_s$
數(shù)值位取絕對值進(jìn)行乘法計(jì)算,實(shí)現(xiàn)方法：先加法再移位，重復(fù)n次

當(dāng)前位=1，則ACC加上被乘數(shù)
當(dāng)前位=0，則ACC加上0

原碼一位乘法.png

2.2.3.7 補(bǔ)碼乘法運(yùn)算

n輪加法、算數(shù)右移，加法規(guī)則如下：

輔助位- MQ中最低位= 1時(shí)，(ACC)+[x]補(bǔ)
輔助位- MQ中最低位= 0時(shí)，(ACC)+0
輔助位- MQ中最低位= -1時(shí)，(ACC)+[-x]補(bǔ)

補(bǔ)碼一位乘法.png

2.2.3.8 原碼除法運(yùn)算

恢復(fù)余數(shù)法，實(shí)現(xiàn)方法：上商0/1，得到余數(shù)，余數(shù)末尾補(bǔ)0

恢復(fù)余數(shù)法.png

加減交替法：當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)商0，并左移，再+|除數(shù)|

加減交替法.png

2.2.3.9 補(bǔ)碼除法運(yùn)算

余數(shù)和除數(shù)同號，商1，余數(shù)左移一位減去除數(shù)；余數(shù)和除數(shù)異號，商0，余數(shù)左移一位加上除數(shù)。重復(fù)n次

被除數(shù)和除數(shù)同號，則被除數(shù)減去除數(shù)；異號則被除數(shù)加上除數(shù)。

補(bǔ)碼除法.png

2.2.4 C語言種的整數(shù)類型和類型轉(zhuǎn)化

C語言中的定點(diǎn)整數(shù)是用補(bǔ)碼來存儲的

無符號數(shù)與有符號數(shù)的類型轉(zhuǎn)化

int main(){
    short x = -4321;
    unsigned short y = (unsigned short)x;
    printf("x=%d,y=%d",x,y);  //output:x=-4321,y=61215
}

可以看出來，轉(zhuǎn)化不改變數(shù)據(jù)內(nèi)容，改變解釋方式

不同類型長整數(shù)轉(zhuǎn)化

int main(){
    int x = 165537, u = -34991;
    short y = (short)x, v=(short)u;
    printf("x=%d,y=%d\n",x,y); //output:x=165537,y=-31071
    printf("u=%d,v=%d\n",u,v); //output:u=-34991,v=30545
}

長整數(shù)變短整數(shù)：高位截?cái)?，低位保?/p>

短整數(shù)變長整數(shù)：符號擴(kuò)展

2.2.5 數(shù)據(jù)的存儲和排列

數(shù)據(jù)的存儲和排列.png

2.3 浮點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算

2.3.1 浮點(diǎn)數(shù)的表示

2.3.1.1 浮點(diǎn)數(shù)的表示格式

浮點(diǎn)數(shù)的真值一般表示為
$N=r^E×M$
其中，r是浮點(diǎn)數(shù)階碼的底，與尾數(shù)基數(shù)相同，E稱為階碼，M稱為尾數(shù)

階碼E反映浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍及小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置；
尾數(shù)M的數(shù)值部分的位數(shù)n反映浮點(diǎn)數(shù)的精度。

尾數(shù)給出一個(gè)小數(shù)，階碼指明了小數(shù)點(diǎn)要向前/向后移動幾位。

浮點(diǎn)數(shù).png

2.3.1.2 浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化

規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)：規(guī)定尾數(shù)的最高數(shù)值位必須是一個(gè)有效值。

左規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果為非規(guī)格化時(shí)要進(jìn)行規(guī)格化處理，將尾數(shù)算數(shù)左移一位，階碼減1。

右規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果尾數(shù)出現(xiàn)溢出（雙符號位為01或10）時(shí)，將尾數(shù)算數(shù)右移一位，階碼加1。

用原碼表示的尾數(shù)進(jìn)行規(guī)格化：

正數(shù)為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
尾數(shù)的表示范圍為 $1/2≤M≤(1?2^{?n})$ 。
負(fù)數(shù)為1.1××…×的形式，其最大值表示為1.10…0；最小值表示為1.11…1。
尾數(shù)的表示范圍為 $?(1?2^{?n})≤M≤?1/2$ 。

用補(bǔ)碼表示的尾數(shù)進(jìn)行規(guī)格化：

正數(shù)為0.1××…×的形式，其最大值表示為0.11…1；最小值表示為0.10…0。
尾數(shù)的表示范圍為 $1/2≤M≤(1?2^{?n})$ 。
負(fù)數(shù)為1.0××…×的形式，其最大值表示為1.01…1；最小值表示為1.00…0。
尾數(shù)的表示范圍為 $?1≤M≤?(1/2+2^{?n})$ 。

2.3.1.3 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)

IEEE 754標(biāo)準(zhǔn).png

階碼真值=移碼-偏移量

圖片.png

2.3.2 浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算

浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算.png

2.4 算術(shù)邏輯單元(ALU)

2.4.1 串行加法器和并行加法器

一位全加器

全加器(FA)是最基本的加法單元，有加數(shù)( $A_i$ )，加數(shù)( $B_i$ )與低位傳來的進(jìn)位( $C_{i-1}$ )三個(gè)輸入，有本位和向高位的進(jìn)位共兩個(gè)輸出

一位全加器.png

輸入公式為
$S_i=A_i\oplus B_i \oplus C_{i-1},C_i=A_iB_i+(A_i\oplus B_i)C_{i-1}$

串行加法器

只有一個(gè)全加器，數(shù)據(jù)逐位串行送入加法器中進(jìn)行運(yùn)算。進(jìn)位觸發(fā)器用來寄存進(jìn)位信號，以便參與下一次運(yùn)算。

并行加法器

把n個(gè)全加器串接起來，就可進(jìn)行兩個(gè)n位數(shù)的相加。

并行加法器.png

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計(jì)算機(jī)組成原理(二)數(shù)據(jù)的表示和運(yùn)算

計(jì)算機(jī)組成原理(二)數(shù)據(jù)的表示和運(yùn)算

2.1 數(shù)制與編碼

2.1.1 進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)化

2.1.2 真值和機(jī)器數(shù)

2.1.3 字符與字符串