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2011年理數(shù)山東卷題22

分值：14分

已知動直線 $l$ 與橢圓 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 交于 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 兩不同點，且 $\triangle OPQ$ 的面積 $S_{\triangle OPQ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ . 其中 $O$ 為坐標原點.

（Ⅰ）證明： $x^2_1+x^2_2$ 和 $y^2_1+y^2_2$ 均為定值；

（Ⅱ）設(shè)線段 $PQ$ 的中點為 $M$ ，求 $|OM|\cdot |PQ|$ 的最大值；

（Ⅲ）橢圓 $C$ 上是否存在三點 $D,E,G$ ，使得 $S_{\triangle ODE} = S_{\triangle ODG} = S_{\triangle OEG} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

若存在，判斷 $\triangle DEG$ 的形狀；若不存在，請說明理由.

2012年理數(shù)山東卷題21

分值：13分

在平面直角坐標系 $xOy$ 中， $F$ 是拋物線 $C:x^2=2py(p \gt 0)$ 的焦點， $M$ 是拋物線 $C$ 上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過 $M,F,O$ 三點的圓的圓心為 $Q$ ，點 $Q$ 到拋物線 $C$ 的準線的距離為 $\dfrac{3}{4}$ .

（I）求拋物線 $C$ 的方程；
（Ⅱ）是否存在點 $M$ ，使得直線 $MQ$ 與拋物線 $C$ 相切于點 $M$ ? 若存在，求出點 $M$ 的坐標；若不存在，說明理由.
（Ⅲ）若點 $M$ 的橫坐標為 $\sqrt{2}$ ，直線 $l:y=kx+\dfrac{1}{4}$ 與拋物線 $C$ 有兩個不同的交點 $A,B$ ， $l$ 與圓 $Q$ 有兩個不同的交點 $D,E$ , 求當 $\dfrac{1}{2} \lt k \lt 2$ 時， $|AB|^2 + |DE|^2$ 的最小值.

2013年理數(shù)山東卷題22

分值：13分

橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 \;(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點分別是 $F_1,F_2$ , 離心率為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , 過 $F_1$ 且垂直于軸的直線被橢圓 $C$ 截得的線段長為 $1$ .

（Ⅰ）求橢圓 $C$ 的方程；
（Ⅱ）點 $P$ 是橢圓 $C$ 上除長軸端點外的任一點, 連接 $PF_1,PF_2$ , 設(shè) $F_1PF_2$ 的角平分線 $PM$ 交 $C$ 的長軸于點 $M(m,0)$ , 求 $m$ 的取值范圍;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下, 過點 $P$ 作斜率為 $k$ 的直線 $l$ , 使得 $l$ 與橢圓 $C$ 有且只有一個公共點. 設(shè)直線 $PF_1,PF_2$ 的斜率分別為 $k_1,k_2$ , 若 $k \ne 0$ , 試證明 $\dfrac{1}{kk_1} + \dfrac{1}{kk_2}$ 為定值,并求出這個定值.

2014年理數(shù)山東卷題21

分值：14分

已知拋物線 $C: y=2px(p \gt 0)$ 的焦點為 $F$ , $A$ 為 $C$ 上異于原點的任意一點, 過點 $A$ 的直線 $l$ 交 $C$ 于另一點 $B$ , 交 $x$ 軸的正半軸于點 $D$ , 且有 $|FA| = |FD|$ . 當點 $A$ 的橫坐標為 $3$ 時, $\triangle ADF$ 為正三角形.

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若直線 $l_1//l$ , 且和 $C$ 有且只有一個公共點 $E$ .

（i）證明直線 $AE$ 過定點,并求出定點坐標

（ii） $\triangle ABE$ 的面積是否存在最小值? 若存在，請求出最小值; 若不存在, 請說明理由.

2015年山東卷題20

分值：16分
平面直角坐標系 $xOy$ 中，已知橢圓 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦點分別是 $F_1,F_2$ .以 $F_1$ 為圓心，以3為半徑的圓與以 $F_2$ 為圓心，以 $1$ 為半徑的圓相交，且交點在橢圓 $C$ 上.
（I）求橢圓 $C$ 的方程;
（Ⅱ）設(shè)橢圓 $E: \dfrac{x^2}{4a^2} + \dfrac{y^2}{4b^2} = 1$ ， $P$ 為橢圓 $C$ 上任意一點過. 點P的直線 $y=kx+m$ 交橢圓 $E$ 于 $A,B$ 兩點，射線 $PO$ 交橢圓 $E$ 于點 $Q$ .
(i）求 $\dfrac{|OQ|}{|OP|}$ 的值;
（ii）求 $\triangle ABQ$ 面積的最大值.

2016年理數(shù)山東卷題21

分值：14分

平面直角坐標系 $xOy$ 中，橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，拋物線 $E:x^2=2y$ 的焦點 $F$ 是 $C$ 的一個頂點.

（I）求橢圓 $C$ 的方程；

（Ⅱ）設(shè) $P$ 是 $E$ 上的動點，且位于第一象限， $E$ 在點 $P$ 處的切線 $l$ 與 $C$ 交于不同的兩點 $A,B$ ，線段 $AB$ 的中點為 $D$ . 直線 $OD$ 與過 $P$ 且垂直于 $x$ 軸的直線交于點 $M$ .

（i）求證：點 $M$ 在定直線上；

（ii）直線 $l$ 與 $y$ 軸交于點 $G$ ，記 $\triangle PEG$ 的面積為 $S_1$ ， $\triangle PDM$ 的面積為 $S_2$ ，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最大值及取得最大值時點 $P$ 的坐標.

2016年理數(shù)山東卷題21

2017年山東卷題21

分值：14分

在平面直角坐標系 $xOy$ 中，橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1(a\gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距為 $2$ .
（I）求橢圓 $E$ 的方程；
（Ⅱ）如圖，動直線 $l:y=k_1x -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 交橢圓 $E$ 于 $A,B$ 兩點， $C$ 是橢圓 $E$ 上一點，直線 $OC$ 的斜率為 $k_2$ ，且 $k_1k_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ， $M$ 是線段 $OC$ 延長線上一點，且 $|MC|:|AB|=2:3$ ， $\odot M$ 的半徑為 $|MC|$ ， $OS,OT$ 是 $\odot M$ 的兩條切線，切點分別為 $S,T$ . 求 $\angle SOT$ 的最大值，并求取得最大值時直線 $l$ 的斜率.