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第九講 —— 線性相關(guān)性，基，維數(shù)

本講將學習線性無關(guān)（linear independence），對于向量組，何謂“線性無關(guān)”，或者與之相反的情況，線性相關(guān)。什么是由向量組生成的空間。什么是向量空間的“基”，什么是子空間的“維數(shù)”。我們會說向量組是線性無關(guān)的，但不會說一個矩陣是線性無關(guān)的。

1. 線性無關(guān)

有向量組 $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ ，什么條件下它們是線性無關(guān)的？對它們進行線性組合，是否存在結(jié)果為零的組合？除系數(shù)全為零，如果存在一種組合，使得結(jié)果為零向量，那么它們是線性相關(guān)的。如果不存在結(jié)果為零向量的組合，則向量組線性無關(guān)。這表示，任何 $c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$ 的結(jié)果都不為零，除非所有系數(shù)都為零。如果向量組里包含了一個零向量，那么向量組不可能線性無關(guān)。

若 $v_1,v_2,...,v_n$ 都是矩陣 $A$ 的列，換言之，假設在一個 $m$ 維空間里，可以通過將它們放在一個矩陣中，直接判斷向量組的線性相關(guān)性。如果向量組線性無關(guān)，那么矩陣 $A$ 的零空間中只有零向量。如果向量組線性相關(guān)，則表示零空間中存在其它一些向量，即有 $A$ 乘上非零向量 $c$ 得零向量，也就是存在向量組的線性組合結(jié)果為零向量。換一個角度，可以通過秩考慮，如果矩陣的列線性無關(guān)，則矩陣的秩是多少？則前者有 $rank=n$ ， $N(A)=0$ ，沒有自由變量，后者有 $rank<n$ ，有自由變量。

2. 生成空間

設向量組 $v_1,v_2,...,v_l$ 生成一個向量空間，意味著這個空間包含這些向量的所有線性組合。如果給出一個向量組，然后令 $S$ 為它們的生成空間，這表示 $S$ 包含向量組的所有線性組合。 $S$ 是包含這些向量的空間中最小的一個，因為任何包含這些向量的空間，必須包含向量組的所有線性組合，如果僅僅包含這些組合，就得到最小的一個空間。這個空間就是向量組的生成空間。把向量組的所有線性組合的結(jié)果放到一個空間里，簡稱為生成（span）。

3. 基

向量空間的一組基（basis）是指一系列的向量， $v_1,v_2,...,v_d$ ，這些向量具有兩個特性，線性無關(guān)和生成空間。

舉例，有一個 $R^3$ 空間，求空間的一組基。如 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。當空間是 $R^3$ 時，有3個向量，矩陣為方陣，它需要滿足什么條件，其列才能組成基？有 $R^n$ 中 $n$ 個向量要構(gòu)成基，以這 $n$ 個向量為列的 $n×n$ 矩陣是什么？矩陣必須是可逆的，只有此時，空間才是 $R^n$ 空間。任取某可逆 $3×3$ 矩陣，其列都是 $R^3$ 的基。矩陣可逆，其列空間就是 $R^3$ ，而各列線性無關(guān)。

4. 維數(shù)

對于給定空間，空間中任意基都滿足此性質(zhì)，即基向量的個數(shù)相等，如果一組基有 $n$ 個向量，那么所有基都是 $n$ 個向量，數(shù)字 $n$ 表示此空間的大小，也就是生成此空間需要的基向量個數(shù)。其中的 $n$ ，稱為空間的維數(shù)（dimension）。

舉例有空間 $C(A)$ ， $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，找出列空間的一組基，如 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ 。矩陣的秩為2，即 $rank(A)$ =主列的數(shù)目=列空間的維數(shù) $dim C(A)$ 。找出零空間的一組基，如 $\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。零空間的維數(shù) $dim N(A)$ =自由變量的數(shù)目= $n-r$ 。