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歐拉公式

據(jù)說歐拉公式是宇宙第一公式，我的數(shù)學水平不足以證明這道公式。但是重溫數(shù)學過程中，對0，1，π，e，i這些符號還是印象挺深刻的，它們是數(shù)學史上里程碑式的常數(shù)，對它們的理解也比上學時自認為有了更深的感悟。

一、0和相反數(shù)

0是一級運算也就是加減法運算的單位元。

對于某種運算??（注意：這里代表通用運算的表示符號，并不是特指乘法），如果對于任何的集合元素?x和元素甲運算，得到還是集合元素本身，則稱元素甲為這個運算下的單位元。

在加法運算中，任意實數(shù)x，有?x+甲=甲+x=x，則單位元甲=0。

對于加法，如果任意兩個元素的運算結果等于單位元，則稱這兩個元素互為逆元。在加法運算中，任意實數(shù)?x的逆元為??x。

加法逆元就是將某項操作歸于單位元0的操作。加法運算中的逆元，就是相反數(shù)的概念。

將a-（b-c）=a+【0-（b-c）】=a+【（b-c）的加法逆元】=a+【將（b-c）歸于0的元素】=a+【-b+c】=a+c-b=a+c+【0-b】=a+c+【將b歸于0的元素】=a+c+【-b】

加減運算因為是一級運算，過于直觀，往往讓我們忽略了減法本質是加法的逆運算。正是借助往往被隱去的數(shù)字0，我們才能將減法操作轉換為加法操作。從中產(chǎn)生了相反數(shù)的概念。

二、1和倒數(shù)（英文原文是Reciprocal，意為互惠的、相應的）

1是二級運算也就是乘除法運算的單位元。

在乘法運算中，任意實數(shù)x，有?x×甲=甲×x=x，則單位元甲=1。

對于乘法，如果任意兩個元素的運算結果等于單位元，則稱這兩個元素互為逆元。在乘法運算中，任意實數(shù)?x的逆元為?1/x。

乘法逆元就是將某項操作歸于單位元1的操作。

a÷（b÷c）=a×【1÷（b÷c）】=a×【（b÷c）的乘法逆元】=a×【將（b÷c）歸于1的元素】=a×c÷b=a×c×【1÷b】=a×c×【b的逆元】=a×c×【1/b】

記得小學時學到倒數(shù)的概念，老師講完課我整個人都懵逼了，不停的問身邊的小伙伴，倒數(shù)講的什么意思，聽不懂。小伙伴用一種非常詫異的眼光看我，說很簡單啊就是整數(shù)變成1/整數(shù)，分數(shù)就上下倒過來，當時的景象現(xiàn)在依然歷歷在目。現(xiàn)在想來，我早早就進入了數(shù)學思維的沼澤地，這是我思維中對數(shù)學第一個不能理解的東西，學習倒數(shù)的意義是什么？將分數(shù)上下顛倒的意義是什么？我的數(shù)學悟性之差在小學三四年級就體現(xiàn)出來了。

通過現(xiàn)在的學習，我才領悟到正是借助往往被隱去的數(shù)字1，我們才能將除法操作轉換為乘法操作。從中產(chǎn)生了倒數(shù)的概念。

三、π和旋轉角度的實數(shù)化

圓周率“π”是一個無理數(shù)，即是無限且不循環(huán)的數(shù)。為什么圓周率會是一個無理數(shù)呢？首先，揭秘圓周率為什么是一個無限的數(shù)，這需要從圓周率的由來說起。顧名思義，“圓”指平面因半徑繞一端點旋轉一周形成的封閉圓形，“周”指這個圓的周長，“率”指這個周長與直徑的比值。圓的半徑是線段，只要給定標尺，我們很容易盡量準確得到線段與標尺的關系，從而得到半徑的“數(shù)值”表示的長度。圓的周長是閉合的同曲率的曲線，不同半徑的圓形成的周長的曲率各不相同，導致人類無法一勞永逸地用同一曲線標尺測量各種曲線長度。那我們?nèi)绾螠y量最簡單的最有規(guī)律的圓曲線長度，即如何測量圓的周長呢？

聰明的人類祖先們想出一種方法，就是把圓周長C均分成N段，把這每一段曲線的曲線長l，用相應曲線兩端點形成的直線段長L代替，這樣就近似得出圓曲線周長所確定的C值。N取值越大，C值與真實圓周長間差值越小，通過上述公計算的圓周長越接近于真實圓周長。此種方法就是最早期的簡單數(shù)學建模思想。很明顯能夠發(fā)現(xiàn)，圓周長為曲線段長，而半徑為直線段長，前者為二維線段，后者為一維線段，二者本來為不同的維度下的圖形內(nèi)容，不具有相提并論的度量關系。但人類研究發(fā)現(xiàn)，二者間極可能存在某種“固有”聯(lián)系，這個聯(lián)系就是“圓周率非?？赡苁且粋€固定數(shù)”；即，對于不同半徑的圓，其周長和直徑之比極大可能為同一個數(shù)。當然，這只是一種猜測，直到當今也沒有人能夠直接證明不同半徑的兩個圓的圓周率為同一個數(shù)；這是因為我們無法確定圓周率這個確定數(shù)值究竟是多少。也就是說，人類連單一圓的圓周率是多少都沒有確定，就無法進行下一步的對比工作。

用一維直線段近似求得二維曲線段長度的方法分析，只要這個一維直線段還是一維直線段，就存在一個量差；這里面涉及一個問題：存在有且只有兩個點的直線段嗎？因為一旦存在這樣有且只有兩個點的直線段，那么再對這個有且只有兩個點的直線段進行一次平均分時，就可以得到只含一個點的直線段了。而答案很明顯：無論直線段多短多小，任何直線段上的點是無限的。這個結論讓人類會覺得極為無可奈何，我們是無論如何也無法計算出準確（差量為0）的圓周長。無法計算出準確的圓周長，準確的圓周率自然無法計算出來。直線段L每平均分一次，計算出的圓周長C越接近真實值，但是這是個沒有終點的過程，因為任意直線能夠無限平均分；所以，圓周率是算不盡的，即圓周率是無限的。其次，對于圓周率是否是無限不循環(huán)的，這個也無法給出準確答案，因為我們無法確認圓周率在小數(shù)點后面的所有位數(shù)的數(shù)值，當然就無法回答這個問題。就當前人類的計算結果，圓周率小數(shù)點后面是無限不循環(huán)的是肯定的。

圓周率概念的形成過程及本質，已經(jīng)注定它是算不盡的。當然，圓周率的位數(shù)計算能夠一定程度反映算法和計算工具的先進程度，因此進行的關于圓周率小數(shù)點后位數(shù)盡量多的計算是有一定意義的。如果一味追求想把圓周率算盡，這樣的想法無疑于不懂圓周率形成過程及本質，這樣的行為是對包括電力在內(nèi)的所有相關資源的無意義的浪費。在平常生活中的計算，圓周率小數(shù)點后兩位一般就夠用了，所以，更沒有必要進行無意義的工作。

盡管從圓周率π很容易發(fā)現(xiàn)一個道理：宇宙事物都具有確定性，而這種確定性又無法被人類精確捕獲。但是π作為無理數(shù)的一個符號，因為與圓的關系，這個無理數(shù)成為了旋轉角度的實數(shù)表達。

角度制是將圓周分為360等份，每一份叫一度。由于地球的公轉，地球上的我們就像看走馬燈一樣，在特定的時間看到特定的星座。古人發(fā)現(xiàn)了這個規(guī)律，并且以星座為參照物，近似觀察出循環(huán)周期為360天，也就是一年。因此，天就被等分成了360份，也就是圓被等分成了360份，以此創(chuàng)立了角度制衡量角的大小，說的確切一點角度制是從圓周運動的觀察者角度出發(fā)來定義的。

用單位圓上的點圍繞圓心旋轉，旋轉的路徑和角度弧度。用單位圓上點隨半徑旋轉運動的弧長大?。ú话▎挝唬┒x此時圓心角的大小，將這種角衡量標準叫做弧度制。從弧度的定義可以看出，弧度是一個沒有量綱的量（如實數(shù)一樣），因為弧長比半徑，長度單位被約掉了，這里注意rad只是弧度的符號，并不是量綱意義上的單位。

在這種弧度的定義下就將角與實數(shù)建立了聯(lián)系（用數(shù)表示角），數(shù)和角本是兩個獨立的概念（一個是幾何概念，一個是代數(shù)概念）我們用數(shù)來衡量角，給角一個標度，就是將角度實數(shù)化?；《染褪菍崝?shù)化的角度量化標準。

弧度制簡單來說就是:把180°對應到π，以前的sin(90°),cos(30°)就變成sin(π/2),cos(π/6)......

sin(π/6)=1/2，實現(xiàn)了實數(shù)與實數(shù)對應，實現(xiàn)了用實數(shù)來表達旋轉運動，這是π的偉大意義！

四、e（累積式復式增長的極限）和反函數(shù)

e在自然界真的處處存在，不過直到1727年，歐拉（Euler）才第一次使用。后面為了紀念歐拉，就把這個數(shù)記為e。

伯努利是被認為第一次把e寫下來的人，因為他通過計算得出了接近e的值。

他做了一個思維實驗，思考在相同的速度下，在不同的時間段內(nèi)，復合增長是如何改變主要產(chǎn)出的。下面由一個金融案例來解釋。

假設你把100元存入一家銀行，銀行支付100%的年利率。這意味著一年以后，100元將變成200元。但是現(xiàn)在，不是將全部100％復利一次，而是以50％的利率復利兩次，由于你要求銀行分兩次計息，只有每6個月的利率減半為50%才算公平。因此，6個月后，你將擁有100×1.50=150元。再過6個月，你的存款金額將再次增加50%，變成150×1.50=225元。比你按照原來的計息方案得到的200元多，因為你從這一年的利息中又獲得了利息。如果是以33％的利率復利3次，則年底的本金為237元；如果我們按季度計算（復利4次），一年后本金為244元！

如果以更快的頻率計息，比如一年365天每天計算一次，那么年末你只能得到：

100×（1+1/365）^365=271元

很明顯，更頻繁地計算復利會導致銀行里有更多的錢，當利息每時每刻以復利計算時，會發(fā)生什么？

當n趨于無窮時，你的存款金額將趨于100×(1+1/n)^n的乘積的極限。

(1+1/n)^n的乘積的極限就是e。

當指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這對反函數(shù)使用了 e之后，一切計算都顯得十分簡潔明了。

函數(shù)f和g是反函數(shù)時，當且僅當f(g(x))=x并且g(f(x))=x。f和g的圖形關于直線y=x對稱。根據(jù)反函數(shù)的性質。

就這樣，我們把所有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都能轉換成和e相關的函數(shù)，我們稱 $e^x$ 是自然指數(shù)函數(shù)， $\ln x$ 是自然對數(shù)函數(shù)

五、i和旋轉

i的發(fā)現(xiàn)來源于解方程。數(shù)學家們很輕松的掌握了一元一次方程和一元二次方程的求解方法，很自然地，他們向一元三次、四次、五次等多次方程發(fā)起了挑戰(zhàn)。

14世紀開始，解多次方程成為一門顯學。當時甚至還有兩人打賭，互相給對方出 30 道一元三次方程題，然后限期內(nèi)將對方所提出的問題的解答遞交給公證人。輸家要請贏家吃飯 30 次。對于小鎮(zhèn)做題家來說，真是一個浪漫的時代啊。從這件事可以看出，一元三次方程問題在當時隱然有一種全民研究的架勢。一元三次方程首次被徹底解決，是在 1535 年。這一榮譽應當屬于威尼斯的塔爾塔利亞。他正是上面所說的這個賭約的參與者，也是總能獲勝的一方。

后來，塔爾塔利亞將一元三次方程的解法透露給了卡爾達諾，并要求卡爾達諾發(fā)誓保密?？栠_諾這邊也不安分，一直想著怎樣又能發(fā)表又不違背誓言。還真讓他找著了。原來一元三次方程解法的“版權”另有其人。早在塔爾塔利亞之前，就已經(jīng)有一名學者叫費羅發(fā)現(xiàn)了某一類一元三次方程的解法。而卡爾達諾本身也獨立發(fā)現(xiàn)了另一類一元三次方程解法。他倆的工作拼在一起，就等于是攻克了三次方程問題，這就沒塔爾塔利亞啥事了?？傊栠_諾發(fā)現(xiàn)可以繞開保密誓言之后，頂著塔爾塔利亞的怒火，于1545年出版了《大術》一書，公開了一元三次方程的解法。一同公布的還有一元四次方程的解法，這是他的學生費拉里在1540年發(fā)現(xiàn)的。

雖說卡爾達諾的行為是有點不道德，但他的作品直接推動了數(shù)學的發(fā)展。“復數(shù)”這個概念在歷史上首次出現(xiàn)，就是在《大術》這本書中。解決了三次和四次方程之后，接下來就該輪到五次方程了。按說從三次方程到四次方程的攻克，只過了五年的時間，五次方程的解法應該也會很快發(fā)現(xiàn)吧。然而，五次方程的攻克花了將近300年。五次方程問題在微積分出現(xiàn)之前一直是數(shù)學中的顯學。即使是微積分出現(xiàn)之后，仍然有許多頂級智商的大腦在致力于這方面的研究。人們慢慢意識到，五次方程很可能是沒有代數(shù)解的。“五次方程沒有代數(shù)解（求根公式）”這一定理由阿貝爾于1824年首次證明。在阿貝爾的基礎上，伽羅瓦解答了另一個問題，“哪些特殊的五次方程有代數(shù)解（求根公式）”。伽羅瓦的理論后來被凱萊總結并發(fā)展為群論，從而將代數(shù)的抽象提升了一個層次。阿貝爾和伽羅瓦，一個終結了古典代數(shù)，一個開創(chuàng)了抽象代數(shù)。他們卻是同樣的英年早逝。真是天妒英才啊。

回到一元三次方程，在1545年，意大利米蘭學者卡爾達諾在《重要的藝術》一書中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡丹公式”。卡爾達諾是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家。

在1637年，法國數(shù)學家笛卡爾在《幾何學》中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應，這是人類歷史上第一次提出“虛數(shù)”這一名稱，由此虛數(shù)開始流傳起來。不過，雖然笛卡爾提出虛數(shù)這一概念，一些數(shù)學家也開始接受虛數(shù)，但對于數(shù)學界來說還是新事物，加上當時沒有成熟知識系統(tǒng)，因此也引起了數(shù)學界的一片困惑，很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù)。

在1702年，德國數(shù)學家萊布尼茨就曾說到：虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。

瑞士數(shù)學家歐拉早期也評價道；虛數(shù)是想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。歐拉之所以能成為偉大的數(shù)學家，也在于他能不斷發(fā)現(xiàn)問題，不斷解決問題，不斷進步。在1777年年，歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。

在1722年，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了著名的棣莫佛定理。指的是設兩個復數(shù)（用三角函數(shù)形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），則：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。棣莫弗定理與瑞士數(shù)學家歐拉提出的歐拉公式之間有重要聯(lián)系。在1747年，法國數(shù)學家達朗貝爾指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算，那么它的結果總是a+bi的形式（a、b都是實數(shù)）。在1797年，挪威測量學家韋塞爾試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，但在當時沒有得到學術界的重視。直到18世紀末期，復數(shù)這一概念才慢慢被世人所接受。在1799年，挪威-丹麥卡斯帕爾·韋塞爾的文章發(fā)表的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，當時卡斯帕爾·韋塞爾提出復數(shù)可看作平面上的一點，同時他又考慮球體，得出四元數(shù)并以此提出完備的球面三角學理論。以當今復數(shù)的標準來看，卡斯帕爾·韋塞爾的理論也是相當清楚和完備。

在1806年，德國數(shù)學家高斯公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數(shù)a的點A，縱軸上取對應實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數(shù)a＋bi。象這樣，由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”。在1831年，高斯認為復數(shù)不夠普及，用實數(shù)組代表復數(shù)，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。

在1832年，高斯發(fā)表了一篇備忘錄，第一次提出了“復數(shù)”這個名詞。同時高斯把卡斯帕爾·韋塞爾觀點再次提出并大力推廣，如將表示平面上同一點的兩種不同方法：直角坐標法和極坐標法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)一一對應。高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間一一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復數(shù)的研究開始高速發(fā)展，復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來，更奠定復數(shù)在數(shù)學的地位。

1.把形如a+bi（a，b∈實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)。i稱作虛數(shù)單位。i2=-1。復數(shù)一般用z來表示。z=a+bi（a，b∈實數(shù)），a與b分別稱為復數(shù)的實部和虛部。

2.對于復數(shù)z=a+bi（a，b∈實數(shù)），當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0；當b≠0時，它是虛數(shù)；當a=0且b≠0時，它是純虛數(shù)。

3.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，復數(shù)z=a+bi（a，b∈實數(shù)）都可以由有序實數(shù)對（a，b）唯一確定，借鑒平面坐標系的思維，可以建立復平面。橫軸叫做實軸，豎軸叫做虛軸，所以實軸上的點都是實數(shù)，虛軸上的點除了原點都是純虛數(shù)。這樣復平面內(nèi)的點Z(a，b)與復數(shù)z=a+bi（a，b∈實數(shù)）一一對應。同時又與點Z與原點形成的向量OZ一一對應。我們常稱呼復數(shù)z=a+bi為點Z或者向量OZ。因此，從幾何角度來說，用一個復數(shù)乘以虛數(shù)單位，相當于讓它在復平面上對應的點繞原點逆時針旋轉90°。這樣一來，“i2=-1”或者“1·i·i=-1”從幾何角度就好理解了，這相當于使得原來在復平面實軸上的點(1,0)連續(xù)繞原點逆時針旋轉90°兩次，最終落在了(-1,0)。所以，如同一個數(shù)乘以（-1）相當于掉頭反轉180°；一個數(shù)乘以i就相當于逆時針旋轉90°，一個數(shù)乘以-i就相當于順時針旋轉90°。

4.“角，讓人類的思維從線性一維的概念進入二維甚至三維空間的領域，進而產(chǎn)生了“旋轉”的概念。借助發(fā)明直角三角形銳角的“正余弦正余切正余割”將三角形角邊關系聯(lián)系起來。通過在“幾何角”中引入“弦切割”，“旋轉運動”獲得了直觀理解?！比缤粋€數(shù)乘以（-1）相當于掉頭反轉180°；一個數(shù)乘以i就相當于逆時針旋轉90°，一個數(shù)乘以-i就相當于順時針旋轉90°。復數(shù)的發(fā)明也是描述“旋轉運動”。很自然的，“旋轉運動”將復數(shù)與角的“弦切割”聯(lián)系起來。

六、對歐拉公式的理解

首先，以1為半徑畫一個圓，半圓的長度，是π。還指180度，也就是π弧度。

其次，×i的幾何含義是逆時針旋轉90度；

再次，e=（1+ $\frac{1}{n}$ ） $^n$ ，n趨向無窮大時的值，是在一個單位時間，連續(xù)的（翻倍）增長所能達到的極限值。值得注意的是，所有的自然增長雖然可能沒有達到翻倍這種程度，但是能通過某種方法，和e有著某種關系，這種關系衡量著這種增長速度。例如存一年利息沒有100%只有50%，一年后最多能拿到多少錢？（1+ $\frac{0.5}{n}$ ） $^n$ ,可以設n=0.5m，原式=（1+ $\frac{1}{m}$ ） $^m$ $^0$ $^.$ $^5$ =e^0.5。而且能輕易得到(1+ $\frac{x}{n}$ ) $^n$ = $e^x$ 。許許多多個（1+ $\frac{x}{n}$ ）不斷相乘，結果就是 $e^x$ 。也就是增長=e^（增長率×時間）。