2021-08-27 Z2 對稱性在量子模擬中的應用

前沿：

  • 謹以此文紀念我們此次暑假加班四人眾：黃海林，徐建，孫照宇，文慧心
  • 該對稱性在超導模型的數(shù)值模擬中非常重要。
1. 什么是Z_2對稱性

SU(2)：球?qū)ΨQ，繞任意坐標軸旋轉(zhuǎn)任意角度不變。
U(1)：軸對稱，繞某一軸旋轉(zhuǎn)任意角度不變。
Z_n：離散對稱，繞某一軸旋轉(zhuǎn)\frac{2\pi}{n}角度不變。
Z_2: 離散對稱，繞某一軸旋轉(zhuǎn)\pi角度不變。

  • 算符形式（以 x 軸為例）：
    \hat{P}_i=e^{i\pi \hat{S}_i^x}
    \hat{P}_{global}=\otimes \hat{P}_i=e^{i\pi\sum_i \hat{S}_i^x}
    容易數(shù)值驗算，其特征值為\pm1。
2. 量子自旋系統(tǒng)

  • H_z=a\sum_i S^x_iS^x_j + b\sum_i S^y_iS^y_j + c\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^z_i

    若繞z軸旋轉(zhuǎn)\pi角度，x\rightarrow-x，y\rightarrow-y，顯然H_z不變。

  • H_x=a\sum_i S^x_iS^x_j + b\sum_i S^y_iS^y_j + c\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^x_i
    繞x軸具有Z2對稱性。

  • 橫場Ising模型
    H=\sum_i S^z_iS^z_j+\lambda\sum_i S^x_i 繞x軸具有Z2對稱性。
    H=\sum_i S^x_iS^x_j+\lambda\sum_i S^z_i 繞z軸具有Z2對稱性。

3. 無自旋費米子系統(tǒng)
  • \hat{H}= \sum_{i} -t( c_i^{\dagger} c_{i+1} + c_{i+1}^{\dagger} c_i ) - \mu_i c_{i}^{\dagger} c_i +\Delta(c_i c_{i+1} + c_{i+1}^{\dagger} c_i^{\dagger} )
    c_i\rightarrow -c_i，系統(tǒng)仍然保持不變，也是Z2對稱。
4. Z2對稱性在數(shù)值模擬中的呈現(xiàn)
clear
path(path,'~/QuantumNetwork/QuantumInformation/QUBIT4MATLAB5.5/');

paulixyz_sun;

L = 4;

H1 = rand(1)*nnchain(sigma_x,sigma_x,L) ...
  \+ rand(1)*nnchain(sigma_y,sigma_y,L) ...
  \+ rand(1)*nnchain(sigma_z,sigma_z,L) ...
  \+ rand(1)*nnchainp(sigma_z,sigma_I,L) ;

[V,D4] = eig(H1); 

P = kron( kron(sigma_z,sigma_z),kron(sigma_z,sigma_z) );

j1 = 3;

s(1) ="0000";
s(2) ="0001";
s(3) ="0010";
s(4) ="0011";
s(5) ="0100";
s(6) ="0101";
s(7) ="0110";
s(8) ="0111";
s(9) ="1000";
s(10)="1001";
s(11)="1010";
s(12)="1011";
s(13)="1100";
s(14)="1101";
s(15)="1110";
s(16)="1111";

for i1 = 1 : 16

  disp([s(i1)+ ': ' + num2str(V(i1,j1))]) 

end

結(jié)果顯示為

0000: 0.00076809
0001: 0
0010: 0
0011: 0.00095434
0100: 0
0101: -0.054497
0110: 0.059695
0111: 0
1000: 0
1001: 0.030846
1010: -0.054497
1011: 0
1100: 0.00095434
1101: 0
1110: 0
1111: -0.99476

可見，本征態(tài)分布在奇數(shù)、偶數(shù)子空間。

5. 好量子數(shù)

要使用Z2對稱性，需重新建模。

  • 自旋-1/2系統(tǒng)：
    <SITEBASIS name="spin-1/2 Z2">

        <QUANTUMNUMBER name="P" min="0" max="1"/>

        <OPERATOR name="Sz" matrixelement="P-0.5">            
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="Splus" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="+1"/>
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="Sminus" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="-1"/>
        </OPERATOR>

    </SITEBASIS>
  • spinless費米系統(tǒng)：
  <SITEBASIS name="spinless fermion">

        <QUANTUMNUMBER name="P" min="0" max="1" type="fermionic"/>

        <OPERATOR name="c" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="1"/>
        </OPERATOR>

        <OPERATOR name="cdag" matrixelement="1">
            <CHANGE quantumnumber="P" change="-1"/>
        </OPERATOR>

    </SITEBASIS>
6. 用途

a) 提高了計算效率（L=200）

  • 使用好量子數(shù)，節(jié)省50%運算時間

b) 當基態(tài)、激發(fā)態(tài)能隙過小時，若它們處于不同當子空間，使用好量子數(shù)可顯著增大能隙，提高收斂度。原理圖如圖：


改善收斂度原理圖
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