孟真
2014301020014

摘要##

隨機系統(tǒng)在我們的生活中隨處可見，比如氣體的隨機擴散，分子的布朗運動，落葉的運動軌跡等。 我們就來對隨機系統(tǒng)這個基本問題進行初步討論，試圖初步了解隨機系統(tǒng)中隨機性的具體表現(xiàn)以及規(guī)律。 我們將以隨機游走為例進行討論。

背景##

隨機游走是基于固定區(qū)間內(nèi)的均勻分布隨機數(shù)數(shù)列來進行的計算,隨機游走（random walk）也稱隨機漫步，隨機行走等是指基于過去的表現(xiàn)，無法預測將來的發(fā)展步驟和方向。核心概念是指任何無規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對應著一個擴散運輸定律 ，接近于布朗運動，是布朗運動理想的數(shù)學狀態(tài)，現(xiàn)階段主要應用于互聯(lián)網(wǎng)鏈接分析及金融股票市場中。早在1906年P(guān)erson就提出了"隨機游走"的問題,其概念類似于布朗運動,是布朗運動的理想數(shù)學狀態(tài).任何無規(guī)則行走者所帶的守恒量都各自對應著一個擴散運輸定律,如一維的隨機行走,其均方位移隨時間線性增加,滿足擴散定律:

圖片.png

其中D就是所謂的擴散常數(shù)。以一個初始分布釋放大量的無規(guī)則行走，觀察他們的密度就會得到分布函數(shù)。

主要內(nèi)容##

我們就以醉漢回家問題為例：
假定有一個醉漢剛喝完酒準備回家，他只能沿家和酒館連線方向行走（一維情形）。
1.醉漢的運動是部分隨機的,即醉漢每走一步,方向向前向后是完全隨機的, 但是每次邁出的距離的一致的。
2.將一維直線分成等長度的小格,醉漢每個狀態(tài)只能占據(jù)一個格子。
3.醉漢每走一步,一定會離開現(xiàn)在所在的格子。
模擬出醉漢經(jīng)過n步后在x軸上運動的情況
路徑1

1.png

路徑2

2.png

路徑3

3.png

在n足夠大的時候,位移平方的期望和步數(shù)呈線性關(guān)系
當n足夠大時的路徑

考慮二維情形作如下簡化：

1. 醉漢的運動是部分隨機的,即醉漢每走一步,只能沿x或者y方向,方向向前向后是完全隨機的,但是每次邁出的距離的一致的。
2. 將二維平面分成等面積相等的小格,醉漢每個狀態(tài)只能占據(jù)一個格子。
3. 醉漢每走一步,一定會離開現(xiàn)在所在的格子。
   路徑1

路徑2

路徑3

三次模擬情況完全不同,體現(xiàn)了模型的隨機性,然后我們分別考察x以及y方向位移平方的期望

x2隨步數(shù)的變化

y2隨步數(shù)的變化

總結(jié)##

1.隨機游走模型既具有隨機的特征,又存在不變的規(guī)律。
2.隨機游走可以進一步用來探究現(xiàn)實生活中一些隨機運動所對應的物理現(xiàn)象。

感謝##

感謝室友的指導與時磊同學的幫助