——概率論解決隨機(jī)問題的本質(zhì)，就是把局部的隨機(jī)性轉(zhuǎn)變?yōu)檎w上的確定性。

比如一座城市，哪些家庭今天會(huì)要孩子、嬰兒會(huì)在哪一刻誕生，這些都是隨機(jī)的，但是從整體上來看，這座城市的出生率、每年新生兒的數(shù)量，卻是大致確定的。

或者說拋硬幣，每次的結(jié)果都是隨機(jī)的，但是整體來看正反的概率都是1/2。

概率論不是幫你預(yù)測(cè)下一秒會(huì)發(fā)生什么，而是為你刻畫世界的整體確定性。某一次結(jié)果的隨機(jī)，是低層次的事；而概率論，是高層次的、確定性的認(rèn)知。

——隨機(jī)性不等于不確定性

隨機(jī)性和不確定性最大的差別就在于，這個(gè)事件可能出現(xiàn)的結(jié)果是否可知。

簡(jiǎn)單地講，隨機(jī)性是這個(gè)事件可能出現(xiàn)的結(jié)果我都知道，只是不知道下一次會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。

隨機(jī)播放音樂，雖然不知道接下來會(huì)播放哪一首，但歌單里總共10首歌，下一首肯定是這10首里的一首。

而不確定性，是我連可能出現(xiàn)結(jié)果的選項(xiàng)都不知道。

比如，我今天出門會(huì)發(fā)生什么事情，這就是不確定性，而不是隨機(jī)性。因?yàn)榭赡馨l(fā)生的事太多了，堵車、下雨、碰到熟人、撿到錢……都可能發(fā)生，根本沒法窮盡所有可能的結(jié)果。

而只有知道了全部可能的結(jié)果，才能分析它們的概率；不知道可能的結(jié)果，就沒法深入研究。所以說，概率論面對(duì)和處理的是隨機(jī)性，而不是不確定性。隨機(jī)事件結(jié)果選項(xiàng)可知的特性，是概率論發(fā)揮作用的基礎(chǔ)。

當(dāng)然，很多不確定性是可以轉(zhuǎn)變成隨機(jī)性的。

比如“我今天出門會(huì)發(fā)生什么事”這個(gè)問題，可能的結(jié)果沒法窮盡，是個(gè)不確定性的問題。但如果把問題修改一下，“今天出門遇到的第一個(gè)人，是我認(rèn)識(shí)的還是不認(rèn)識(shí)的呢”，就把不確定性的問題變成了隨機(jī)性的問題，變成了可能遇到認(rèn)識(shí)的人和不認(rèn)識(shí)的人的概率問題了。

盡量把不確定的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)的問題，用概率去研究，就是對(duì)付它們的科學(xué)方法。

再?gòu)?fù)雜的概率問題，也都是基于三個(gè)計(jì)算法則的。哪三個(gè)法則呢？
第一個(gè)，我稱之為“排列組合法則”；
第二個(gè)，是“加法法則”；
第三個(gè)，是“乘法法則”。

—排列組合法

適用于結(jié)果有限，而且每種結(jié)果都是等可能性的情況。

—加法法則

如果說排列組合法則是針對(duì)單個(gè)隨機(jī)事件的概率計(jì)算，加法法則針對(duì)的就是多個(gè)隨機(jī)事件。以兩個(gè)隨機(jī)事件為例，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生或者另一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率，也就是這兩個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生其一的概率，等于兩個(gè)隨機(jī)事件各自發(fā)生概率的和

不過，加法法則也有個(gè)限定條件，就是這兩個(gè)隨機(jī)事件不能同時(shí)發(fā)生，我們也稱之為“互斥”。

舉個(gè)反例。天氣預(yù)報(bào)說，周六下雨的概率是50%，周日下雨的概率是60%，那周末兩天有降雨的概率是多少呢？是周六下雨的概率直接加上周日下雨的概率嗎？一加結(jié)果是110%，超過1了。前面說了，概率一定在0和1之間，不可能大于1，所以這么算肯定不對(duì)。到底哪里錯(cuò)了呢？

可能你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，周六下雨和周日下雨并不互斥，周六下雨了，周日也可以下雨，它們可以同時(shí)發(fā)生。也就是說，還存在 “周六和周日都下雨”的情況，所以不能直接用加法法則。那怎么辦呢？用加法法則得出的結(jié)果減去周六周日都下雨的概率就好了。

以兩個(gè)隨機(jī)事件為例，加法法則是兩個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生其一的概率，將兩個(gè)隨機(jī)事件各自發(fā)生的概率相加。

—乘法法則是兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，將兩個(gè)隨機(jī)事件各自發(fā)生的概率相乘就行了。

不過，乘法法則也有個(gè)限定條件，得是獨(dú)立事件。如果是獨(dú)立事件，彼此互不影響，可以直接使用乘法法則。如果是非獨(dú)立事件，那就不能直接乘了，而是要對(duì)乘法法則做個(gè)變形，也就是利用條件概率。

常用的度量概率的方法有三種——定義法、頻率法、迭代法。

定義法，是通過自然世界的對(duì)稱性來定義概率；

頻率法，是用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來計(jì)算概率；

迭代法，是用一種動(dòng)態(tài)發(fā)展的、考慮個(gè)人差異的角度來度量概率。

當(dāng)我們用概率解決生活問題的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)還是有些事情解決不了。

首先，有些事是沒法試的。

其次，很多事不斷發(fā)展，它的概率是不斷變化的。

而且，很多問題還和個(gè)體的差異有關(guān)。

類似的問題還有很多?；蛘呤菙?shù)據(jù)量不足，或者是概率本身不斷變化，或者是和個(gè)體密切相關(guān)，這些事情的概率都沒有辦法通過反復(fù)試驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)

所以有了迭代法

迭代法就是說，先利用手頭少量的數(shù)據(jù)做推測(cè)，甚至是主觀猜測(cè)一件事兒的概率，然后再通過收集來的新數(shù)據(jù)，不斷調(diào)整對(duì)這件事概率的估算。最常用的方法就叫作“貝葉斯”。

整體不需要通過補(bǔ)償來對(duì)局部產(chǎn)生作用，大數(shù)定律并不通過補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn)。

大數(shù)定律不會(huì)對(duì)已經(jīng)發(fā)生的情況進(jìn)行補(bǔ)償，而是利用大量的正常數(shù)據(jù)，削弱那部分異常數(shù)據(jù)的影響。正常數(shù)據(jù)越多，異常數(shù)據(jù)的影響就越小，直到小到可以忽略不計(jì)。

如何保證未來一定有大量的正常數(shù)據(jù)呢？

均值回歸

整體通過均值回歸對(duì)局部起作用

均值回歸的意思是說，如果一個(gè)數(shù)據(jù)和它的正常狀態(tài)偏差很大，那么它向正常狀態(tài)回歸的概率就會(huì)變大。

其實(shí)，均值回歸更準(zhǔn)確的叫法應(yīng)該是“趨均值回歸”，趨向均值的方向回歸。所以它產(chǎn)生作用的對(duì)象，是那些特殊的、異常的、極端的數(shù)據(jù)。這些異常的狀態(tài)是沒法長(zhǎng)期持續(xù)的，所以回歸正常值的概率會(huì)變大。不過，至于是比正常值稍微高一些，還是稍微低一些，都有可能，完全是隨機(jī)的。

比如，一個(gè)同學(xué)正常的數(shù)學(xué)水平是80分，這次超水平發(fā)揮考了100分，下一場(chǎng)考試，他大概率考不到100分，但可能考90分，可能考80分，也可能考70分。這些都比100分正常，都更接近他的真實(shí)水平，所以都是均值回歸。而不是說上次考100分，這次只能考60分、50分來補(bǔ)償上次的高分。

總之，大數(shù)定律不需要補(bǔ)償，而是通過均值回歸，通過產(chǎn)生大量的正常數(shù)據(jù)，削弱之前異常數(shù)據(jù)的影響。

比如我們經(jīng)常會(huì)說一些俗語，運(yùn)氣不好的時(shí)候，會(huì)說“三十年河?xùn)|，三十年河西。嚴(yán)格地說，都有一定的道理，但又都不全對(duì)。

為什么說有一定的道理呢？因?yàn)樗鼈兲N(yùn)含了樸素的概率思維，知道在大多數(shù)情況下，不正常的狀態(tài)難以持續(xù)。正常情況下，誰的運(yùn)氣也不可能一直壞嘛。

為什么說它們不全對(duì)呢？因?yàn)椴还苁恰叭旰訓(xùn)|，三十年河西”，還是“否極泰來”，背后都蘊(yùn)含著剛才我們說的補(bǔ)償思維，認(rèn)為三十年河?xùn)|后，之后三十年一定河西；

而我們現(xiàn)在知道，大數(shù)定律不需要通過補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn)。極度的壞運(yùn)氣過后不一定就有好運(yùn)氣，而是通過均值回歸，讓運(yùn)氣回到不那么壞的正常狀態(tài)。所以更準(zhǔn)確的說法應(yīng)該是，“否極”后，可能“泰來”，也可能是回到運(yùn)氣不好不壞的狀態(tài)，都有可能。

本質(zhì)上，數(shù)學(xué)期望是對(duì)事件長(zhǎng)期價(jià)值的數(shù)字化衡量。

大數(shù)定律把局部的隨機(jī)性變成了整體上的確定性，也就是概率；而數(shù)學(xué)期望又把概率代表的長(zhǎng)期價(jià)值變成了一個(gè)具體的數(shù)字，方便我們比較。

數(shù)學(xué)期望相同，并不代表兩件事的價(jià)值就一樣。隨機(jī)結(jié)果的波動(dòng)程度，同樣對(duì)一件事的價(jià)值，對(duì)我們的決策影響巨大，在描述和思考一個(gè)隨機(jī)事件的時(shí)候，我們還得考慮這種波動(dòng)性。這就涉及到一個(gè)專業(yè)概念，叫作“方差”。

方差描述的就是，隨機(jī)結(jié)果圍繞數(shù)學(xué)期望的波動(dòng)范圍。

方差的本質(zhì)，就是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量。一個(gè)隨機(jī)事件的方差越大，可能的結(jié)果離期望值越遠(yuǎn)，就說明它的風(fēng)險(xiǎn)越大。

生活里也是這樣。雖然日常我們追求穩(wěn)定，但是如果能在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上適當(dāng)增加一些方差，增加一些波動(dòng)性，比如偶爾一次旅行、出去吃頓好的、給媳婦買個(gè)奢侈品包，都會(huì)讓生活更加豐富多彩，幸福感更高。

——條件概率

說白了，條件概率就是計(jì)算和量化某個(gè)條件對(duì)隨機(jī)事件的影響。日常生活中，我們總說“找到關(guān)鍵因素”，其實(shí)是在尋找對(duì)這件事產(chǎn)生重大影響的條件。是的，我們?cè)谟?jì)算條件概率。

——貝葉斯推理

根據(jù)新信息不斷調(diào)整對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生概率的判斷，這就是貝葉斯推理。

貝葉斯推理的兩大優(yōu)勢(shì)

第一，起點(diǎn)不重要，迭代很重要。

貝葉斯不是推理一次就完了，它是個(gè)反復(fù)的過程。每找到一個(gè)新信息，就進(jìn)行一次推理，得到一個(gè)新判斷。而下一個(gè)信息，要么進(jìn)一步證實(shí)我們的判斷，要么削弱我們的判斷，就要對(duì)之前的判斷進(jìn)行調(diào)整。這樣不斷微調(diào)、不斷微調(diào)，慢慢的，結(jié)果一定會(huì)和真實(shí)狀況越來越接近。毫不夸張的說，貝葉斯最后一定會(huì)無窮逼近于真理。

第二，信息越充分，結(jié)果越可靠。

盡可能豐富的信息，是貝葉斯走向準(zhǔn)確的最大保障。

拿機(jī)器學(xué)習(xí)來說吧，它的底層理論就是貝葉斯。為什么谷歌訓(xùn)練人工智能識(shí)別貓和狗時(shí)，要給它看成千上萬張照片？為什么特斯拉的自動(dòng)駕駛汽車要進(jìn)行各種路測(cè)，千方百計(jì)收集用戶開車的數(shù)據(jù)？就是因?yàn)閿?shù)據(jù)越多，供它調(diào)整的機(jī)會(huì)越多，它的計(jì)算結(jié)果就會(huì)越精確，越逼近真相。

—概率思維的三個(gè)原則

原則一：對(duì)抗直覺，能算就算。

很多概率相關(guān)的事情，不要相信自己的直覺，只要?jiǎng)庸P簡(jiǎn)單算一算，就很容易得出結(jié)論。

原則二：尋找條件，增大概率

尋找影響這件事的關(guān)鍵條件。

生活中，幾乎所有涉及個(gè)體的決策都是如此。想要成功，就要找到對(duì)自己成功影響最大的那個(gè)條件概率。換句話說，想要成功，就是找到最大化概率的條件。

對(duì)于創(chuàng)業(yè)來說，成功的平均概率可能只有1%，但如果你擁有關(guān)鍵技術(shù)、找到了藍(lán)海、采取了差異化競(jìng)爭(zhēng)策略，你成功的概率就會(huì)大大增加。

原則三：相信系統(tǒng)，長(zhǎng)期主義

如果尋找條件概率不足以大幅度提高我們做一件事的成功率，而只是讓我們獲得一些微弱的優(yōu)勢(shì)，比如只讓成功率提高到了55%，具體某一次決策時(shí)，仍然有一半的可能性會(huì)失敗，這時(shí)候該怎么辦呢？

這就要說到概率思維的第三個(gè)原則——相信系統(tǒng)，長(zhǎng)期主義。

還記得網(wǎng)上那個(gè)勵(lì)志雞湯嗎？1.01的365次方是37.8，而0.99的365次方是0.03，激勵(lì)我們每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)。雖然這是一個(gè)雞湯，但不得不說，它是有道理的。

表面上看兩個(gè)概率相差無幾，但只要加入“時(shí)間”這一個(gè)變量，長(zhǎng)期結(jié)果就會(huì)大不一樣——只要有1%的概率優(yōu)勢(shì)，長(zhǎng)期來看，勢(shì)必會(huì)造成贏者通吃的局面

“訓(xùn)練時(shí)，用正確姿勢(shì)投丟的球比用錯(cuò)誤姿勢(shì)投進(jìn)的球，更有價(jià)值?！逼鋵?shí)就是我們說的相信系統(tǒng)，堅(jiān)持長(zhǎng)期主義。用錯(cuò)誤的姿勢(shì)投球，可能某一次能蒙進(jìn)，但只有用標(biāo)準(zhǔn)的姿勢(shì)反復(fù)練習(xí)，把這個(gè)姿勢(shì)固定成肌肉記憶，才能真正提高自己的命中率。

而所謂的科學(xué)決策，其實(shí)是一個(gè)決策系統(tǒng)，只要決策系統(tǒng)有概率優(yōu)勢(shì)，我們就要長(zhǎng)期堅(jiān)持，相信系統(tǒng)，而不在乎單次決策的隨機(jī)結(jié)果的好壞。

（如果在某種條件下的條件概率只是大一點(diǎn)，一方面你的優(yōu)勢(shì)并不明顯，而且不能保證每次都會(huì)好一點(diǎn)，有時(shí)候人家可能偶爾比你好。畢竟這是隨機(jī)的，就好比你投籃，用正確的方法投籃比不用正確的方法投籃，在這個(gè)條件下，投中的概率比錯(cuò)誤的方式好一點(diǎn)，但是這也是隨機(jī)的，可能某次錯(cuò)誤的投球方式比你用正確的方法投的還要準(zhǔn)。但是只要我長(zhǎng)期用正確的方式這樣訓(xùn)練，投中率就會(huì)慢慢提高，這就是長(zhǎng)期主義，相信系統(tǒng)，不在乎單次隨機(jī)結(jié)果的好壞）

其實(shí)我們學(xué)習(xí)也都是如此。你流的每一滴汗，讀的每一本書，都會(huì)一點(diǎn)點(diǎn)的改變你的身體，改變你的認(rèn)知。這些微小的改變，這些微小的概率提升，在時(shí)間的作用下都能被無限放大——每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，相信時(shí)間的力量

站在當(dāng)下，未來任何事都只是一個(gè)概率。所謂堅(jiān)持，所謂努力，其實(shí)就是尋找一個(gè)大概率的方向，然后相信系統(tǒng)，相信長(zhǎng)期主義。當(dāng)然，你得堅(jiān)持活著，等到長(zhǎng)期的到來。

參考文獻(xiàn)

得到-劉嘉《概率論22講》