寫在前面：
這一章的目的是處理那些找不到原函數(shù)的積分問題，比如一些特殊的函數(shù)和一些離散點。

2.1 機(jī)械求積

常見的求積方法：

• 梯形公式:

• 中矩形公式：
• Simpson公式：

機(jī)械求積公式：

代數(shù)精度：一個求積公式，若對于次數(shù)小于m精確成立，對于m+1次多項式不準(zhǔn)確，則稱之為具有m次代數(shù)精度。

關(guān)于代數(shù)精度有一道經(jīng)典的例題：

這道題的思路就是，根據(jù)未知數(shù)A的個數(shù)，將f(x)=1,x,x2····依次帶入式子中，解出未知數(shù)后，再繼續(xù)往后驗證即可。

2.2 插值型求積公式

插值型求積公式實際上就是結(jié)合了拉格朗日插值，做n次插值：

2.3 牛頓-柯特斯公式

實際上柯特斯系數(shù)可以通過查表獲得：

然而Newton-Cotes公式有一個致命的弱點，就是高階不適用，因而引出復(fù)化求積。

2.4 復(fù)化求積法

什么是復(fù)化求積：主要的目的就是通過將積分區(qū)間分成多個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上使用低次牛頓柯特斯公式。

幾種常用的復(fù)合求積公式：

• 復(fù)合梯形公式：
  余項：

• 復(fù)合Simposon公式：
  余項:

這一章就做例題就完事兒了：

這個題實際上就是把區(qū)間八等分，即n=8，得到九個節(jié)點，分別帶入公式就好：

• 復(fù)化辛普森公式要用到每個區(qū)間的端點和中點，把八等分看作四等分加上每個中間有一個中點：

• 復(fù)化Cotes公式再少一半的n：
  
  

  其實如果記不住這個區(qū)間劃分，就直接記著幾等分的梯形公式就是幾，然后往下依次減半。

再來個關(guān)于精度的問題

這里主要是使用誤差的結(jié)果，M即為在區(qū)間內(nèi)某一點導(dǎo)函數(shù)的最大值：

• 
  
  這題有一個處理的小技巧，如果考試遇到了可以用一下，就是把原函數(shù)變形為積分的狀態(tài)：

2.5 龍貝格算法

這里就把前面幾個方法像俄羅斯套娃一樣串起來了~

復(fù)化梯形公式：

• 由復(fù)化梯形公式推復(fù)化Simpson公式：

• 由復(fù)化Simpson公式得復(fù)化Cotes公式:

• 由復(fù)化Cotes公式推Romberg公式：
  
  
  統(tǒng)一表示：
  
  實際計算就用這個表就可以：

例題：

練習(xí)

1.插值型求積公式時機(jī)械積分公式。正確
2.梯形公式的代數(shù)精度為:1
3.Newton-Cotes公式求積公式的系數(shù)C????和為:1
4.計算柯特斯系數(shù)需要知道等距點的函數(shù)值及區(qū)間。錯誤
5.Cotes求積函數(shù)與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)。錯誤

6. Romberg算法是在積分區(qū)間逐次分半的過程中，對用復(fù)合梯形產(chǎn)生的近似值進(jìn)行加權(quán)平均，以獲得精度更高的一種方法。
   7.梯形序列和Simpson序列的關(guān)系是：S是T的加權(quán)線性組合