一、一階線性微分方程

一般形式：

當(dāng)時(shí)，則方程為齊次方程，反之為非齊次。

通解：
通解公式：

特解：
特解是將通解中的根據(jù)已知條件（定解條件）解出具體數(shù)，將的值帶入通解，得特解。

幾何意義：
用于求曲線方程

特別題型：
有些題目給出的為積分方程，則需要對(duì)積分方程求導(dǎo)，還原為微分方程。

涉及知識(shí)點(diǎn)：
變限積分求導(dǎo)

二、二階常系數(shù)線性微分方程

2.1 齊次方程

一般形式：

求通解：

1. 列出特征方程：
   
2. 求特征根：
   一元二次方程求根公式解出。
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   • 

2.2 非齊次方程

一般形式：
*注：非齊次方程求通解與求齊次方程相同
非齊次方程考查形式分為兩種：① 求特解形式。② 求特解。
二階微分方程為形式一，且m次數(shù)次冪時(shí)，求一般非常復(fù)雜，則可以利用推導(dǎo)公式，代入數(shù)據(jù)減少出錯(cuò)。
非齊次的通解就是齊次通解和非齊次特解相加，即：非齊次通解 = 齊次通解 + 非齊次特解

形式一：形式

求特解形式（非具體特解）：
方程一般形式：
則特解形式為：

其中

特解推導(dǎo)公式：

：的二階導(dǎo)數(shù)
：的一階導(dǎo)數(shù)
：原式系數(shù)
：原式系數(shù)
：求根據(jù)是否為特征根時(shí)確定的取值
：根據(jù)原式確定的取值

解題思路：
①. 先求通解特征根。
②. 判斷原式中是否為特征根，與特征根一個(gè)相同則為單根，兩個(gè)則為二重根，則決定的取值。
③. 根據(jù)的次數(shù)，決定的次數(shù)，0次為常數(shù)，1次則為，2次則為 以此類(lèi)推。
④. 確定則帶入得出特解。

形式二：形式

方程形式為：
則特解形式為：

其中
解題思路：
①. 先求通解特征根。
②. 判斷原式中是否為特征根，決定的取值。
③. 確定則帶入得出特解。

特別題型：

1. 形式一與形式二加起來(lái)的形式。
   例如可以拆解為兩種形式分別計(jì)算：
   
   則原方程特解形式就為兩種形式之和