線性回歸是處理回歸任務(wù)最常用的算法之一，是利用回歸方程(函數(shù))在一個(gè)或多個(gè)自變量和因變量之間進(jìn)行函數(shù)擬合以便探尋數(shù)據(jù)背后規(guī)律的一種分析方式。線性回歸常用于連續(xù)值的預(yù)測(cè)。例如，預(yù)測(cè)具有10年工作經(jīng)驗(yàn)的大學(xué)畢業(yè)生的工資，預(yù)測(cè)一種新產(chǎn)品的銷售價(jià)格等業(yè)務(wù)場(chǎng)景。

線性回歸算法是最簡(jiǎn)單的回歸形式，主要用于研究因變量（響應(yīng)變量，目標(biāo)變量）和自變量（預(yù)測(cè)變量）之間的關(guān)系，隨著自變量的變化，因變量也會(huì)隨之發(fā)生變化。

?這段話怎么理解呢？有幾個(gè)名詞需要解釋，如下。

（1）什么是回歸任務(wù)？

回歸任務(wù)就像是猜數(shù)字游戲，但這個(gè)數(shù)字是根據(jù)一些其他的線索來(lái)猜的。比如說(shuō)，你想知道一個(gè)房子能賣多少錢，你會(huì)找一些線索，像房子的面積、房間數(shù)量這些東西。然后根據(jù)這些線索來(lái)猜出房子的價(jià)格，這個(gè)猜房子價(jià)格的過(guò)程就是回歸任務(wù)，它主要是為了猜出一個(gè)連續(xù)的數(shù)字，像價(jià)格、溫度、身高這些數(shù)字都可以通過(guò)回歸任務(wù)來(lái)預(yù)測(cè)。

（2）回歸方程是什么？

回歸方程就像是一個(gè)魔法公式。你把那些線索（自變量）放進(jìn)這個(gè)公式里，它就能給你算出你想要猜的那個(gè)數(shù)字（因變量）。比如說(shuō)，有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式是“價(jià)格=500×面積+1000”，這里的“面積”就是線索（自變量），“價(jià)格”就是你要猜的數(shù)字（因變量）。這個(gè)公式就是通過(guò)分析很多房子的面積和價(jià)格的數(shù)據(jù)得出來(lái)的，有了這個(gè)公式，你只要知道房子的面積，就能算出一個(gè)大概的價(jià)格。

（3）什么是自變量，什么是因變量？

①自變量：自變量就是那些能影響結(jié)果的因素，就像剛才說(shuō)的房子的面積、房間數(shù)量。這些東西是你可以知道或者可以改變的，它們會(huì)對(duì)最終的價(jià)格產(chǎn)生影響。你可以把自變量想象成做菜的原料，不同的原料（自變量）會(huì)做出不同味道（因變量）的菜。

②因變量：因變量就是你最終想要知道的結(jié)果。還是拿房子來(lái)說(shuō)，房子的價(jià)格就是因變量。它會(huì)因?yàn)榉孔拥拿娣e、房間數(shù)量這些自變量的變化而變化。就像菜的味道會(huì)因?yàn)樵系牟煌煌蜃兞渴潜蛔宰兞坑绊懙?，是我們?cè)诨貧w任務(wù)里重點(diǎn)要預(yù)測(cè)的那個(gè)數(shù)字。

當(dāng)數(shù)據(jù)分析中只有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，那么兩者的關(guān)系會(huì)表示為一條直線，稱為一元線性回歸。線性函數(shù)關(guān)系表示為：

y=α+βx

其中，y是因變量，x是自變量，α是回歸常數(shù)，β為回歸系數(shù)，分別表示直線在Y軸的截距和直線的斜率。例如，通過(guò)自變量“工齡”的值來(lái)預(yù)測(cè)因變量“薪水”的值，就屬于一元線性回歸。當(dāng)數(shù)據(jù)分析中有至少兩個(gè)的自變量，稱為多元線性回歸。自變量和因變量之間的線性函數(shù)關(guān)系可以表示為：

其中，y是因變量，x1，x2，… ，xp為不同的自變量，β1，β2，… ，βp則為這些自變量前的回歸系數(shù)，β0為回歸常數(shù)，ε為殘差。例如，通過(guò)“工齡”、“行業(yè)”、“所在城市”等多個(gè)自變量來(lái)預(yù)測(cè)因變量“薪水”，就屬于多元線性回歸。

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，獲得n組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi1，xi2，… ，xip) i=1,2,...,n，則多元線性回歸模型可以表示為：

寫成矩陣形式 y = X β + ε，式中

X是n × ( p + 1 )階矩陣，是自變量的樣本矩陣。

2、線性回歸算法實(shí)現(xiàn)

以一元回歸為例，如圖所示，其中y2為實(shí)際值，y ?2為預(yù)測(cè)值。一元線性回歸的目的就是擬合出一條線來(lái)使得預(yù)測(cè)值和實(shí)際值盡可能接近，如果大部分點(diǎn)都落在擬合出來(lái)的線上，則該線性回歸模型擬合得較好。

在數(shù)學(xué)上，可以通過(guò)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的差值的平方和（又稱殘差平方和）來(lái)進(jìn)行衡量，公式如下:

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，殘差平方和又稱為回歸模型的損失函數(shù)。顯然希望殘差平方和越小越好，這樣實(shí)際值和預(yù)測(cè)值就越接近。

如何求得回歸系數(shù)和截距的參數(shù)估計(jì)值，使得殘差平方和最小呢？數(shù)學(xué)上可以使用最小二乘法求解，對(duì)上述公式進(jìn)行求導(dǎo)，然后令其導(dǎo)數(shù)為0，求出系數(shù)的解。上述公式進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，殘差平方和最小。

（1）最小二乘法

對(duì)于多元線性回歸y = X β + ε，最小二乘法就是尋找β0，β1，… ，βp，使誤差平方和達(dá)到最小/極小值，需要最小化的函數(shù)表示為：

如使用矩陣表示，上式可以表示為：

根據(jù)微分求極值原理，對(duì)方程求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0，可到微分方程組。求方程組，可得到參數(shù)β的解，用矩陣形式表示為：

3、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

建立回歸方程后，回歸效果如何？因變量與自變量是否確實(shí)存在線性關(guān)系呢？這是需要進(jìn)行回歸方程顯著性檢驗(yàn)的，檢驗(yàn)這個(gè)回歸方程本身是否有效，即是否達(dá)到統(tǒng)計(jì)意義。如果檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)它不顯著，那么這個(gè)方程就可以直接放棄。

什么叫回歸方程有統(tǒng)計(jì)意義呢？由于建立回歸方程的目的是尋找y隨x變化的規(guī)律，如果回歸方程所有的系數(shù)值都為0，那么不管x如何變化，y不隨x的變化作線性變化，那么這時(shí)求得的線性回歸方程就沒(méi)有意義，稱回歸方程不顯著；如果至少有一個(gè)回歸系數(shù)不為0，那么當(dāng)x變化時(shí)，y隨x的變化作線性變化，那么這時(shí)求得的回歸方程就有意義，稱回歸方程是顯著的。

因變量y的均值可以表示為：

所有觀測(cè)值yi與n次觀測(cè)值的平均值的差，稱為離差，而全部n次觀測(cè)值的總離差稱為總的離差平方和，公式可以表示為：

SSR（回歸平方和）：是回歸預(yù)測(cè)值與均值之差的平方和，它反映了自變量的變化所引起的波動(dòng)。

SSE（殘差平方和）：是實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差的平方和，它是由試驗(yàn)誤差及其它因素引起的。

擬合優(yōu)度：為檢驗(yàn)總的回歸效果，引入了無(wú)量綱指標(biāo)，它是回歸平方和SSR和總的離差平方和的比值，稱為決定系數(shù)（R-Square），用來(lái)檢驗(yàn)回歸模型的擬合優(yōu)度。

值在0到1之間，越接近1，表示模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合越好，即回歸方程能解釋因變量的大部分變異；越接近，表示模型擬合效果越差，自變量對(duì)因變量的解釋能力較弱